Matemáticas Financieras Luis Bernardo Tello R. - Evaluación Financiera de Proyectos

Concepto de Matemáticas Financieras Las Matemáticas Financieras estudian el conjunto de conceptos y técnicas cuantitativas de análisis útiles para la evaluación y comparación económica de alternativas relativas a inversión, financiación y operación, para lograr decisiones que relacionen las mejores posibilidades entre las que se tienen en consideración.

Concepto de Matemáticas Financieras Como Herramienta Financiera es útil para: Determinar el costo de una alternativa de financiación. Determinar la rentabilidad de una inversión. Establecer planes de financiación cuando se vende a crédito a los clientes. Seleccionar el mejor plan para amortizar deudas. Calcular el Costo de Capital.

Concepto de Equivalencia El concepto de equivalencia es la base para poder comparar, en términos monetarios, dos o más propuestas de inversión. Dos valores diferentes ubicados en diferentes momentos del tiempo, pueden ser, para un inversionista particular, indiferentes. Cuando usted acepta recibir $130,000 dentro de un año a cambio de no recibir $100,000 hoy, está aceptando que esos dos valores son equivalentes, es decir indiferentes, en el sentido de que cualquiera de las dos opciones lo dejaría a usted satisfecho.

Concepto de Interés Cuando la riqueza obtenida en un periodo se relaciona con el capital inicialmente comprometido para producirla, obtenemos lo que universalmente se denomina el interés. Por lo tanto, podemos definir el interés como la utilidad o ganancia que genera el capital. El interés se devenga sobre la base de un tanto por ciento del capital y en relación con el número de periodos de tiempo en que se disponga del capital. El interés depende de tres factores fundamentales: el capital, la tasa de interés y el tiempo. Luis Bernardo Tello R. - Evaluación Financiera de Proyectos

Interés Simple y Compuesto Existen dos clases de interés: simple y compuesto. Interés simple. Cuando los intereses no devengan más interés, es decir no son capitalizables. Interés compuesto. Cuando los intereses devengan más intereses, es decir, los intereses son capitalizables, se van acumulando al final de cada periodo, incrementando el valor del capital poseído. La diferencia en la forma de operar con interés simple e interés compuesto se puede apreciar a través del siguiente ejemplo Luis Bernardo Tello R. - Evaluación Financiera de Proyectos

Interés Simple y Compuesto

Ejercicio de Interés Simple $148,000 2 1 $100,000

Ejercicio de Interés Compuesto $153,760 2 1 $100,000

Tasas de Interés Compuesto Interés Periódico Interés Nominal Anual Interés Anticipado Tasas efectivas anuales

Tasa Periódica ( ip ) Es la tasa que se devenga en un período de conversión o de pago de intereses. La tasa periódica es la que siempre se considera en la solución de problemas financieros. Se indica directamente el interés (%) y el período en el cual se aplica, sin relacionarlo con un período diferente. Puede ser expresada como: 2% mensual, 32% anual, 9% Ta, (trimestre anticipado).

Tasa Nominal ( in ) Hace mención a un período que se toma como referencia y a un período de pago de intereses. No es una tasa efectiva, por lo tanto, se debe ser muy cuidadoso cuando la información recibida es una tasa nominal. La relación entre una tasa nominal y una tasa periódica está dada por la siguiente expresión: ip = in/m ; ip = tasa periódica; m = número de períodos de conversión en el período de referencia; in = interés nominal; in = m x ip

Tasa Nominal ( in ) Ejemplo1: in = 32% anual convertible semestralmente. Anual es el período de referencia. Semestralmente es el período de conversión o de pago de intereses o de capitalización. ip = in/m = 32%/ 2 = 16% semestral. Ejemplo 2: in = 24% anual convertible mensualmente. La tasa periódica mensual es: ip = in/m = 24%/ 12 = 2% mensual.

Tasa Nominal ( in ) Ejemplo 3: in = 42% en un año y medio convertible trimestralmente. ip = 42% / 6 = 7% trimestral. Ejemplo 4: in = 32% anual convertible diariamente. ip = in/m = 32% / 365 = 0.087% diario. Ejemplo 5: A qué tasa semestral convertible mensualmente es equivalente el 2% mensual?. En este caso se conoce la tasa periódica y se desea conocer una tasa nominal. in = ip x m = 2% x 6 = 12% semestral convertible mensualmente.

Tasa Efectiva ( ie ) Algunas veces se desea conocer la tasa de interés que realmente se devenga en un período de referencia dado. Esta tasa se denomina tasa efectiva ie. Así, por ejemplo, se tiene la tasa nominal in = 32% anual capitalizable semestralmente. De esta información se sabe inmediatamente la tasa periódica: ip = 32% / 2 = 16% semestral En forma efectiva cada semestre se paga el 16%.

Tasa Efectiva ( ie ) Los diagramas de flujo, correspondientes a cada una de las dos situaciones anteriores son: F . . . . . . . . 1 2 3 m F = P(1+ip) m ip F Períodos de conversión P 1 F = P(1+ ie) ie 1 Períodos de referencia

Tasa Efectiva ( ie ) m Al comparar ( 1 ) y ( 2 ): P (1 + ip) = P (1 + ie) tenemos : (1 + ip) = (1 + ie) ip corresponde al período más pequeño ie corresponde al período más grande Tanto ip como ie son tasas efectivas vencidas, m o sea que la expresión (1 + ip ) = (1 + ie ) relaciona tasas efectivas vencidas.

Tasa Efectiva ( ie ) Ejemplo 6: a qué tasa efectiva anual es equivalente el 32% anual capitalizable semestralmente? Solución: la información suministrada es una tasa nominal, a partir de la cual se puede conocer la tasa periódica semestral. ip = 32% / 2 = 16% semestral. Para hallar la tasa efectiva anual se debe utilizar la fórmula: : ie = [(1 + ip )^m -1] ie = (1 + 0.16)² - ie = 1.3456 - 1 ie = 0.3456 = 34.56%

Tasa Efectiva ( ie ) Ejemplo 7: a qué tasa efectiva anual es equivalente el 2% mensual? Solución: En este caso, se debe utilizar la fórmula ie= [(1 + ip )^m -1], en la cual se conoce la tasa efectiva del período de mayor duración: ip = 2% mensual ie = [(1 + 0.02)^12 -1] ie = 1.2682 - 1 ie = 0.2682 ie = 26.82% anual

Tasa Efectiva ( ie ) Ejemplo 8: a qué tasa mensual es equivalente el 32% ea? Solución: ( 1 + ie ) = ( 1 + ip ) ^m En este caso se conoce la tasa efectiva correspondiente al período de mayor duración: ie = 32% anual (1 + 0.32 ) = (1 + ip)^12 1.32 = (1 + ip )^12 (1.32)^1/12 = 1 + ip 1.0234057 = 1 + ip ip = 1.0234057 - 1 ip = 0.023457 ip = 2.3457% mensual ip = [(1+ie)^(1/m)-1]

Tasa Efectiva ( ie ) Ejemplo 9: a qué tasa anual capitalizable semestralmente es equivalente el 36% anual convertible mensualmente? Solución: la solución se planifica como sigue: A partir de la tasa nominal anual capitalizable mensualmente se obtiene la tasa periódica mensual aplicando ip = in/m Con la tasa periódica mensual se obtiene la tasa efectiva anual, mediante (1+ie )= (1 + ip )^m para 12 capitalizaciones al año. Después de conocer la tasa efectiva anual, se obtiene la tasa periódica semestral para dos capitalizaciones por año. Con la tasa periódica semestral se obtiene la tasa nominal anual convertible semestralmente aplicando in= ip x m 1 ) ip = 36% / 12 = 3% mensual 2 ) (1 + ie ) = (1 + 0.03 )^12 ; ie = 1.4258 -1 ; ie = 42.58% EA 3) (1+ 0.4258) = (1+ ip)^2 ;ip = (1.4258)^1/2 -1 = 19.4% Semestral 4) in = ip x m ; in = 19.405% x 2 = 38.81% Anual CS

Términos del Mercado Financiero Colombiano Tasa de captación: O tasa pasiva, tasa que pagan las entidades a los ahorradores. Tasa de Colocación: O tasa activa, tasa que cobran las entidades financieras por sus prestamos. DTF: Promedio ponderado semanal de las tasas de captación de los certificados de depósito a término CDT a 90 días con intereses anticipados de las entidades financieras.

Términos del Mercado Financiero Colombiano TCC: Promedio de las tasas de captación de los depósitos a 90 días CDT hechos en las Corporaciones Financieras únicamente. CDAT: Depósitos a término fijo colocados a menos de un mes. Pagan una tasa menor que los CDT. TBS: Tasa Básica del Sector, se calcula diariamente sobre el promedio de las tasas de los CDAT y de los CDT de cada sector.

Términos del Mercado Financiero Colombiano Margen de Intermediación: Es la diferencia entre las tasas activas y pasivas o tasas de colocación menos tasas de captación. Inflación: Proceso económico que representa un aumento general de precios dentro de un país. IPC: Índice de Precios al Consumidor. IPP: Índice de Precios al Productor. Retención en la Fuente Rendimientos Financieros: 7% deducido del valor de los intereses devengados.

VALOR FUTURO F = ? 1 2 3 4 5 18 i = 2% mensual P = $10,000 1 2 3 4 5 18 i = 2% mensual P = $10,000 Ejemplo 1: Hallar el valor futuro de $10,000 invertidos al 2% mensual de interés compuesto durante 18 meses:

VALOR FUTURO F = ? 1 2 3 4 5 18 i = 2% mensual P = $10,000 1 2 3 4 5 18 i = 2% mensual P = $10,000 Ejemplo 1: Hallar el valor futuro de $10,000 invertidos al 2% mensual de interés compuesto durante 18 meses: Solución: F = P ( 1 + i ) ^n F = 10,000 (1 + 0.02 ) ^18 F = 10,000 ( 1.4282462) F = $14,282.462

VALOR PRESENTE F =$20,000 1 2 3 4 5 19 i = 2.5% mensual P = ? 1 2 3 4 5 19 i = 2.5% mensual P = ? Ejemplo 2: Que suma se debe invertir hoy al 2.5% de interés mensual compuesto para acumular $20,000 dentro de 19 meses ?:

VALOR PRESENTE F =$20,000 1 2 3 4 5 19 i = 2.5% mensual P = ? 1 2 3 4 5 19 i = 2.5% mensual P = ? Ejemplo 2: Que suma se debe invertir hoy al 2.5% de interés mensual compuesto para acumular $20,000 dentro de 19 meses ?: Solución: P = F [ 1 / ( 1 + i ) ^n ] P = 20,000 [ 1 / ( 1+ 0.025 ) ^19 ] P = 20,000 [ 1 / ( 1.599) ] P = 20,000 ( 0.626 ) P = $12,510.554

TASA DE INTERES F =$15,000 1 2 3 4 5 18 i = ? P = $10,000 1 2 3 4 5 18 i = ? P = $10,000 Ejemplo 3: A que tasa de interés se deben invertir $10,000 para que en 18 meses se conviertan en $15,000 ?

TASA DE INTERES F =$15,000 1 2 3 4 5 18 i = ? P = $10,000 1 2 3 4 5 18 i = ? P = $10,000 Ejemplo 3: A que tasa de interés se deben invertir $10,000 para que en 18 meses se conviertan en $15,000 ? n Solución: i = ( F / P ) - 1 18 i = (15,000/10,000) - 1 i = (1.5 )^1/18 - 1 i = 0.02278 = 2.278%

NUMERO DE PERIODOS F =$150,000 1 2 3 4 5 N = ? i = 8% anual 1 2 3 4 5 N = ? i = 8% anual P = $100,000 Ejemplo 4: Cuantos años deben permanecer $100,000 en un fondo de inversión que paga el 8% anual para que se conviertan en $150,000 ?

NUMERO DE PERIODOS F =$150,000 1 2 3 4 5 N = ? i = 8% anual 1 2 3 4 5 N = ? i = 8% anual P = $100,000 Ejemplo 4: Cuantos años deben permanecer $100,000 en un fondo de inversión que paga el 8% anual para que se conviertan en $150,000 ? Solución: n = Ln ( F / P ) / Ln ( 1 + i ) n = Ln (150,000 / 100,000) / Ln 1.08 n = Ln1.5 / Ln 1.08 n = 0.40547 / 0.07696 n = 5.27 años