Distribuciones de frecuencias bidimensionales Capítulo 6 Distribuciones de frecuencias bidimensionales Contenidos: Distribución bidimensional de frecuencias Representaciones gráficas Momentos en distribuciones bidimensionales Método reducido para el cálculo de varianzas y covarianzas Valor de la covarianza en caso de independencia estadística Coeficiente de correlación lineal Coeficientes de Asociación para variables nominales: Chi-Cuadrado y C de contingencia Estadística Económica 2007-2008. Sara Mateo.

Tabla de Correlación o Contingencia (atributos) (al final del capítulo)

Tabla de Correlación o Contingencia Permite ayudarnos a determinar si existe relación de interdependencia entre 2 variables, es decir, si se influyen mutuamente. donde nij es el número de observaciones que presentan simultáneamente las características i, j de las variables A y B, respectivamente. Así, una tabla de contingencia es una una tabla de doble entrada, donde en cada casilla figurará el número de casos o individuos que poseen un nivel de una de las características analizadas y otro nivel de la otra característica.

Distribución marginal de A Al analizar una distribución bidimensional, uno puede centrar su estudio en el comportamiento de una de las variables, con independencia de como se comporta la otra. Estaríamos así en el análisis de una distribución marginal. Distribución marginal de A Distribución marginal de B Ai ni. A1 n1. A2 n2. … An-1 nn-1. An nn. Bj n.j B1 n.1 B2 n.2 … Bm-1 n.m-1 Bm n.m

Distribuciones marginales Definimos: son las frecuencias absolutas marginales de las variables A y B, respectivamente. son las frecuencias relativas marginales de las variables A y B, respectivamente.

En las tablas de contingencia: Distribuciones marginales Distribuciones de frecuencias relativas Estadística Económica 2007-2008. Sara Mateo.

Perfiles fila Del total de individuos con la característica “A1” que porcentaje comparte a su vez la “B1” Perfiles columna Cómo es lógico, el porcentaje de individuos con “A1” que, o bien comparten B1 o B2 y hasta Bj será el 100% = 1

(Frecuencia cuando y=valor específico) x1 n1. x2 n2. … xn-1 nn-1. xn Distribución de una de las variables siempre que la otra cumpla una condición específica. xi ni. (Frecuencia cuando y=valor específico) x1 n1. x2 n2. … xn-1 nn-1. xn nn. X: Gasto en material escolar Y: Número de hijos Distrib. Condicionada: Por ejemplo, gasto en material escolar cuando el número de hijos es <3. También podría ser simplemente cuando y=número, sólo sería coger esa columna sin sumar nada. 5 50 8 100 150 200 4 Suma de frecuencias cuando y=0, y=1, y= 2. Que tienen un gasto de 50.

Representación gráfica: Nube de puntos o diagrama de dispersión Estadística Económica 2007-2008. Sara Mateo.

Varianza de X Varianza de Y Covarianza entre X e Y Mide si existe asociación lineal entre X e Y. Positiva o negativa pero no la intensidad Estadística Económica 2007-2008. Sara Mateo.

Momento rs con respecto origen: Momento rs con respecto a las medias: Estadística Económica 2007-2008. Sara Mateo.

Se efectúa la transformación: Resultado de las Medias de las nuevas variables De las nuevas varianzas: De la nueva covarianza: Estadística Económica 2007-2008. Sara Mateo.

Coeficiente de correlación lineal El valor de la covarianza dependerá de los valores de las variables, por tanto de sus unidades. Para poder eliminar las unidades y tener una medida adimensional utilizamos el COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL siendo invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variable. Es un coeficiente adimensional -1  r  1 Si hay relación lineal positiva r > 0 y próximo a 1 Si hay relación lineal negativa r < 0 y próximo a -1 Si no hay relación lineal r se aproxima a 0 Si X e Y son independientes Sxy = 0 y por tanto r = 0 Propiedades: Importante: Si las dos variables son independientes, su covarianza vale cero. No podemos asegurar lo mismo en sentido contrario. Si dos variables tienen covarianza cero, no significa que sean independientes. Linealmente NO tienen relación. Pero pueden pueden ser dependientes.

VARIABLES CUALITATIVAS Coeficiente de Asociación Chi-Cuadrado (χ2):  Frecuencia observada Frecuencia esperada Si ≈ 0 no habrá asociación  inexistencia de asociación Problema: no tiene límite superior por lo que no permite conocer el grado de asociación. Como solución:

Coeficiente “C” de contingencia de Karl Pearson: Nunca superior a uno Si C ≈0 inexistencia de asociación Si C ≈1 perfecta asociación entre las variables Estadística Económica 2007-2008. Sara Mateo.

Coeficiente de Correlación por Rangos de Spearman: • El Coeficiente de Correlación por Rangos de Spearman permite determinar la correlación de datos de carácter ordinal midiendo la concordancia o discordancia entre las clasificaciones. • Formulación: Si no hay empates D: diferencia de valores para las dos variables. • Interpretación: Si ρ= 1: Correlación por rangos perfecta y positiva. La concordancia entre los rangos es perfecta Si ρ = -1: Correlación por rangos perfecta y negativa. La concordancia entre los rangos es perfecta Si ρ = 0: Correlación por rangos nula. No hay concordancia entre los rangos Si 0 < ρ < 1: Correlación por rangos positiva y si -1 < ρ <0: Correlación por rangos negativa EJEMPLOS EN CLASE Estadística Económica 2007-2008. Sara Mateo.