COMBINACIÓN, PERMUTACIÓN & VARIACIÓN Maria Camila Ariza Karen Ariana Sanjuanelo Robert Suárez Andrés Felipe Vargas

AGENDA Conceptos claves Variación Permutación Combinación

CONCEPTOS CLAVES Factorial de un número natural: Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!. 𝑛!=𝑛 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3 …3.2.1

VARIACIÓN Variación: cambio que hace que algo o alguien sea diferente en cierto aspecto de lo que era.  «La variación de los precios se debe ala inflación» «La variación es sucesiva; la variedad es simultánea. Hay variación en las estaciones; hay variedad en las flores de un jardín.» Tomado de: Google imágenes.

VARIACIÓN ESTADISTICA Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden establecer con los "n" elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos. Ejemplo calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los número 1, 2 y 3. Respuesta: (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,3) Tomado de: Google imágenes.

COMO CALCULAR LA VARIACIÓN 𝑉 𝑚,𝑛 = 𝑚! 𝑚−𝑛 ! Ejemplo V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos: 𝑉 10,4 = 10! 10−4 ! = 10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 6∗5∗4∗3∗2∗1 =5,040

Permutación Combinación Permutación "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas" "La combinación de la cerradura es 472"

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: 𝒏 × 𝒏 × … (𝒓 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔) = 𝒏𝒓 12 preguntas 5 opciones de respuesta 𝑃 = 𝟓𝟏𝟐 = 𝟐𝟒𝟒’𝟏𝟒𝟎.𝟔𝟐𝟓

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. Elegir 3 de16 bolas de billar 𝟏𝟔 × 𝟏𝟓 × 𝟏𝟒 = 𝟑𝟑𝟔𝟎 𝟏𝟔! 𝟏𝟑! = 𝟏𝟔 × 𝟏𝟓 × 𝟏𝟒 = 𝟑𝟑𝟔𝟎

COMBINACIÓN n elementos r elementos

COMBINACIÓN Entran todos los elementos Importa el orden Se repiten los elementos

COMBINACIÓN

COMBINACIÓN 𝐶 𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑟 !∗𝑟! Un campo pequeño cuenta con 87 pozos perforados, de los cuales 62 están en producción. La empresa operadora esta pensando en realizar labores de estimulación para los pozos no productores, pero desea hacer las operaciones en grupos de 5 pozos. ¿ cuántos grupos de pozos distintos están disponibles para la estimulación? 𝐶 𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑟 !∗𝑟! Rta. = 53130

NOTACIONES 𝑟 𝑛 = 𝐶 𝑛,𝑟 =𝑛 𝐶 𝑟 = 𝑉 𝑟 𝑛 𝑃 𝑛

COMBINACIONES CON REPETICIÓN Entran todos los elementos Importa el orden Se repiten los elementos

COMBINACIONES CON REPETICIÓN En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?. Rta = 126

Números combinatorios El número     se llama también número combinatorio. Se representa por   y se lee "m sobre n". Números combinatorios Los números combinatorios se utilizan para establecer agrupaciones en las que no importa el orden y los elementos no se pueden repetir. El número 𝐶 𝑚 𝑛 se llama también número combinatorio y se representa por 𝑚 𝑛 y se lee “m sobre n”. Propiedades de los números combinatorios: 𝑚 0 = 𝑚 𝑚 =1 𝑚 𝑛 = 𝑚 𝑚−𝑛 𝑚 𝑛−1 + 𝑚 𝑛 = 𝑚+1 𝑛

Números combinatorios Ejemplo: En la primera ronda de un campeonato de ajedrez cada participante debe jugar contra todos los demás una sola partida. Participan 23 jugadores. ¿Cuantas perdidas se disputarán? 𝑚=23, 𝑛=2. 𝑚 𝑛 = 𝑚! 𝑛! 𝑚−𝑛 ! 23 2 = 23! 21! 23−2 ! = 23∗22∗21 2∗1∗21 = 506 2 =253 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠

Binomio de Newton La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton. El número de términos es n+1. Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Pascal.

Triangulo de pascal se originó en una discusión que su creador tuvo con Fermat, sobre un juego de azar. Cada cifra de la fila indica las probabilidades decrecientes, en relación al total de la fila de que se den las distintas combinaciones.

Esta fila, representa los coeficientes de 𝑥+2𝑦 5 Binomio de Newton Ejemplo: 𝑥+2𝑦 5 = 5 0 𝑥 5 + 5 1 𝑥 4 .2𝑦 + 5 2 𝑥 3 .(2 𝑦) 2 + 5 3 𝑥 2 . 2𝑦 3 + 5 4 𝑥. 2𝑦 4 + 5 5 2𝑦 5 𝒙+𝟐𝒚 𝟓 = 𝒙 𝟓 +𝟏𝟎 𝒙 𝟒 𝒚+𝟒𝟎 𝒙 𝟑 𝒚 𝟐 +𝟖𝟎 𝒙 𝟐 𝒚 𝟑 +𝟖𝟎𝒙 𝒚 𝟒 +𝟑𝟐 𝒚 𝟓 Esta fila, representa los coeficientes de 𝑥+2𝑦 5

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