Profesores: Danilo Bassi y Arturo Alvarez DINÁMICA Profesores: Danilo Bassi y Arturo Alvarez Segundo Semestre 2006

Introducción Uno de los aspectos más importantes en el estudio de la robótica es el control. Por tanto es necesario conocer las ecuaciones dinámicas necesarias para su estudio. La finalidad del análisis dinámico, es llegar a conocer la naturaleza y magnitud de las fuerzas y movimientos en los elementos del sistema. Los pasos a seguir en un análisis dinámico son los siguientes: Elegir el modelo matemático más adecuado al sistema real. Realizar hipótesis simplificativas. Elegir un método de análisis dinámico adecuado al problema que se pretende resolver.

Introducción Consideraciones Dentro de este tercer apartado, se distinguen a su vez, dos fases: Planteamiento de las ecuaciones dinámicas del sistema (Newton, D'Alembert, Lagrange, Trabajos Virtuales, Hamilton). Resolución de las ecuaciones, que serán en general, ecuaciones diferenciales fuertemente no lineales. Consideraciones Se considerara que los elementos con que esta construido el sistema son indeformables. Y se utilizaran los conceptos propios de la Dinámica del Sólido Rígido (DSR), aplicada a sistemas mecánicos formados por elementos relacionados entre sí mediante pares cinemáticos.

Introducción En la DSR de mecanismos, aparecen dos grupos principales de problemas dinámicos, éstos se conocen con el nombre de directo e inverso respectivamente. Se denomina problema dinámico directo al que trata de determinar el movimiento del mecanismo en función de las acciones aplicadas sobre él ( conduce en ocasiones a Ec. Diferenciales no lineales ). El problema inverso, también denominado cinetoestático, trata de obtener los esfuerzos motores y las reacciones en los pares del mecanismo, cuando se conoce su movimiento.

Introducción Existen diversos enfoques para abordar el estudio dinámico de un manipulador, pero entre los más utilizados se pueden citar los de Newton–Euler y Lagrange. En resumen se puede decir que un manipulador es un sistema mecánico de gran complejidad y que requiere ser controlado en tiempo real. Debe adoptarse un método de análisis dinámico que conduzca a encontrar ecuaciones de la mayor sencillez. Las ecuaciones que deben encontrarse son las que relacionan los momentos y / o fuerzas con velocidades y aceleraciones.

Modelación dinámica de un robót Complejidad del modelo dinámico de un robot Crece con el numero de GDL del robot. Interactividad entre movimientos (fuerzas de Coriolis). No siempre es posible su obtención en forma cerrada (ecuaciones diferenciales de orden 2 acopladas a integrar). En ocasiones se debe recurrir a procedimientos numéricos iterativos. Frecuentemente se realizan simplificaciones. Necesidad de incluir los actuadores y su dinámica. Caso especial: robot flexibles.

Modelación dinámica de un robót Utilidad del modelo dinámico de un robot Permite realizar simulaciones del movimiento real del robot. Permite diseñar y evaluar la estructura mecánica del robot. Permite dimensionar los motores y actuadores que utilizará el robot. Permite diseñar y evaluar el control dinámico del robot.

Modelación dinámica de un robót Aspectos dinámicos a considerar 1. Estructurales Fuerza Centrífuga. Fuerza de Coriolis (esfuerzo rotacional que surge de la combinación de dos movimientos). Acoplamiento de inercia. Acción de la gravedad.

Modelación dinámica de un robót Aspectos dinámicos a considerar 2. Accionamiento Rozamiento seco y viscoso. Inercia variable, debido a la carga. No linealidad en el juego de los engranajes. Flexibilidad en la transmisión de torque.

Relación entre dinámica directa e inversa Modelo dinámico directo: expresa la evolución temporal de las coordenadas articulares y sus derivadas, en función de las fuerzas y torques que intervienen. Modelo dinámico inverso: expresa las fuerzas y torques que intervienen, en función de la evolución temporal de las coordenadas articulares y sus derivadas. Evolución de las coordenadas articulares y sus derivadas Fuerzas y torques que intervienen en el movimiento Dinámica Inversa Dinámica Directa

Dos Métodos Método de Newton-Euler: es un método iterativo. Se propagan aceleraciones y torques por los distintos elementos del robot (balance de fuerzas y/o torques). Método del Lagrangeano: es un método cerrado. Resulta de la diferencia de las energías cinéticas y potenciales de todas las uniones (balance de enegía).

Características de los métodos Newton-Euler Basado en operaciones vectoriales Mayor eficiencia computacional: O(n) Ecuaciones poco estructuradas Lagrange Basado en la representación de D-H Poca eficiencia computacional: O(n4), con n=n° GDL Ecuaciones finales bien estructuradas

Método de Newton-Euler Realiza iteraciones sobre los eslabones articulaciones en dos sentidos. Velocidades y aceleraciones Fuerzas y torques Gravedad

Método de Newton-Euler Cálculos hacia adelante Primero, calcular la velocidad y aceleración angular; y la velocidad y aceleración lineal, de cada unión i en función de la unión anterior i-1. Estos valores se pueden calcular recursivamente, comenzando desde la base (v, a=0) y terminando por la unión o efector final.

Método de Newton-Euler Cálculos hacia atrás Medir, calcular o definir las fuerzas/torques que actúan sobre el elemento terminal. Con las velocidades y aceleraciones previamente encontradas, calcular las fuerzas/torques en las uniones de cada eslabón, partiendo desde el efector y terminando en la base.

Aceleración de un cuerpo rígido Aceleración lineal y angular

Momento de Inercia El momento de inercia de un cuerpo sólido con densidad r(r), con respecto a un eje dado, se define como: Donde r es la distancia perpendicular a dicho eje de rotación.

Ecuación de Newton Fuerzas constantes de traslación

Ecuación de Euler Momentos constantes de rotación

Balance de Fuerzas en un eslabón

Balance de Torques en un eslabón

Balance de Fuerzas y Torques Usando el resultado del balance de fuerzas y torques

Fuerza de Gravedad El efecto de los pesos por la gravedad sobre los eslabones, puede agregarse haciendo: Donde G es el vector de gravedad.

Fuerza de Coriolis Es una fuerza ejercida sobre un cuerpo, cuando éste se mueve en un sistema coordenado de referencia en rotación

Estructuras de las ecuaciones dinámicas

Ejemplo de manipulador q - r En la unión 1 hay torque En la unión 2 hay esfuerzo

Ejemplo de manipulador q - r 1. Inercia. 2. Coriolis. 3. Centrifuga. 4. Gravitatoria 1 2 4 1 3 4

Método de Lagrange Energía cinética y potencial Energía cinética total del robot Energía potencial total del robot

Método de Lagrange Diferencia entre energía cinética y potencial de un mecanismo

Lagrangeano Ecuaciones de movimiento para el robot Reemplazando t por la definición de L

Lagrangeano El resultado que se usará será: Dada una masa puntual m, con una coordenada generalizada qi (posición o ángulo), la relación entre qi y la fuerza o torque Fi aplicada sobre ella está dada por: Donde L, es el Lagrangeano del robot y Fi, es el esfuerzo o torque aplicado en la unión

Concepto de Lagrangeano Es la diferencia entre energía cinetica y energía potencial de todo el sistema L = K1 + K2 - P1 - P2 Para cada manipulador robótico, se puede calcular un lagrangeano.

Ejemplo de manipulador q - r m1=10kg m2: entre 1 y 5kg r1=1m r2: entre 1 y 2m Velocidades máx.: 1 rad/seg y 1m/seg Acel. máx. 1rad/seg2 y 1m/seg2.

Ejemplo de manipulador q - r

Ejemplo de manipulador q - r

Ejemplo de manipulador q - r Entonces el lagrangeano será:

Ejemplo de manipulador q - r Para la unión rotacional

Ejemplo de manipulador q - r Para la unión prismática

Características del modelo Dinámico El modelo es no lineal, en función de las variables de unión. Podemos tener parámetros variables (por ejemplo, la masa de la última unión) Las ecuaciones están interrelacionadas No existen soluciones analíticas exactas

Características del modelo Dinámico El modelo dinámico obtenido por esta forma, no contempla rozamientos o no linealidades (torsión, juegos de piezas, etc.), sino fuerza de coriolis, gravedad, acoplamiento de inercia y fuerza centrífuga.

Modelo Dinámico Generalizado El modelo dinámico obtenido, está enfocado para fines de control. Las variables de entrada, son los esfuerzos que se aplican en los eslabones Las salidas son variables de movimiento (q, q’, q’’)