BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS FISICO MATEMATICAS DOCTORADO EN FISICA APLICADA RESTRICCIONES COSMOLOGICAS A EXTENSIONES NO CONMUTATIVAS DEL MODELO ESTANDAR Tesista: Mónica Sánchez Arteaga Asesores: Dr. Cupatitzio Ramírez Romero Dr. Mario Alberto Maya Mendieta DICIEMBRE 2010

RESUMEN Presentamos la teoría de campos a temperatura finita y la teoría no conmutativa aplicada al modelo denominado λφ ⁴. Se da una descripción de la teoría λφ ⁴. Trabajando con la teoría de campos a temperatura finita, en el formalismo de tiempo real, encontramos el propagador para bosones, el cual esta constituido por dos términos, el primero que corresponde a la parte de temperatura cero y el segundo corresponde a la parte de temperatura finita y observamos que este propagador no cambia en teorías no conmutativas debido a que su origen es de la parte cinética del Lagrangiano. Aplicando no conmutatividad a la teoría λφ ⁴ obtenemos nuevos términos de interacción debidos a la no conmutatividad. Esto no existe en la literatura.

DESCRIPCIÓN DE LA TEORÍA λφ ⁴ La teoría λφ ⁴ nos permite obtener una descripción más cercana al mundo real, por lo cual se incluyen en el Hamiltoniano términos no lineales que involucran únicamente productos de los campos en el mismo punto espacio temporal [1]: por lo tanto, los términos que describen la interacción tienen la forma:. El Lagrangiano que describe esta teoría es [1,2]: donde λ es una constante adimensional. Las relaciones de conmutación que se deben cumplir para esta teoría son: Con lo anterior podemos escribir la densidad Hamiltoniana de esta teoría [1,2]: (1.1) (1.2) (1.3)

Se realiza una expansión perturbativa de las función de correlación en dos puntos, con el objetivo de obtener un formalismo que nos permitirá visualizar la perturbación en series como un proceso espacio temporal. La función de correlación en dos puntos para λφ ⁴ esta dada como: donde |Ω> denota el estado base de la teoría de interacción, el símbolo T denota el orden temporal y se introduce por convención. donde el operador de evolución y el campo de interacción están definidos como: (1.4) (1.5) (1.6) Función de correlación (1.4) como una serie de potencias en el parámetro λ: 1.- Obtenemos el campo de Heisenberg en términos del campo de interacción

Para expresar totalmente al operador de evolución en términos del campo de interacción observamos que U(t,t ₀ ) es la única solución de una ecuación diferencial simple llamada ecuación de Schrödinger: con la condición inicial U(t ₀,t ₀ )=1. H I (t) es el Hamiltoniano de interacción dado en (1.3). Encontramos que el operador de evolución para esta ecuación diferencial es: donde |n> es un eigen vector de la energía H definido como: Aislamos el estado base de H int (|Ω>) mediante el siguiente proceso. Imaginamos que nuestro estado base es |0> y evolucionando en el tiempo es: (1.7) (1.8) (1.9) donde E n son los valores propios de H y T es un tiempo grande. Podemos imaginar también que |0> se expande como: (1.10) (1.11)

Ya que E n >E ₀ para toda n≠0, podemos deshacernos de todos los términos n≠0 en la serie haciendo que T tienda a ∞ en una dirección ligeramente imaginaria: T→∞(1-iε) entonces: Ahora, desarrollando en serie la exponencial, usando el teorema de Wick y sustituyendo el Hamiltoniano de interacción de la ecuación (1.3) tenemos: (1.12) Utilizando este resultado y haciendo un procedimiento similar para obtener <Ω|, tenemos que la función de correlación en dos puntos es: (1.16) Entonces la serie (1.9) contiene a |Ω> y podemos escribirla como: Como T es muy grande, podemos desplazarnos un tiempo pequeño t ₀. (1.13) (1.14) (1.15)

Los diagramas de Feynman que se obtienen son: (1.9) Con el límite cuando T→∞(1-iε) podemos asociar los diagramas y con término del denominador de (16) estos diagramas se cancelan, por lo tanto, los diagramas que obtenemos son: En nuestro trabajo, vamos trabajar con perturbaciones a un loop.

Por lo que [4]: (2.4) PROPAGADOR PARA BOSONES DE LA TEORIA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA Una función de correlación general, que depende de la temperatura, para dos operadores de Heisenberg es [3]: Introduciendo el símbolo de orden temporal: (2.1) (2.3) (2.2) Para pasar del espacio de posiciones al espacio de momentos, hacemos uso de la transformada de Fourier en su forma integral: (2.5) Por las condiciones de periodicidad nosotros encontramos que las condiciones de frontera que se deben satisfacer son [3,4]:

Con esta condición tenemos que el propagador para bosones válido para x ₀ >y ₀ toma la forma: La importancia de nuestro trabajo radica en este resultado ya que obtenemos el propagador para bosones dependiente de la temperatura y enfatizamos que la dependencia de la temperatura se obtuvo debido a las condiciones de periodicidad. Realizando un desplazamiento del punto z ₀ a iβ y restando D ↑ (z) tenemos [4]: Regresando al propagador en el espacio de momentos tenemos: donde p ₀ =-(2πn)/(iβ)=ω n, son las frecuencias de Matsubara para bosones. Si conocemos (2.7) podemos determinar el propagador para bosones. Tenemos (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) Empleando (2.9) en (2.8) y realizando la integral respecto a z ₀ tenemos:

De la ecuación (2.7) obtenemos: (2.11) Una función no conmutativa esta definida como: Del formalismo de tiempo imaginario tenemos que el propagador para bosones es Aplicando (2.9) en (2.13) trabajando en el intervalo [0,-iβ] tenemos: (2.12) (2.13) (2.14) Sustituyendo (2.11) y realizando los cálculos correspondientes tenemos: (2.15)

Por lo que la ecuación (2.12) toma la forma: Obtenemos: De las propiedades de la delta de Dirac tenemos [4]: Para determinar ρ(p) extendemos D(p) a una función continua: (2.16) (2.17) (2.18) (2.19) Por lo que: (2.20) Sustituyendo (2.13) y (2.20) en la ecuación (2.16) tenemos finalmente [3,4,5]: (2.21) donde n B (p 0 )=1/(e  E -1) se le conoce como la función de Bose-Einstein y aquí es donde aparece la dependencia de la temperatura.

APLICACIÓN DE LA TEORIA NO CONMUTATIVA A LA TEORÍA λφ ⁴ Para el espacio no conmutativo, las coordenadas espacio temporales son reemplazadas por generadores Hermitianos de un álgebra de funciones no conmutativa sobre el espacio tiempo, los cuales obedecen las relaciones de conmutación: Para asociar un elemento del espacio no conmutativo en términos de un conjunto de generadores x i con una función de variables clásicas x¹,…,x N, tenemos el llamado producto estrella o producto de Moyal-Weyl que es definido como [7,8,9]: Con este producto, la propiedad de no conmutatividad de las coordenadas la adquieren los campos y esto nos permite simplificar los cálculos a comparación de trabajar directamente con la no conmutatividad de las coordenadas. Del Hamiltoniano de interacción (1.5), aplicando teoría no conmutativa tenemos: (3.1) (3.2) (3.3)

Repitiendo este procedimiento obtenemos el siguiente resultado: El primer término corresponde a la teoría de campos con interacción no conmutativa, los demás términos son el resultado de la aplicación de la no conmutatividad. Haciendo el álgebra correspondiente tenemos: (3.4) Realizando el producto estrella tenemos: (3.5) (3.6)

Los diagramas de Feynman que se obtienen a partir del propagador para bosones de la teoría de campos a temperatura finita no conmutativa son: Aplicando (3.6) a la segunda ecuación de (1.16) tenemos: (3.7)

CONCLUSION Obtenemos el propagador para bosones a temperatura finita y observamos que no cambia si trabajamos con teoría no conmutativa ya que esta teoría se hace presente en la parte de interacción y el propagador se obtuvo de la parte cinética del Lagrangiano. El propagador para cualquier teoría puede ser derivado más allá del caso a temperatura cero una vez que se impone las condiciones de periodicidad. La aportación del trabajo son los términos no conmutativos para la teoría λφ ⁴ mostrados en la ecuación (3.7) y los diagramas de Feynman correspondientes. Los términos no conmutativos obtenidos no se encuentran en ninguna literatura.

[1] M. Peskin et al. An introduction quantum field theory. Westview Press [2] K. Huang. Quantum Field Theory. Wiley-VCH [3] A. Das. Finite temperatura field theory. World Scientific [4] L. Dolan et al. Symmetry behavior at finite temperature. PRD (1974). [5] A. Das. Topics in finite temperature field theory. arXiv:hep-ph/ (2000). [6] J. Kapusta et al. Finite temperature field theory (principles and aplications), Cambridge University Press [7] J. Madore. arXiv:hep-th/ (2000). [8] B. Jurco. arXiv:hep-th/ (2001). [9] D. Brace. arXiv:hep-th/ (2001). REFERENCIAS