Estadística Descriptiva: 4. Correlación y Regresión Lineal Ricardo Ñanculef Alegría Universidad Técnica Federico Santa María
Estadística Descriptiva Objetivo Obtener información desde una muestra, que permita entender o formular hipótesis acerca del fenómeno que se estudia. Tipos de Análisis: Describir cómo se comporta una variable Describir cómo una variable (digamos explicativa) afecta el comportamiento de a otra (digamos dependiente) Describir cómo interaccionan varias variables
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Correlación: Medida cuantitativa del grado de asociación entre dos variables X e Y continuas Idea: Si X e Y están correlacionadas un cambio en X se corresponde con un cambio en Y y viceversa. Si un incremento en X genera un incremento en Y diremos que las variables están correlacionadas positivamente. En caso contrario diremos que están correlacionadas negativamente.
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Ejemplo: Columna del New York Times
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Covarianza: La idea es medir los cambios con respecto al nivel medio de cada variable Claramente generaliza la varianza: cov(x,x) Problema: la medida depende de las magnitudes absolutas de x e y. Una mayor covarianza no significa mayor asociación
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Coeficiente de Correlación de Pearson: La idea es normalizar la covarianza con una medida de dispersión para X y para Y Medida acotada entre -1 y 1 (probarlo! se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para productos puntos)
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Observación: Si x e y tienen una relación lineal exacta la correlación de Pearson es igual al signo de a
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Observación: Si x e y tienen una relación lineal exacta la correlación de Pearson es igual al signo de a
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Observación: Si x e y tienen una relación lineal exacta la correlación de Pearson es igual al signo de a
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Correlación positiva (Pearson)
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Correlación negativa (Pearson)
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Correlación nula (Pearson)
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Limitaciones del Coeficiente de Pearson
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Limitaciones del Coeficiente de Pearson
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Limitaciones del Coeficiente de Pearson
Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado Limitaciones del Coeficiente de Pearson
Estadística Descriptiva Regresión Modelo de una variable y como función de otra x x se denomina la variable independiente y se denomina la variable dependiente ε es el residuo, la parte que no logra ser explicada por el modelo (f será usualmente una función determinista)
Estadística Descriptiva Regresión Modelo de una variable y como función de otra x A partir de una muestra de valores de x e y, queremos encontrar un modelo apropiado. Qué tipo de función f utilizar? Cómo seleccionar un modelo adecuado en base a la muestra de observaciones?
Estadística Descriptiva Regresión ¿Qué función f utilizar?: Una función periódica?
Estadística Descriptiva Regresión ¿Qué función f utilizar? un polinomio?
Estadística Descriptiva Regresión ¿Qué función f utilizar? una exponencial?
Estadística Descriptiva Regresión ¿Qué función f utilizar? una logística?
Estadística Descriptiva Regresión Graficar la muestra de valores (x,y) y estudiar la forma de la posible relación
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Una alternativa simple consiste en modelar y como función lineal de x, es decir
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Una alternativa simple consiste en modelar y como función lineal de x, es decir
Estadística Descriptiva Regresión Lineal ¿Qué parámetros b0 y b1 son apropiados para modelar la relación entre x e y? Supongamos que hemos conseguido una muestra de n pares de valores x e y:
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Ejemplo: ¿El financiamiento entregado a la autoridad Palestina contribuye a mitigar el conflicto en la región?
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Variables: X: financiamiento entregado a la autoridad palestina. Y: número de homicidios el año siguiente. Muestra: Si medimos x e y en los últimos años tenemos: X Y 1999 75 2000 50 250 2001 450 500 2002 375 275 2003 190 210 2004 300 240 2005 290 2006 610 600
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Graficando X versus Y
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Graficando X e Y en cada año
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Variables: X: financiamiento entregado a la autoridad palestina. Y: número de homicidios el año siguiente. Modelo: Postulamos un modelo lineal
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Ajustar el modelo lineal consiste en buscar parámetros b0 y b1 que hagan el modelo adecuado Cada combinación de parámetros genera una predicción para el valor de y asociado a x
Estadística Descriptiva Regresión Lineal b0 = 10 y b1 = 1 X Y f(X) Y-f(X) 1999 75 10 65 2000 50 250 60 190 2001 450 500 460 40 2002 375 275 385 - 110 2003 210 200 2004 300 240 310 -70 2005 290 2006 610 600 620 -20
Estadística Descriptiva Regresión Lineal b0 = 50 y b1 = 0.5 X Y f(X) Y-f(X) Anterior 1999 75 50 25 65 - 2000 250 175 190 2001 450 500 275 225 40 + 2002 375 237 38 - 110 2003 210 145 10 2004 300 240 200 -70 2005 290 195 85 2006 610 600 355 245 -20
Estadística Descriptiva Regresión Lineal b0 = 50 y b1 = 0.75 X Y f(X) Y-f(X) Anterior 1999 75 50 25 - 2000 250 87.5 162 175 2001 450 500 387.5 112 225 2002 375 275 331.25 -56.25 38 + 2003 190 210 192.5 17.5 65 2004 300 240 -35 40 2005 290 267 107.5 85 2006 610 600 507.5 92.5 245
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Lo que necesitamos es definir una función de error y encontrar los parámetros b0 y b1 que la minimizan Propuesta: minimizar error cuadrático,
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Dada la muestra de observaciones buscamos el modelo que minimiza el error promedio
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Si los paramétros b0 y b1 minimizan Se debe verificar
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Ecuaciones normales: derivando
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Ecuaciones normales: reordenando y dividiendo por n
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Despejando b0 en la primera y reemplazando en la segunda
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Estimadores de Mínimos Cuadrados del Modelo Lineal para Y en función de X
Estadística Descriptiva Regresión Lineal En nuestro ejemplo anterior, variables: X: financiamiento entregado a la autoridad palestina. Y: número de homicidios el año siguiente. Muestra X Y 1999 75 2000 50 250 2001 450 500 2002 375 275 2003 190 210 2004 300 240 2005 290 2006 610 600
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Calculamos la varianza de la variable predictora y la covarianza entre las variables x e y X Y 1999 75 -283.125 -240.625 80160 2000 50 250 -233.125 -65.625 54350 2001 450 500 166.875 184.375 27850 2002 375 275 91.875 -40.625 8440 2003 190 210 -93.125 -105.625 8670 2004 300 240 16.875 -75.625 280 2005 290 6.875 59.375 2006 610 600 326.875 284.375 10685
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Tenemos entonces que X Y 1999 75 2000 50 250 2001 450 500 2002 375 275 2003 190 210 2004 300 240 2005 290 2006 610 600
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Predicciones de nuestro modelo X Y f(x) 1999 75 105.8501 2000 50 250 142.8964 2001 450 500 439.2672 2002 375 275 383.6977 2003 190 210 246.6262 2004 300 240 328.1281 2005 290 320.7189 2006 610 600 557.8155
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Predicciones de nuestro modelo (magenta)
Estadística Descriptiva Regresión Lineal ¿Cómo juzgar cuantitativamente qué tan bueno es el modelo?: Análisis de Varianza. variabilidad total de Y variabilidad explicada por el modelo variabilidad NO explicada por el modelo
Estadística Descriptiva Regresión Lineal ¿Cómo juzgar cuantitativamente qué tan bueno es el modelo?: Análisis de Varianza. variabilidad explicada por el modelo
Estadística Descriptiva Regresión Lineal ¿Cómo juzgar cuantitativamente qué tan bueno es el modelo?: Análisis de Varianza. variabilidad total de Y variabilidad NO explicada por el modelo variabilidad explicada por el modelo
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Coeficiente de Determinación: Fracción de la variabilidad que sí es explicada por el modelo lineal variabilidad explicada por el modelo variabilidad total de Y variabilidad explicada variabilidad explicada + variabilidad NO explicada
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Coeficiente de Determinación: Fracción de la variabilidad que sí es explicada por el modelo lineal
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Coeficiente de Determinación: Fracción de la variabilidad que sí es explicada por el modelo lineal
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Coeficiente de Determinación: Fracción de la variabilidad que sí es explicada por el modelo lineal Coeficiente de correlación de Pearson!!
Estadística Descriptiva Regresión Lineal Transformaciones Cómo ajustar un modelo lineal sobre estas observaciones?