¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS? Es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades Matemática Antigua Matemática Actual Números Teoría de los Números Figuras Geometría

Gauss, 1801 “La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de los Números es la reina de las Matemáticas” 2004 ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! Biólogos Químicos Físicos Matemáticos

NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Qué es un número primo? Aquél divisible sólo por él mismo y por 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ... ? ¿Cuántos números primos hay? EUCLIDES (c.300 a.d.C.): Infinitos “Más que cualquier cantidad de primos dada”.

NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Cuántos números primos hay? EULER (1737): La infinitud se puede demostrar utilizando series infinitas. Hay más primos que cuadrados. ? ¿En qué proporción? CHEBYSHEV (1848): A la larga, la proporción se hace tan pequeña como se quiera pero decrece menos rápidamente que K/log x .

NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Se puede aproximar bien la proporción con funciones “normales”? Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann): Proporción de primos menores que N ~ 10 cifras 40 cifras 70 cifras 100 cifras < uno de cada 20 < uno de cada 90 < uno de cada 160 < uno de cada 230

Función rara= fórmula complicada con primos  Prueba “buena” Riemann 1 1/2 c Función rara= fórmula complicada con primos Función con primos = fórmula complicada con   (s)= producto sobre sus ceros (nº complejos) c=Re(cero más a la derecha)

! MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN  -4 -2 1  Carril exclusivo para los próximos 109 ceros (RIEMANN) No se admiten ceros !  -4 -2 1/2 1 Al infinito Ceros en cautividad (no son peligrosos)

Hipótesis de Riemann (1859): Todos los ceros no triviales de la función  están en “fila india”. Teorema de los números primos El error en el teorema de los números primos es lo menor posible (algo más que la raíz cuadrada de N). HR

EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA Hume: Las ideas son impresiones debilitadas Abstracción, Matemáticas Realidad Hume, 1736 “A los matemáticos les es habitual pretender que las ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que deben ser comprendidas por una visión pura e intelectual de la que sólo las facultades del alma son capaces.”

No es propaganda. Las conexiones seguras en La mayoría de los matemáticos consideran que el valor estético de la teoría de números y de las Matemáticas en general, supera su hipotético valor utilitario. Pero ... Gracias a los números primos y sus propiedades se pueden hacer conexiones seguras por canales inseguros, acreditar identidades , etc. No es propaganda. Las conexiones seguras en internet funcionan así hoy (protocolos SSH, SSL, firmas electrónicas) de manera cotidiana.

¿Es posible transmitir públicamente sin comprometer la seguridad? ¿Se puede jugar a las cartas por correo o por teléfono? (I. Stewart) B A lanca na ...

¿Cómo construir “candados” con los primos? Cosas fáciles (con ordenador): · Multiplicar dos primos grandes · Calcular el resto r de ab al dividir por p Cosas difíciles (incluso con ordenador): · Factorizar · Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p · RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978) · Diffie-Hellman (1976)

La aritmética del reloj 2=14=122 8=20=-4 Suma 11+4=3 Resta 2-3=-1=11 Multiplicación 7·7=1 División 2·algo=5, no existe 5/2. Notación: Significa que a y b son la misma hora Lo mismo para un reloj con p (primo) números

La aritmética del reloj (primo) · En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0. · Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas por sí mismas dan todas las horas no nulas. · (China, comienzos de nuestra era) 2·2· p veces·2 son siempre las 2 en un reloj primo. · (Fermat, siglo XVII) a · a · p veces· a son siempre las a en un reloj primo.

Blanca Ana a ga gb b Clave=gab ¿ ga , gb gab ? p=primo grande (cientos de cifras), g= generador x= mensaje Ana Blanca (p) a ga gb b Clave=gab x Cx Cx x ¿ ga , gb gab ?

¿Cómo contar con ondas? ¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3? ..... NÚMEROS + ANÁLISIS ¿Cómo contar con ondas? ¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3? 9 10 enrollar 1 3 2 10 ..... analizar Método mejor

Ejemplo no trivial:

Tambor circular, esférico: Un muestrario de ondas Tambor rectangular: Tambor circular, esférico: Tambor hiperbólico (no euclídeo): Ondas de Maass (formas modulares)

Contar bien estudiar interferencias Dos ideas: · Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar objetos de tamaño menor que 1/n. (P. Incertidumbre) · Estadísticamente, las ondas “independientes” no tienen resonancia.

Teorema de Vinogradov: · Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos. Tiene “resonancias” en y en otros valores, que podemos estudiar, e interferencias destructivas en el resto.

Esta presentación está disponible en: http://www.uam.es/fernando.chamizo