Uso de modelos Mixed Logit en modelación de elecciones discretas Marcela A. Munizaga Ricardo Alvarez-Daziano Universidad de Chile Santiago, 11 April, 2017

Contenido de la Presentación Correlación del término de error Análisis de Simulación logverosimilitud y parámetros iteraciones y tiempo de convergencia diferencias en modalidad predictiva Análisis con datos reales equivalencia entre modelos capacidad de recuperar efectos de correlación

Elección Discreta y Utilidad Aleatoria Teoría de la Utilidad Aleatoria Individuo maximiza su Utilidad, función de atributos de la alternativa y características de los individuos (Domencich y McFadden, 1975) Modelador no posee información completa del sistema  Hay componentes y atributos que se desconocen o no se pueden medir; aleatoriedad inherente a la naturaleza humana

Elección Discreta (cont.) No se puede asegurar con certeza qué alternativa será escogida  Supuestos sobre distribución de e  Modelo de elección específico (Ortúzar y Willumsen, 1994) Logit Multinomial MNL (McFadden, 1974) Supone errores iid Gumbel Expresión cerrada de la probabilidad de elección:

¿Por qué usar algo distinto del MNL? Correlación: Dependencia Heteroscedasticidad: Distinta varianza Dependencia  probabilidades y parámetros inconsistentes, predicciones poco confiables Propiedad de independencia de alternativas irrelevantes (patrones de sustitución constantes) Avances en computación y métodos numéricos permiten considerar modelos más generales

Correlación del término de error Motivación: el estudio de correlación Fuentes de correlación: alternativas similares, alternativas con componente común, variaciones en los gustos, agregación Modelos adecuados: Logit Jerárquico, Probit, Mixed Logit

Logit Jerárquico Agrupa las alternativas similares en nidos Ui=Vi+ei+nj alt i  nido j Matriz de covarianza: correlación, homoscedasticidad

Probit Ui=Vi+ei ei ~ Normal Matriz de covarianza general, sujeto a restricciones de identificabilidad Permite modelar correlación y heteroscedasticidad

Modelo Mixed Logit Se deriva de suponer e iid Gumbel, h término aleatorio adicional que distribuye f(h/q*) (Ben Akiva y Bolduc, 1996; McFadden y Train, 1997) Si e es iid Gumbel  probabilidad condicional en h Por lo tanto, la probabilidad total es:

Modelo Mixed Logit (cont.) Caso Particular (Modelo lineal de error compuesto): zin atributos relacionados con alternativa i e individuo n Propiedades ML aproxima cualquier modelo de utilidad aleatoria (McFadden y Train, 1997): ML con parámetros distribuidos normal, aproxima a un Probit. Razón de probabilidades depende de todo el conjunto de alternativas disponibles.

Modelo Mixed Logit (cont.) Estimación Condicional en q*, se obtiene un valor h  Pin(h) tiene forma Logit. Proceso se repite R veces: Probabilidad Simulada de escoger la alternativa Se maximiza la log verosimilitud simulada

Modelos de elección (cont.) Nested Mixed Logit Brownstone and Train (1999). Ui=Vi+ei+j ei ~ iid Gumbel j ~ Normal Matriz de covarianza: correlación, heteroscedasticidad

Análisis de Simulación Objetivo: estudiar los modelos en un caso en que se cumplen todos los supuestos Metodología: atributos según base de datos real se asume ciertos parámetros de gusto se genera las componentes determinística y aleatoria de la función de utilidad se calcula la elección de acuerdo a máx U se calibra los modelos con la base generada estímulo de políticas

Análisis de Simulación Uso del simulador en modalidad predictiva Predicciones con los modelos calibrados ¿En qué nos podemos fijar? Diferencias entre parámetros conocidos y calibrados Diferencias entre predicciones del simulador (realidad virtual) y predicciones modeladas

Influencia del Nº Repeticiones 4000 Observaciones 4 alternativas Correlación: 0,5 (Nido con dos alternativas) Dimensión: 3 Probit (Nº de alternativas - 1) ML (Estructura homsc. anidada: 1 componente común + 2 términos independientes)

Influencia del Nº Repeticiones Parámetro de Correlación : Probit

Influencia del Nº Repeticiones Parámetro de Correlación : MLR

Influencia del Nº Repeticiones Parámetro de Correlación : MLH

Influencia del Nº Repeticiones log verosimilitud

Influencia del Nº Repeticiones Diferencias en modalidad predictiva

Influencia del Nº Repeticiones Iteraciones and tiempo de convergencia

Caso: alternativas correlacionadas Síntesis 8000 Observaciones / r = 0,5 / He & Ho Mejor verosimilitud para ML ML: recupera adecuadamente todos los parámetros Probit: importante subestimación de la correlación LJ: efectos de escala, al usar datos heteroscedásticos NL – Probit – ML: buen nivel de respuesta MNL: pobre nivel de respuesta en comparación con ML y LJ

Datos reales Contexto: Corredor Las Condes - Centro, RP 9 alternativas, se incluye combinaciones auto chofer, auto acompañante, taxi colectivo, metro, bus, auto chofer-metro, auto acompañante -metro, taxi colectivo-metro, bus-metro 697 observaciones

Datos reales Estructura anidada 1 Transporte Público Bus Taxi Metro Bus Metro Auto Chofer Auto Acomp ACh Metro AAc Metro

Datos reales: Estructura 1

Datos reales Estructura anidada 2 Transporte Público Bus Taxi Metro Bus Metro Auto Chofer Auto Acomp AChMetro AAcMetro Auto

Datos reales: estructura 2

Síntesis y Discusión ML es un modelo útil, flexible y aplicable La estructura de covarianza se deduce de la especificación y debe ser debidamente justificada Nested Mixed Logit no es equivalente al LJ Probit aparece como un modelo costoso y muestra dificultades para recoger correlación