Leyes de los senos y de los cosenos Ing. Henry González contenido salir >

Notación Utilizaremos letras mayúsculas como A, B y C, para representar a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b y c, para representar los lados opuestos correspondientes. A b c C a B contenido salir < >

Ley de los senos Si ABC es un triángulo con lados a, b y c, entonces, a/Sen A = b/Sen B = c/ Sen C B a C C b a c b A c B A contenido salir < >

Una idea de la demostración: Sea h la altura de cualquiera de los triángulos, entonces tenemos que, Sen A = h/b , o bien h = b Sen A. Así mismo, h = a Sen B. Por lo tanto, a Sen A = b Sen B, o equivalentemente a/Sen A = b/Sen B. C B a ¿Cómo continuar? b C h a c A h b c A B contenido salir < >

Aplicaciones: Ejemplo 1(Resolución de triángulos). En el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes. C b a A c B contenido salir < >

El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados. Solución: El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados. Por la ley de los senos tenemos que: a/Sen 49 = b/Sen 28.7 = c/Sen 102.3 Usando que b = 27.4 se obtiene, a = (27.4/Sen 28.7) Sen 49 = 43.06 mts. Y c = (27.4/Sen 28.7)Sen 102.3 = 55.75 mts. contenido salir < >

Ejemplo 2 (Área de un triángulo oblicuo). La idea de la demostración de la ley de los senos sugiere una fórmula para el área de triángulos oblicuos. C C a b h b a h A c A B c B Área = 1/2(base)(altura) = (1/2) c(b Sen A) = (1/2)bc SenA. De manera similar se obtienen las fórmulas: Área = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B. contenido salir < >

Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del punto A. Calcule la distancia total del recorrido. N A O E Solución: Como las líneas BD y AC son paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces el otro ángulo del triángulo es B = 180-52-40 = 88 grados. S 52 B 8 kms. Por la ley de los senos tenemos que: a/Sen 52 = b/Sen 88. 40 Pero b=8, entonces a = (8/Sen 88)Sen 52 = 6.308 kms. C D contenido salir < >

Ley de los cosenos En un triángulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen las siguientes relaciones: Forma estándar Forma alternativa a2 = b2 + c2 –2bc cos A Cos A = (1/2bc) (b2 + c2 – a2) b2 = a2 + c2 –2ac cos B Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) c2 = a2 + b2 –2ab cos C Cos C = (1/2ab) (a2 + b2 – c2) Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y de la primera relación se obtiene que a2 = b2 + c2 Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso particular de la ley de los cosenos. contenido salir < >

Solución. Ejemplo 4. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 mts., b = 19 mts., c=14 mts. B Solución. c=14 mts. a=8 mts. A C b=19 mts. Por la ley de los cosenos tenemos que Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508. Como Cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = 116.80 grados. Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues a/Sen A = b/Sen B, o bien Sen A = a(Sen B/b) = 0.37582. Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces, A=22.08 grados. contenido salir < >

Fórmula de Herón: Si un triángulo tiene lados a, b, c, su área es: Área = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2, donde s = (1/2)(a+b+c). ¿Por qué? Por el ejemplo 3, sabemos que, Área = (1/2) bc sen A = ((1/4)b2c2 sen2A)1/2 = ((1/4)b2c2 (1-cos2A))1/2 = = ([(1/2)bc(1+cos A)] [(1/2)bc(1-cos A)])1/2. Usando la ley de los cosenos se puede ver que (1/2)bc(1+cos A) = [(a+b+c)/2][(-a+b+c)/2] = s(s-a), y (1/2)bc(1-cos A) = [(a-b+c)/2][(a+b-c)/2] = (s-b)(s-c). Entonces podemos concluir que Área = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2 contenido salir < >

Ejemplo 4. Encontrar el área de un triángulo cuyos lados miden a=43 mts., b=53 mts., y c=72 mts. Solución: Usando la fórmula de Herón tenemos que s=(1/2)(a+b+c) = (1/2) 168 = 84. Entonces, Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2 = (84(41)(31)(12))1/2 = = 1131.89 mts. contenido salir <

Clase 2014 Ejercicios sobre la ley de los senos y  c b sen  = – Ejercicios sobre la ley de los senos y la ley de los cosenos a2 2bc cos  a sen  b2 + c2 a b   =

Revisión del estudio individual Dos nadadores se encuentran a 250 m uno de otro. Ambos están nadando hacia el mismo punto, que se halla a 423m del primero y a 360m del otro.¿Qué ángulo forman las direcciones de ambos? Rta/  = 36,8o

Un barco está a 15 km directamente al sur de un puerto Un barco está a 15 km directamente al sur de un puerto. Si el barco navega al nordeste 4,8 km,¿a qué distancia se encuentra del puerto? P PBC = 450 PB = 15 km C PC = ? BC = 4,8km B

Ejercicio 1 Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) colocadas en los vértices de un triángulo son AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La segunda está al Este de la primera y la tercera está al Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué dirección estará la tercera vista desde la primera? C N S E O NE NO SE SO 185 km 72 km  165 km A B

Ejercicio 2 Una ciudad está a 15 km al Este de otra. Una tercera ciudad a 10 km de la primera en dirección nordeste aproximadamente y a 14 km de la segunda en dirección noroeste aproximadamente. Halla la dirección exacta a que se encuentra la tercera ciudad respecto a cada una de las dos primeras. C N S E O NE NO SE SO 14 km 10 km  15 km A B