PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo. 1 EL RADIO DEL CÍRCULO Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo. Solución Dado que la diagonal de 8 cm. tiene la misma longitud que el radio del círculo, la respuesta es 8 cm.

2 EL LADO DEL ROMBO En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un estanque de forma rómbica, según la figura. ¿Cuánto mide el lado del rombo? Solución Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo.         Por lo tanto, son iguales en longitud. Lado del rombo = 9 m.

EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES 3 EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo? Solución 60°. Basta observar de que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara.

4 GOLPE DE VISTA Solución Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q. El segmento PQ mide 3 cm. Por uno de los puntos (O) donde se cortan las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN? Solución MN = 6 centímetros. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ, surge la respuesta.

120°. Sólo hace falta terminar de dibujar el hexágono regular ABCDEF. 5 EL ÁNGULO OBTUSO Solución . ¿Cuánto mide el ángulo obtuso ABC? A, B y C son los puntos medios de los lados. 120°. Sólo hace falta terminar de dibujar el hexágono regular ABCDEF.

6 EL ÁNGULO EXTERIOR . En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50 ¿Cuál es la medida del ángulo x? Solución Puesto que es isósceles: B = C = (180°-A)/2 = 130°/2 = 65°. Por lo tanto: x= 180°-C = 180°- 65° = 115°.

CUADRADOS QUE SE CORTAN 7 CUADRADOS QUE SE CORTAN Solución Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos, de manera que un vértice de uno está siempre en el centro del otro. ¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible? El área comprendida entre ambos siempre es la cuarta parte de la de un cuadrado. Los triángulos ABC y CDE son iguales.

SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS 8 SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS Solución Si el ancho de un marco es igual en sus dos direcciones, horizontal y vertical, como sucede casi siempre, el rectángulo constituido por el cuadro completo y el rectángulo de la tela pintada ¿serán semejentes? No lo son, puesto que las fracciones: b/a y (b+2h)/(a+2h) son siempre distintas, salvo en el caso del cuadrado (a=b).

9 PAQUETE POSTAL Un hombre quiere enviar por correo un fluorescente que mide 92 cm. de largo, pero las normas de Correos prohíben los paquetes postales superiores a 55 cm. ¿Cómo podría enviar el objeto por correo sin romperlo, ni doblarlo ni faltar a las ordenanzas de Correos? Solución Puede utilizar para el envío una caja en forma de cubo de 55 cm. de lado, pues una caja de estas características tiene una diagonal de 95 cm.

SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS 10 SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como muestra la figura adjunta. Sabiendo que el área del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de superficie, ¿qué área tiene el cuadrado mayor? Solución En lugar de inscribir el cuadrado como mostraba la figura anterior, hagámoslo girar 45 hasta la posición que muestra la figura siguiente. Se observa que el área del cuadrado mayor es el doble que la del inscrito; es decir, 8 unidades.

11 NUEVE ÁNGULOS Solución Calcula el valor de todos los ángulos de la figura sabiendo que el ángulo 1 vale 70. El ángulo 2 mide 20°. Por tratarse de un triángulo isósceles (dos lados son radios) los ángulos 4 y 5 son iguales. La suma de los ángulos 2, 3 y 4 es 90°, pues el ángulo total abarca el diámetro. De estas dos condiciones se obtiene que la suma de los ángulos 2 y 4 es igual al ángulo 7. Y el ángulo 7 es igual a dos veces el ángulo 4. De donde el ángulo 2 es la mitad del ángulo 7. Por tanto el ángulo 7 mide 40°, los ángulos 4 y 5 miden 20° cada uno, el ángulo 6 mide 140°, el ángulo 7 mide 50° y los ángulos 8 y 9 son rectos.