1.Introducción a la Estadística 2.Descripción de los conjuntos de datos 3.Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos 4.Probabilidad 5.Variables aleatorias discretas 6.Variables aleatorias normales

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que estudia los fenómenos aleatorios. (Aleatorio: Al azar, que no sigue un patrón, secuencia u orden determinado. Dependiente de algún hecho fortuito.)

La palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho, hay muchas interpretaciones de la probabilidad. Comentaremos dos:  La frecuentista  La bayesiana

Los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio.

Los bayesianos, no obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio, como una manera de representar su verosimilitud subjetiva.

n voladosÁguilasProbabilidad , ,0001, ,0002, ,0005, ,00024, ,048,575524,

Se asignan probabilidades a cualquier tipo de declaración, incluso cuando ningún proceso aleatorio está involucrado. Probabilidad para un bayesiano, es una manera de representar el grado de creencia de un individuo en una declaración, dada la evidencia.

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

El término probabilidad se utiliza habitualmente en relación con la posibilidad de que ocurra un determinado evento cuando se lleva a cabo un experimento, concebido éste en un sentido muy amplio.

Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

Con frecuencia estaremos interesados en experimentos cuyos resultados no sean, de antemano, predecibles con certeza. Y aunque el resultado del experimento no se conozca por adelantado, se supondrá que el conjunto de sus posibles resultados sí es conocido.

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denominará espacio muestral y se denotará por S.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se denomina espacio muestral. Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

Una caja contiene tres bolas: una roja, una azul y una amarilla. Considere el experimento de extraer una bola de la caja, devolverla a la caja y extraer una segunda bola.

Una caja contiene tres bolas: una roja, una azul y una amarilla. Considere el experimento de extraer una bola de la caja, devolverla a la caja y extraer una segunda bola.

Los miembros de una familia han decidido pasar sus próximas vacaciones en Veracruz o en Oaxaca. Si van a Veracruz, pueden ir en autobús o en coche. Si van a Oaxaca pueden ir en coche, en autobús o en avión. Si el resultado del experimento consiste en el país y el tipo de desplazamiento elegidos, liste todos los puntos del espacio muestra.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.

Es decir, un evento es un subconjunto del espacio muestral S. Los eventos se denotarán mediante letras mayúsculas A, B, C, etc.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento. Se dice que un evento A ocurre si el resultado está contenido en A.

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

Es un hecho empíricamente comprobado que si se repite un experimento sucesivamente bajo las mismas condiciones, se verifica que, para cualquier evento A, la proporción de resultados contenidos en A se aproxima a cierto valor a medida que el número de repeticiones aumenta.

Por ejemplo, si se lanza una moneda sucesivamente, la proporción de lanzamientos en los que se obtiene águila se aproxima a un valor a medida que el número de lanzamientos crece.

Esta proporción, o frecuencia relativa, a largo plazo, es lo que uno tiene en mente cuando se habla de la probabilidad de un evento. Por ejemplo, si se lanza una moneda sucesivamente, la proporción de lanzamientos en los que se obtiene águila se aproxima a un valor a medida que el número de lanzamientos crece.

LanzamientosÁguilaFrecuencia relativa

LanzamientosSale Águilasale SolFrecuencia relativa de Águila ,000 1, ,000 3,011 2, ,000 3,974 4, ,000 5,011 4,

LanzamientosSale 3Frecuencia relativa

Si se interpreta la probabilidad P(A) como el límite de la frecuencia relativa de un evento A, las condiciones establecidas mediante las tres propiedades, se cumplen.

La proporción de experimentos en los que A contenga el resultado será con seguridad un número comprendido entre 0 y 1. Si se interpreta P(A) como el límite de la frecuencia relativa de un evento A, las condiciones establecidas se cumplen.

La proporción de experimentos en los que S contiene al resultado es 1, puesto que todos los resultados están contenidos en el espacio muestral S. Si se interpreta P(A) como el límite de la frecuencia relativa de un evento A, las condiciones establecidas se cumplen.

Finalmente, si A y B no contienen resultados comunes, la proporción de experimentos cuyos resultados estén en A o en B es igual a la proporción de experimentos cuyos resultados estén en A más la proporción de experimentos cuyos resultados estén en B. Si se interpreta P(A) como el límite de la frecuencia relativa de un evento A, las condiciones establecidas se cumplen.

Si A y B no contienen resultados comunes, la proporción de experimentos cuyos resultados estén en A o en B es igual a la proporción de experimentos cuyos resultados estén en A más la proporción de experimentos cuyos resultados estén en B. Si se interpreta P(A) como el límite de la frecuencia relativa de un evento A, las condiciones establecidas se cumplen. Por ejemplo, si la proporción de lanzamientos de un par de dados cuyos resultados sumen 7 es 1/6 y la proporción de lanzamientos cuyos resultados sumen 11 es 1/18, la proporción de lanzamientos con una suma resultante igual a 7 o 11 es 1/6 + 1/18 = 2/9.

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

TotalCochesCamiones Estados Unidos 12,328,305 5,027,425 7,300,881 Japón 10,239,949 8,618,725 1,621,224 Alemania 5,469,564 5,122, ,700 Francia 3,660,985 3,284, ,985 Corea del Sur 3,147,584 2,651, ,311 Total 34,846,387 24,704,317 10,142,101

Column1TotalCochesCamionesTotalCocheCamión Estados Unidos 12,328,305 5,027,425 7,300, Japón 10,239,949 8,618,725 1,621, Alemania 5,469,564 5,122, , Francia 3,660,985 3,284, , Corea del Sur 3,147,584 2,651, , Total 34,846,387 24,704,317 10,142,

Hasta aquí llegue el lunes 25 de enero de 2010 después de 16 horas de clase, de 10 a 14 de lunes a jueves de la semana anterior

Clase del martes 26 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

Examen: Viernes 29 de enero De 10:00 a 13:00 Auditorio del Centro de Información

1.Introducción a la Estadística 2.Descripción de los conjuntos de datos 3.Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos 4.Probabilidad 5.Variables aleatorias discretas 6.Variables aleatorias normales

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

Resumen para la clase del martes 26 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se denomina espacio muestral. Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.

Los eventos son los subconjuntos del espacio muestral S. Los eventos se denotarán mediante letras mayúsculas A, B, C, etc.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento. Se dice que un evento A ocurre si el resultado está contenido en A.

Fin del resumen para la clase del martes 26 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

En ocasiones, uno está interesado en calcular probabilidades cuando dispone de cierta información parcial relativa al resultado del experimento. En tales situaciones, las probabilidades se denominan probabilidades condicionadas.

Como ejemplo de probabilidad condicionada, supongamos que lanzamos dos dados. El espacio muestral de este experimento es el conjunto de los 36 resultados (i, j), donde tanto i como j varían entre 1 y 6. El resultado (i, j) indica que el lanzamiento del primer dado es i y que el del segundo es j. Supongamos que cada uno de los 36 resultados tiene la misma probabilidad de ocurrir, igual a 1/36. (Cuando esto es así, se dice que el dado está bien construido).

Supongamos, adicionalmente, que se sabe que el primer lanzamiento ha sido un 4. Dada esta información, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los dos lanzamientos sea 10? Supongamos que lanzamos dos dados. El espacio muestral de este experimento es el conjunto de los 36 resultados (i, j), donde tanto i como j varían entre 1 y 6. El resultado (i, j) indica que el lanzamiento del primer dado es i y que el del segundo es j. Supongamos que cada uno de los 36 resultados tiene la misma probabilidad de ocurrir, igual a 1/36.

Para determinar esta probabilidad, se puede razonar como sigue. Dado que el primer lanzamiento ha resultado ser un 4, existen 6 posibles resultados del experimento, que son: (4,1),(4,2), (4,3),(4,4), (4,5),(4,6) Supongamos que lanzamos dos dados. El espacio muestral de este experimento es el conjunto de los 36 resultados (i, j), donde tanto i como j varían entre 1 y 6. El resultado (i, j) indica que el lanzamiento del primer dado es i y que el del segundo es j. Supongamos que cada uno de los 36 resultados tiene la misma probabilidad de ocurrir, igual a 1/36. Supongamos, adicionalmente, que se sabe que el primer lanzamiento ha sido un 4. Dada esta información, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los dos lanzamientos sea 10?

Además, puesto que estos resultados tienen inicialmente la misma probabilidad de ocurrencia, continuarán teniendo probabilidades iguales. Esto es, dado que el primer lanzamiento ha sido 4, la probabilidad condicionada de los resultados de los segundos lanzamientos será 1/6. Puesto que en solamente uno, exactamente el (4, 6), de estos últimos resultados hace que la suma de los dos lanzamientos sea 10, se sigue que la probabilidad de que la suma sea 10, dado que el primer lanzamiento ha sido 4, es 1/6. Dado que el primer lanzamiento ha resultado ser un 4, existen 6 posibles resultados del experimento, que son: (4,1),(4,2), (4,3),(4,4), (4,5),(4,6)

Si B denota el evento consistente en que la suma de los dos lanzamientos sea 10 y A denota el evento definido por el hecho de que el primer lanzamiento sea 4, la probabilidad obtenida anteriormente se conoce como probabilidad condicionada de B dado que ha ocurrido A. Se denota por P(B|A)

Para obtener una fórmula general para P(B|A) se supone que el resultado del experimento está contenido en A. Para que el resultado esté también en B debe estar simultáneamente en A y en B; esto es, debe estar en A  B. Sin embargo. como sabemos que el resultado está en A, se tiene que A se convierte en nuestro nuevo (o reducido) espacio muestral, y la probabilidad de que el evento A  B ocurra es la probabilidad de A  B relativa a la probabilidad de A.

En algunos casos surge la necesidad de examinar varios eventos en correlación, por ejemplo, cuando hay que determinar cómo influye la aparición ó no aparición de un evento sobre la frecuencia del surgimiento de otro.

En este caso, además de la frecuencia del evento B, para toda la serie de experimentos realizados, se calcula también la frecuencia del evento B teniendo en cuenta sólo aquellas pruebas que han llevado a la producción de otro evento A que nos interesa.

Con otras palabras, antes de determinar la frecuencia del evento B se seleccionan sólo aquellos experimentos en los que ha sucedido el evento A, sin tomar en consideración los demás.

La frecuencia del evento B calculada sólo para aquellas pruebas en las que se ha producido el evento A se llama frecuencia condicional del evento B con respecto al evento A.

DISCIPLINAPORCENTAJE Estudios posteriores26.2% Negocios23.2% Comunicaciones8.4% Administración pública8.3% Ciencia o tecnología8.0% Enseñanza7.9% Otro18.0% 100.0%

26.2% 8.4% 8.3% 8.0% 18.0% 68.9%

26.2% 8.4% 8.3% 8.0% 18.0% 68.9%

26.2% 8.4% 8.3% 8.0% 18.0% 68.9%

26.2% 8.4% 8.3% 8.0% 18.0% 68.9%

26.2% 8.4% 8.3% 8.0% 18.0% 68.9%

26.2% 8.4% 8.3% 18.0% 60.9%

26.2% 8.4% 8.3% 8.0% 18.0% 68.9%

26.2% 8.3% 8.0% 18.0% 60.5%

26.2% 8.4% 8.3% 8.0% 18.0% 68.9%

26.2% 8.4% 18.0% 52.6%

Esta definición de la probabilidad condicionada es coherente con la interpretación de la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo.

1.Supongamos que se llevan a cabo un gran número, digamos n, de repeticiones del experimento.

2.Si consideramos solamente aquellos experimentos en los que ocurre el evento A, P(B|A) será igual a la proporción de ellos en los que también ocurre B, puesto que P(A) es la proporción, a largo plazo, de experimentos en los que ocurre A, se tendrá que en n repeticiones del experimento, A ocurrirá aproximadamente nP(A) veces.

1.Supongamos que se llevan a cabo un gran número, digamos n, de repeticiones del experimento. 2.Si consideramos solamente aquellos experimentos en los que ocurre el evento A, P(B|A) será igual a la proporción de ellos en los que también ocurre B, puesto que P(A) es la proporción, a largo plazo, de experimentos en los que ocurre A, se tendrá que en n repeticiones del experimento, A ocurrirá aproximadamente nP(A) veces. 3.De igual forma, en aproximadamente nP(A  B) de estos experimentos ocurrirán simultáneamente A y B.

De aquí se deduce que, entre los aproximadamente nP(A) experimentos cuyos resultados están contenidos en A, aproximadamente nP(A  B) de ellos tendrán resultados contenidos también en B.

Por consiguiente, de todos aquellos experimentos cuyos resultados están contenidos en A, la proporción de ellos cuyos resultados están también en B es aproximadamente igual a Puesto que esta aproximación se hace más exacta a medida que n crece se ve que la definición anterior de probabilidad condicionada de B, dado que A ha ocurrido, es apropiada.

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

Hasta aquí llegue el martes 26 de enero de 2010 después de 20 horas de clase, de 10 a 14 de lunes a jueves de la semana anterior y ayer lunes

Clase del miércoles 27 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

Examen: Viernes 29 de enero De 10:00 a 13:00 Auditorio del Centro de Información

1.Introducción a la Estadística 2.Descripción de los conjuntos de datos 3.Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos 4.Probabilidad 5.Variables aleatorias discretas 6.Variables aleatorias normales

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

Resumen para la clase del miércoles 27 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se denomina espacio muestral. Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.

Los eventos son los subconjuntos del espacio muestral S. Los eventos se denotarán mediante letras mayúsculas A, B, C, etc.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento. Se dice que un evento A ocurre si el resultado está contenido en A.

DISCIPLINAPORCENTAJE Estudios posteriores26.2% Negocios23.2% Comunicaciones8.4% Administración pública8.3% Ciencia o tecnología8.0% Enseñanza7.9% Otro18.0% 100.0%

T A T A

26.2% 8.4% 8.3% 8.0% 18.0% 68.9%

26.2% 8.4% 18.0% 52.6%

Fin del resumen de la clase del miércoles 27 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

10 negras 5 blancas 3 negras 3 blancas

10 negras 5 blancas 3 negras 3 blancas

10 negras 5 blancas 3 negras 3 blancas

Hasta aquí llegue el miércoles 27 de enero de 2010 después de 24:30 horas de clase, de 10 a 14:30 de lunes a jueves de la semana anterior y lunes y martes de ésta.

Clase del jueves 28 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

Examen: Viernes 29 de enero De 10:00 a 13:00 Auditorio del Centro de Información

1.Introducción a la Estadística 2.Descripción de los conjuntos de datos 3.Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos 4.Probabilidad 5.Variables aleatorias discretas 6.Variables aleatorias normales

4.1 Introducción 4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento 4.3 Propiedades de la Probabilidad 4.4 Experimentos con resultados igualmente probables 4.5 Probabilidad condicionada e independencia 4.6 Teorema de Bayes 4.7 Principios de recuento

Resumen para la clase del jueves 28 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se denomina espacio muestral. Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.

Los eventos son los subconjuntos del espacio muestral S. Los eventos se denotarán mediante letras mayúsculas A, B, C, etc.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento. Se dice que un evento A ocurre si el resultado está contenido en A.

[a, b, c, d, e], [a, b, c, e, d], [a, b, d, c, e], [a, b, d, e, c], [a, b, e, c, d], [a, b, e, d, c], [a, c, b, d, e], [a, c, b, e, d], [a, c, d, b, e], [a, c, d, e, b], [a, c, e, b, d], [a, c, e, d, b], [a, d, b, c, e], [a, d, b, e, c], [a, d, c, b, e], [a, d, c, e, b], [a, d, e, b, c], [a, d, e, c, b], [a, e, b, c, d], [a, e, b, d, c], [a, e, c, b, d], [a, e, c, d, b], [a, e, d, b, c], [a, e, d, c, b], [b, a, c, d, e], [b, a, c, e, d], [b, a, d, c, e], [b, a, d, e, c], [b, a, e, c, d], [b, a, e, d, c], [b, c, a, d, e], [b, c, a, e, d], [b, c, d, a, e], [b, c, d, e, a], [b, c, e, a, d], [b, c, e, d, a], [b, d, a, c, e], [b, d, a, e, c], [b, d, c, a, e], [b, d, c, e, a], [b, d, e, a, c], [b, d, e, c, a], [b, e, a, c, d], [b, e, a, d, c], [b, e, c, a, d], [b, e, c, d, a], [b, e, d, a, c], [b, e, d, c, a], [c, a, b, d, e], [c, a, b, e, d], [c, a, d, b, e], [c, a, d, e, b], [c, a, e, b, d], [c, a, e, d, b], [c, b, a, d, e], [c, b, a, e, d], [c, b, d, a, e], [c, b, d, e, a], [c, b, e, a, d], [c, b, e, d, a], [c, d, a, b, e], [c, d, a, e, b], [c, d, b, a, e], [c, d, b, e, a], [c, d, e, a, b], [c, d, e, b, a], [c, e, a, b, d], [c, e, a, d, b], [c, e, b, a, d], [c, e, b, d, a], [c, e, d, a, b], [c, e, d, b, a], [d, a, b, c, e], [d, a, b, e, c], [d, a, c, b, e], [d, a, c, e, b], [d, a, e, b, c], [d, a, e, c, b], [d, b, a, c, e], [d, b, a, e, c], [d, b, c, a, e], [d, b, c, e, a], [d, b, e, a, c], [d, b, e, c, a], [d, c, a, b, e], [d, c, a, e, b], [d, c, b, a, e], [d, c, b, e, a], [d, c, e, a, b], [d, c, e, b, a], [d, e, a, b, c], [d, e, a, c, b], [d, e, b, a, c], [d, e, b, c, a], [d, e, c, a, b], [d, e, c, b, a], [e, a, b, c, d], [e, a, b, d, c], [e, a, c, b, d], [e, a, c, d, b], [e, a, d, b, c], [e, a, d, c, b], [e, b, a, c, d], [e, b, a, d, c], [e, b, c, a, d], [e, b, c, d, a], [e, b, d, a, c], [e, b, d, c, a], [e, c, a, b, d], [e, c, a, d, b], [e, c, b, a, d], [e, c, b, d, a], [e, c, d, a, b], [e, c, d, b, a], [e, d, a, b, c], [e, d, a, c, b], [e, d, b, a, c], [e, d, b, c, a], [e, d, c, a, b], [e, d, c, b, a]

[A, B, C], [A, B, D], [A, B, E], [A, C, B], [A, C, D], [A, C, E], [A, D, B], [A, D, C], [A, D, E], [A, E, B], [A, E, C], [A, E, D], [B, A, C], [B, A, D], [B, A, E], [B, C, A], [B, C, D], [B, C, E], [B, D, A], [B, D, C], [B, D, E], [B, E, A], [B, E, C], [B, E, D], [C, A, B], [C, A, D], [C, A, E], [C, B, A], [C, B, D], [C, B, E], [C, D, A], [C, D, B], [C, D, E], [C, E, A], [C, E, B], [C, E, D], [D, A, B], [D, A, C], [D, A, E], [D, B, A], [D, B, C], [D, B, E], [D, C, A], [D, C, B], [D, C, E], [D, E, A], [D, E, B], [D, E, C], [E, A, B], [E, A, C], [E, A, D], [E, B, A], [E, B, C], [E, B, D], [E, C, A], [E, C, B], [E, C, D], [E, D, A], [E, D, B], [E, D, C]

[a, b, c], [a, b, d], [a, b, e], [a, b, f], [a, c, d] [a, c, e], [a, c, f], [a, d, e], [a, d, f], [a, e, f] [b, c, d], [b, c, e], [b, c, f], [b, d, e], [b, d, f] [b, e, f], [c, d, e], [c, d, f], [c, e, f], [d, e, f]

Fin del resumen de la clase del jueves 28 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

NP(X=N)

Fallas superficiales Sí (evento F)NoTotal DefectuosaSí (evento D) No Total

Fallas superficiales Sí (evento F)NoTotal DefectuosaSí (evento D) No Total

Fallas superficiales Sí (evento F)NoTotal DefectuosaSí (evento D) No Total

Fallas superficiales Sí (evento F)NoTotal DefectuosaSí (evento D) No Total

1.Probabilidad de dos eventos conociendo probabilidad de su unión y su intersección.Probabilidad de dos eventos conociendo probabilidad de su unión y su intersección. 2.Comparacion de las probabilidades condicionales de eventosComparacion de las probabilidades condicionales de eventos 3.Calcular la probabilidad de sacar 2 bolas blancas de una urnaCalcular la probabilidad de sacar 2 bolas blancas de una urna 4.Cantidad de palabras que se pueden formar con el alfabetoCantidad de palabras que se pueden formar con el alfabeto 5.Encuentra la probabilidad de los eventos elementales conocidas las de algunos eventosEncuentra la probabilidad de los eventos elementales conocidas las de algunos eventos 6.Probabilidad de dos eventos conociendo probabilidad de su union y su interseccionProbabilidad de dos eventos conociendo probabilidad de su union y su interseccion

7.Probabilidad de obtener 2 águilas al lanzar una moneda 5 vecesProbabilidad de obtener 2 águilas al lanzar una moneda 5 veces 8.Espacio muestral de un experimento sencilloEspacio muestral de un experimento sencillo