Selección de la estructura y validación del modelo

CONTENIDO Criterio para la selección del modelo De la selección de la estructura del modelo La validación del modelo

Criterio para la selección del modelo

Selección de la estructura del modelo La elección de una estructura apropiada (por ejemplo: ARX, ARMAX, etc.) es un paso crucial en identificación de sistemas. Y dicha elección debe estar basada en el entendimiento del proceso de identificación, conocimiento del sistema a identificar.

Selección de la estructura de un modelo LTI estandar La selección de un conjunto de modelos LTI estandar a identificar trata de la especificación de tres fenómenos diferentes: Selección de la estructura del modelo ARX, ARMX Selección de la complejidad del modelo na, nb, nk Parametrizacion del modelo Modelo lineal

Criterio para la selección del modelo El objetivo último del usuario de los métodos de identificación, será el de encontrar un buen modelo a un precio bajo. ¿Cuándo un modelo es bueno? ¿Cuándo un modelo es caro?

¿Cuándo un modelo es bueno? La aceptación de un modelo dependerá en ultima instancia de su uso, Sin embargo, la calidad del modelo puede darse en terminos cuantitavos: Su “bias” La varianza

¿Cuándo un modelo es caro? El precio asociado con la identificación del modelo. El precio asociado con la aplicación del modelo Esfuerzo computacional asociado a la identificacion del modelo En tiempo real el orden del modelo esta limitado por la velocidad computacional

De la selección de la estructura del modelo

Eleccion de la estructura Cada una de las estructuras (ARX, ARMAX, OE o BJ) tiene sus propias características y debe ser elegida fundamentalmente en función del punto en el que se prevé que se añade el ruido en el sistema.

Eleccion de la estructura El vector de coeficientes hace que el modelo se ajuste a los datos de entrada-salida del sistema real Puede ser necesario ensayar con varias estructuras y con varios órdenes dentro de una misma estructura hasta encontrar un modelo satisfactorio.

Eleccion de la complejidad Para elegir la complejidad de la estructura del tipo de modelo considerado hay que determinar el orden de cada uno de los polinomios es decir na, nb, nc, nd, nf y nk. Una vez elegidos estos valores, queda determinar el vector de coeficientes ai, bi, ci, di y fi

Eleccion de la estructura Ejemplo: Supóngase el sistema ¿Cuál es el tipo de estructura más apropiada a elegir para identificación?

Eleccion de la estructura: Ejemplo El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE). Por tanto nb = 2, nf = 3 y nk = 2.

Eleccion de la estructura: Ejemplo El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE). ¡ Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseñador no dispone de la información sobre el sistema real !

De la selección de la estructura del modelo. Cuatro fuentes de información, Consideraciones a priori. Análisis preliminar de los datos Comparación de diferentes estructuras de modelos Validación del modelo Ljung (1987)

Consideraciones a priori Basados en el conocimiento del proceso podría obtenerse información clara acerca Del orden (mínimo) del modelo, Carácter de la perturbación del ruido en los datos

Análisis preliminar de los datos  La información acerca del orden del modelo también puede obtenerse de El análisis preliminar de los datos, La identificación no paramétrica Métodos de realización aproximada (Van den Hof and Bomois, 2004) Por la evaluación del rango de la matriz Toeplitz, cuyos elementos son funciones de la covariancia de la muestra,

Comparación de la estructura de los modelos identificados  Otra posibilidad es determinar la estructura y los órdenes del modelo después de la identificación de uno o varios modelos de conjuntos de modelos diferentes Y evaluar el valor de la función de costo con los datos

Comparación de los modelos n = na+nb+1 Prueba del orden del modelo para una estructura ARX

Comparación de la estructura de los modelos identificados  Otra manera: Evaluar el valor de la función de costo con otros los datos Este mecanismo, denominado validación cruzada

Mecanismo de la validación cruzada Dos criterios para la selección del orden del modelo El Criterio de Información de Akaike (AIC). El Criterio del Error de Predicción Final de Akaike (FPE).

Comandos relevantes en Matlab Funciones para la selección de la estructura óptima de un modelo Selección de la estructura del modelo arxstruc Cálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras ARX. ivstruc Cálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras OE. selstruc Selección de la estructura con menor función de pérdidas. struc Generación de un conjunto de estructuras.

La validación del modelo

La validacion del modelo La mayoría de los métodos de validación tratan de determinar, si la respuesta del modelo se ajusta con suficiente exactitud a los datos de entrada-salida obtenidos mediante experimentación Basado en algunos criterios típicos

Criterios típicos para seleccionar un modelo Simulacion del modelo Intervalos de fiabilidad de los parámetros Análisis de los residuos Coherencia con el comportamiento de entrada- salida Reducción del modelo Validación en base a la aplicación del modelo

Simulación del modelo Una técnica de validación de modelos: Simular el modelo con un conjunto de entradas distintas a las utilizadas para identificación, Comparar la respuesta del modelo con la obtenida del sistema real

Intervalos de fiabilidad de los parámetros  Otro método: comparar los parámetros estimados con su desviación estándar Si el intervalo de confianza de un parámetro es muy grande, se debe considerar la posibilidad de eliminar dicho parámetro.

Análisis de los residuos Se conocen como residuos de un sistema a los errores de predicción siendo la respuesta real del sistema la respuesta estimada por el modelo (para la misma entrada)

Análisis de los residuos Idealmente, los residuos deben ser independientes de la entrada Si no sucede así, significa que hay componentes en los residuos que proceden de la entrada u(t), lo cual a su vez significa que el modelo no es capaz de describir completamente la dinámica del sistema.

Análisis de residuos para dos modelos Modelo con un orden adecuado Modelo con un orden inferior

Coherencia en el comportamiento de entrada-salida  Puede ser necesario recurrir a diferentes métodos de identificación y comparar los resultados obtenidos. Por ejemplo, comparando los diagramas de Bode de los modelos obtenidos mediante diferentes metodos identificación paramétrica, por el método de variables instrumentales y por análisis espectral

Comparación de la respuesta en frecuencia obtenida mediante dos métodos de identificación distintos

Reducción del modelo  Si una reducción en el orden del modelo no produce alteraciones apreciables en el comportamiento del mismo, entonces el modelo original era innecesariamente complejo. Para modelos LTI, supone la presencia de un polo y un cero (o más pares) que se cancelan

Caso de un modelo demasiado complejo Cancelación de un cero y un polo Diagrama de ceros y polos

Validación en base a la aplicación del modelo  En la práctica es imposible determinar si un modelo responde exactamente al comportamiento del sistema real, Es suficiente comprobar que el modelo es capaz de resolver el problema para el cual ha sido hallado

Ejemplo

Ejemplo Ejemplo: Supóngase el sistema Estimar los parámetros del modelo OE escogido Estimar un modelo ARX Validar el modelo

Problemas Ver el documento Tema 3_problemes.pdf De los profesores Teresa Escobet y Bernardo Morcego de la Escola Universitària Politècnica de Manresa [Escobet et al., 2003].

FUENTES  Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003 Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003 López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002