El producto escalar o producto punto b donde q es el ángulo entre a y b tal que a q Interpretación geométrica a b q u Este producto punto representa la magnitud o norma del vector que resulta de la proyección de b sobre a multiplicado por la magnitud de a
Una interpretación física del producto punto Punto de aplicación de la fuerza ubicada en la posición O F Si en virtud de la fuerza el punto se ha desplazado a un lugar descrito por el vector d (con la dirección indicada por el ángulo q) F F Entonces el trabajo realizado por la fuerza es justamente d q O
Una forma alternativa de definir el producto punto B Aplicando la ley del coseno al triángulo OAB a b q b - a A O Si entonces Calculando las magnitudes cuadráticas, y después de una manipulación algebraica obtenemos que Notemos que
El producto punto caracteriza la perpendicularidad de dos vectores 90º b Y puesto que cos 0 = 1, entonces
Propiedades del producto punto Habíamos dicho que, esencialmente, el producto punto entre dos ventores es simplemente la magnitud de la proyección de un vector sobre el otro, multiplicada por la magnitud del vector sobre el que se proyecta. a b q u Este es el vector proyección de b sobre a Magnitud del vector sobre el cual se proyecta
El producto punto se distribuye respecto de la suma de vectores ... y DE + EG = DG y en consecuencia b a a + b c a b G DG es la longitud de la proyección de a + b sobre c F DF es la longitud de la proyección de b sobre c E D DE es la longitud de la proyección de a sobre c ... pero DE + DF = DE + EG