Resolución, por medio del Álgebra Geométrica de Grossman y Hestenes, un problema “construcción” de la geometría clásica JimSmithInChiapas 2 junio 2014

Este video es dirigido y dedicado, sobre todo, a todos quienes (como yo) aprenden el Álgebra Geométrica (AG) de forma autodidáctica.

Pienso preparar más videos del mismo tipo (es decir, resoluciones por medio del AG, de problemas clásicos de la construcción), en los cuales se usarán otras maniobras comunes en el AG.

Además de los videos, presentaré resoluciones más completas en un documento que lo haré disponible en línea.

Entonces, invito y agradezco de antemano sus observaciones y críticas. (Inclusive de mi Español.) El Autor

Bueno, se ha observado que muchos problemas tales se reducen a la identificación de algún punto.

En el caso del problema que tratamos aquí, dos puntos “candidatos” razonables son Los centros de las circunferencias; y Los puntos de tangencia.

Por supuesto, nuestra búsqueda tendrá que partir de nuestros conocimientos acerca de circunferencias y tangentes.

La resolución de este problema por media de la geometría clásica usa los siguientes tres conocimientos:

(1) El bisectriz de una cuerda de una circunferencia pasa por el centro de ésta.

(2) La recta perpendicular a una recta tangente a una circunferencia, y que pasa por el punto de tangencia, pasa por el centro de la circunferencia.

(3) Como lo expresan los libros de texto de la geometría, “Si de un punto exterior a un

Los mismos conocimientos pueden usarse en la resolución por medio del AG. Sin embargo, uno de los fuertes del AG es el manejo fácil, de ángulos y de rotaciones de vectores.

Entonces, usaremos el siguiente conocimiento acerca de los ángulos que se pueden identificar en nuestro diagrama:

Los dos ángulos amarillos son iguales el uno al otro, y los azules son iguales el uno al otro:

Para usar este conocimiento con provecho en la resolución por medio de la AG, expresamos en la forma de vectores, los elementos claves de nuestro problema.

elegimos la de tomar como punto de referencia a algún punto q que le pertenece a la recta, y definimos un t 1 y t 2 son los dos puntos de tangencia.

Ahora, tratemos la mayor de las dos circunferencias que nos toca identificar, agregándole al diagrama los elementos que nos resultarán útiles …

La igualdad de los ángulos amarillos es útil por tanto el AG posibilita expresar un vector como la (rotación + dilatación) de otro.

siendo i el bivector unitario del plano que contiene los vectores p y v.

escribir …

haremos aquí. (Lo hago en el documento que haré disponible en línea.)

Para terminar, escribimos la ecuación para la circunferencia que tiene t 2 como punto de tangencia. Retomando a Hestenes (New Foundations for Classical Mechanics, p. 89), usamos la siguiente forma paramétrica:

los ángulos  axb y  at 2 b.

Muchas gracias por su tiempo y atención. Agradezco de antemano sus observaciones y críticas.

Fin