Geometría Analítica en el Espacio Material Didáctico Innovador Colaboradores: Dra. Martha Guadalupe Canales Leyva M.I. Rocío Patricia Rivas Llanas Ing. Berenice Franco Estrada Ing. Carlos Alfonso Gameros Morales M.I. José Lino Carrillo M.C. Claudio Hiram Carmona Jurado 15/09/2010

3.1 Recta en el espacio RECTA Una recta es un conjunto de punto alineados en una cierta dirección. PUNTOS COLINEALES Si dos o más puntos se encuentran en una recta se le dice que son colineales. PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) esta dada por: Si x2- x1=0 y y2 ≠ y1 , entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida. Para cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede describir con su ecuación de la forma pendiente- ordenada: y =mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada (valor de y en e punto en que se cruza el eje y). Tal ecuación define a la recta sobre el origen. 15/09/2010

3.1 Recta en el espacio LA ECUACIÓN DE LA RECTA A PARTIR DE UN PUNTO Y SU PENDIENTE La ecuación de una recta que pasa por el punto (x1,y1) con pendiente m en la forma punto- pendiente es: y – y1 = m ( x – x1) x y (x1,y1) b L 15/09/2010

3.1 Recta en el espacio LA ECUACIÓN DE LA RECTA A PARTIR DE DOS PUNTOS DE LA RECTA Los puntos P = (x1,y1) y Q = (x2,y2) se encuentran en la recta L, donde su pendiente esta dada por la ecuación: Entonces la ecuación de una recta dados dos de sus puntos será: x y (x2,y2) L (x1,y1) 15/09/2010

3.1 Recta en el espacio VECTOR DE POSICIÓN. Es la longitud y la dirección del segmento de recta que va del origen O al punto A (x,y,z); el cual se denota como . O recibe el nombre de punto inicial de y A recibe el nombre de punto terminal. Para calcular la ecuación de una recta L en R3 es posible si: * Se conocen dos puntos sobre ella. * Si se conoce un punto y la dirección de la recta L Sean dos puntos P= ( x1 , y1 , z1 ) y Q = ( x2 , y2 , z2 ) sobre una recta L. Un vector paralelo a L es aquel con representación PQ. Entonces: donde v = Ahora, sea R = ( x , y , z ) otro punto sobre la recta L. Entonces es paralelo a y a l vector v , por lo que: para algún número real de t . 15/09/2010

3.1 Recta en el espacio Para el caso de conocer dos puntos en el espacio tridimensional, los cuales son parte de una recta L, entonces se representan de la siguiente manera: Estos puntos representan dos vectores de posición y .Del punto P al punto Q se encuentra un vector : 15/09/2010

3.1 Recta en el espacio Existe un segmento en la recta L que se encuentra entre los puntos P y Q donde se unen dichos puntos como se puede observar en la grafica siguiente: 15/09/2010

3.1 Recta en el espacio De lo antes expuesto tenemos los siguientes planteamientos. Existe un vector de posición del origen al punto Q expresado . Existe una vector de posición desde el origen al punto P expresado . Existe un vector v que se encuentra entre los puntos P y Q , donde v es parte de la recta que une a los puntos P y Q. Por lo anterior se define el vector v que une los puntos P y Q se obtiene restando a los vectores de y :   Por lo tanto el vector v queda definido como : Consultar el grafico. 15/09/2010

3.1 Recta en el espacio Ejemplo: Sean los puntos sobre una recta P=(1, -1, 2), Q=(-2, 4, 1) , para encontrar el vector entre ambos puntos se realizan las siguientes operaciones: Calculamos el vector por la formula siguiente: Desarrollando los datos: Expresando las operaciones con los componentes i, j, k: v=(x2-x1)i +(y2-y1)j +(z2-z1)k Sustituyendo los valores: v=(-2-1)i + (4-(-1))j+(1-2)k El vector v entre P y Q es: v=-3i + 5j -1k 15/09/2010

3.1 Recta en el espacio Ejemplo: Representación grafica de la recta definida anteriormente El vector v=-3i + 5j -1k 15/09/2010

3.1.1 Ecuación vectorial de la recta Se tienen dos puntos P y Q en el espacio tridimensional P=(x1,y1,z1) y Q=(x2,y2,z2) sobre una recta L. Un vector colineal a L es . Sea v un vector que pasa por P y Q definido por: v=(x2-x1)i +( y2-, y1)j+( z2- z1)k Sea otro punto R= (x, y, z) sobre la recta L con su correspondiente vector de posición . es colineal al vector v. es colineal a entonces el vector v es colineal a = tv . Entonces Veamos las siguientes gráficas: 15/09/2010

3.1.1 Ecuación vectorial de la recta En las tres graficas se representa los casos de la posición relativa de los puntos P, Q y R. 15/09/2010

3.1.1 Ecuación vectorial de la recta Ejemplo. Encuentre la ecuación vectorial de la recta L que pasa por los puntos P=(-4,-2,7) y Q=(1,-3,4). Calculamos v que es un vector paralelo a L, entonces: v = (1 - (-4)) i + (-3 - (-2)) j + (1 - 7) k = 5i -j -6k Considerando un punto sobre la recta R=(x, y, z), obtenemos la Ecuación Vectorial de la recta: OR= xi + yj + zk= OP + tv = (-4i -2j +7k) + t (5i -j -6k) 15/09/2010

3.1.2 Ecuaciones paramétricas de la recta Sea ecuación vectorial de la recta L es aquella planteada según lo antes visto, sustituyendo a : Y también considere . Al sustituir en la primera ecuación queda Si expresamos en función de sus componentes queda: xi + yj + zk = x1i + y1j + z1k + t (x2-x1)i + t (y2-y1)j + t(z2-z1)k De la expresión anterior obtenemos , al agrupar componente por componente, las ecuaciones paramétricas de una recta: x= x1 + t(x2-x1) y= y1 + t(y2-y1) z= z1 + t(z2-z1) 15/09/2010

3.1.2 Ecuaciones paramétricas de la recta Ejemplo. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por los puntos P=(3,1,5) y Q=(4,-2,1). Para poder obtener las ecuaciones paramétricas necesitamos primero obtener la ecuación vectorial a partir de P y Q, obteniendo: v = (4 - 3)i + (-2 - 1)j + (1 - 5)k = i -3j -4k Ahora para obtener las ecuaciones paramétricas desarrollamos los componentes: x = x1 + t (x2- x1)  x = 3 + t y = y1 + t (y2 - y1)  y = 1 - 3t z = z1 + t (z2 - z1)  z = 5 - 4t 15/09/2010

3.1.3 Ecuaciones simétricas de la recta A continuación en cada una de las componentes de las ecuaciones paramétricas tenemos : x= x1 + t (x2-x1) Donde (x2-x1) = a y= y1 + t (y2-y1) Donde (y2-y1) = b z= z1 + t (z2-z1) Donde (z2-z1) = c Se despejan en cada expresión la constante t y se igualan, así tenemos: Por lo que estas expresiones definen las ecuaciones simétricas de la recta. Los elementos a, b, c son los números directores del vector v considerando a, b, c ≠ 0. 15/09/2010

3.1.3 Ecuaciones simétricas de la recta Ejemplo. Tomamos las ecuaciones paramétricas de la recta L y el punto P= (3, 1 ,5) del ejemplo anterior : x = 3 + t y = 1 - 3t z = 5 - 4t Calculamos los números directores del vector v como sigue: x2 - x1= a  4 - 3 =1 y2 - y1= b  -2 - 1= -3 z2 - z1= c  1 - 5 = -4 con lo que obtenemos a=1, b= -3 y c= -4 Considerando que P=(x1,y1, z1) = (3, 1 ,5) entonces obtenemos las Ecuaciones Simétricas de la recta L: 15/09/2010

3.1.3 Ecuaciones simétricas de la recta (anotación) Tanto las ecuaciones paramétricas como simétricas de una recta no son únicas, para observar esto, se toman otros dos puntos arbitrarios sobre la recta y calcular la mencionadas ecuaciones. 15/09/2010

3.1.3 Ecuaciones simétricas de la recta Ejemplo De las ecuaciones paramétricas anteriores: x = 3 + t y = 1 - 3t z = 5 - 4t Tomamos otro punto mas sobre la recta L, supongamos un punto cuando t=2, obtenemos un nuevo punto (5, -5, -3) con el cual sustituiremos a P y volveremos a elegir Q=(4, -2, 1) del ejemplo anterior. Ahora buscamos nuevamente a el vector v: v = (4 - 5)i + (-2 -(-5))j + (1 – (-3))k = -i + 3j +4k A partir de nuestros puntos P , Q y el vector v podemos obtener nuevas ecuaciones para la misma recta, en puntos distintos: x = 5 - t y = -5+3t z = -3 +4t 15/09/2010

3.1.4 Distancia de un punto a una recta La distancia D de un punto Q a una recta L es la longitud que se encuentra trazada perpendicularmente desde dicha recta hasta el punto. Sea un punto P sobre la recta L Dados los vectores se relacionan por la siguiente formula distancia D: Donde v es la proyeccion de PQ Donde x v es el producto vectorial entre los vectores. 15/09/2010

3.1.4 Distancia de un punto a una recta Ejemplo. Calcular la distancia que existe entre los puntos P=(3, 1, 5) y Q=(1, 4, 2) sí P se encuentra en la recta para la cual el vector v = i - 3j - 4k es paralelo. Primero obtenemos a el vector PQ: PQ = (1-3)i + (4-1)j + (2-5)k = -2i +3j -3k Después obtenemos la norma del producto cruz de los vectores || PQ x v ||: i j k PQ x v = -2 3 -3 = 3 -3 i - -2 -3 j + -2 3 k 1 -3 -4 -3 -4 1 -4 1 -3 = (-12 - 9)i - (8 - (-3))j + (6 – 3)k = -21i -11j + 3k || PQ x v || = √ (-21)2 + (-11)2 + (3)2 = 23.89 ≈ 23.9 || v ||= √(1)2 + (-3)2 + (-4)2 =5.1 D = || PQ x v || = 23.9 = 4.68 || v || 5.1 15/09/2010

3.2 Plano en el espacio Sean dos puntos P y Q en el espacio y que define una recta y además el vector normal n=(a,b,c) ≠ 0 a la recta , entonces el conjunto de todos los puntos para los que se cumpla  n=0 constituyen un plano (simbolizado como π) en R3. 15/09/2010

3.2 Plano en el espacio Vector Normal a un plano Es aquel vector perpendicular (ortogonal) a una recta que se encuentra en un plano en el espacio tridimensional y se le llama vector normal simbolizado como n. 15/09/2010

3.2.1 Ecuación Cartesiana del Plano Sean dos puntos sobre un plano P=(x0,y0,z0) y Q=(x, y, z) donde P es punto fijo en el plano vector normal n: Entre los puntos P y Q , se encuentra un vector que se obtiene de la forma siguiente : PQ= (x-x0)i +(y-y0) j + (z-z0)k El vector normal n , el cual tiene como componentes n=ai+ bj+ ck y dado que el vector es perpendicula a n entonces  n=0 por lo tanto: Si A esta expresión se le conoce la ecuación cartesiana del plano: 15/09/2010

3.2.1 Ecuación Cartesiana del Plano Ejemplo. Encuentre un plano π que pasa por el punto (2, 5, 1) y que tiene un vector normal n = i -2j +3k. Entonces, sí n = ai + bj + ck tenemos que a = 1, b = -2 y c = 3, y considerando que d = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = OP· n = 0, entonces obtenemos: a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 (x-2) - 2(y-5) + 3(z-1) = 0 y d = ax + by + cz (Ecuación Cartesiana del plano) y así obtenemos: x -2y + 3z = -5 15/09/2010

3.2.2 Plano en el espacio (anotación) Tres puntos no colineales determinan un plano ya que forman dichos puntos dos vectores no paralelos que se intersectan en un punto. P Q R x y z π 15/09/2010

3.2.3 Planos Paralelos Cuando tenemos la posición de varios planos en el espacio se definen dependiendo de la posición en que se encuentran entre ellos. Analicemos los siguientes casos. Caso 1: Cuando los dos Planos son Paralelos, los planos no tienen ninguna coincidencia entre sí; supongamos dos planos π1, π2 que son paralelos, para lo cual se sus vectores normales n1 (para π1 ) y n2 (para π2) cumplen con la siguiente expresión: n1 x n2 =0 15/09/2010

3.2.3 Planos Paralelos Ejemplo: Demuestre que los planos π1 : 2x – y + 4z = 3 y π2 : 6x – 3y + 12z = 9 son paralelos. Solución: Como el producto cruz de los vectores normales de los planos es cero, por lo tanto, ambos planos son paralelos. Nótese que n2 = 3n1. 15/09/2010

3.2.4 Intersección de Planos Caso 2: Cuando dos planos se intersectan definen una recta entonces los planos π1, π2, se pueden plantear en un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, ya que cada plano se expresa π1=a1x+b1y+c1z=d1 y π2,=a2x+b2y+c2z=d2. 15/09/2010

3.2.4 Intersección de Planos Ejemplo: Encuentre todos los puntos de intersección de los planos: π1 : 2x – y + 4z = 1 y π2 : – x + 2y – 4z = 2 Solución: 15/09/2010

3.2.5 Angulo Diedro El ángulo diedro entre dos planos (π1 y π2) es aquel ángulo agudo  que se encuentra entre los dos vectores normales (n1 y n2) de los planos π1 y π2. Donde  [ 0,90°] , donde es un intervalo cerrado, cerrado. La formula es la siguiente: 15/09/2010

3.2.5 Angulo Diedro π 1: 3x – y – 4z = 8 y π 2: 2x – 3y + 4z = 7 Ejemplo: Encuentre el ángulo diedro entre los planos π 1: 3x – y – 4z = 8 y π 2: 2x – 3y + 4z = 7 Solución: Se ha cambiado el signo de la ecuacion por existir error 15/09/2010

3.2.6 Distancia de un punto a un plano La distancia D entre un punto Q=(x0,y0,z0) al el plano π=ax+by+cz+d=0 se calcula con: Si tenemos al punto P =(x1,y1,z1) cualquier punto en el plano así como al vector normal n=ai+bj+ ck, la distancia D, es igual a la longitud de la proyección ortogonal de sobre el vector n. 15/09/2010

3.2.6 Distancia de un punto a un plano Donde Sabemos que: Entonces, la distancia D entre un punto P=(x0,y0,z0) y el plano ax + by +cz + d=0 es : 15/09/2010

3.2.6 Distancia de un punto a un plano Ejemplo: Encuentre la distancia del punto P = ( 2,-1, 6 ) al π : 2x – y + z = 3 Solución: 15/09/2010