Geodesia Satelital II semestre, 2014 Ing. José Francisco Valverde Calderón Email: jose.valverde.calderon@una.cr Sitio web: www.jfvc.wordpress.com Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Determinación de la posición con observaciones de código Determinar la posición del receptor implica determinar 3 incógnitas (X, Y ,Z). Se incluye una cuarta por la no sincronización de los relojes del satélite y el receptor Recordando la ecuación para la seudodistancia por código, omitiendo las diferentes fuentes de error para la medición con GPS: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Determinación de la posición con observaciones de código De esta manera se tiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas Si se recibe la señal de mas de cuatro satélites, es necesario efectuar un ajuste. La solución del sistema no - sobreterminado, de forma matricial, es de la forma: A= matriz de configuración x = vector de incógnitas B = vector de constantes Para un sistema de ecuaciones no sobre-determinado Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Determinación de la posición con observaciones de código Considerando el modelo dado anteriormente, se tiene que el único termino que presenta las incógnitas es el siguiente: Donde las coordenadas Xi, Yi, Zi son las coordenadas del receptor (desconocidas). Como se observa, la citada expresión NO es una función lineal. Se puede reescribir la fórmula de la siguiente forma: Donde las coordenadas Xi0, Yi0, Zi0 son las coordenadas aproximadas del receptor. Usando valores aproximados, se puede expresar las incógnitas de la siguiente forma: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Determinación de la posición con observaciones de código Donde Xi, Yi, Zi son las nuevas incógnitas Esto quiere decir que las incógnitas originales han sido reemplazadas por una parte conocida Xi0, Yi0, Zi0 y una parte desconocida Xi, Yi, Zi Considerando la fórmula de la distancia geométrica, se tiene que: Por lo que la anterior función puede ser reemplazada por: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Determinación de la posición con observaciones de código Esto permite expandir la anterior función en una serie de Taylor: Se debe expandir la serie hasta términos de primer grado, de lo contrario, la función ya no seria lineal. Las derivadas parciales, producto de la derivación de la expresión de la distancia geométrica, es la siguiente:

Determinación de la posición con observaciones de código Sustituyendo en la fórmula: Se tiene: De esta forma, se obtiene una ecuación lineal que puede ser utilizada para determinar las incógnitas mediante un ajuste por mínimos cuadrados. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Modelo lineal para posicionamiento absoluto con pseudodistancias El siguiente modelo presenta la forma elemental de un posicionamiento absoluto y además de las coordenadas solo se considera el estado de reloj como incógnita. La troposfera, la ionosfera y otras fuentes de error son omitidas. Considerandos la seudodistancia por código: Linealizando: Se considera como conocido el error en el reloj del satélite. Se tiene cuatro incógnitas, por ende necesitamos cuatro satélites para resolver el problema: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Modelo lineal para posicionamiento absoluto con pseudodistancias Esto permite simplificar el modelo, el cual puede ser expresado de la siguiente forma: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Modelo lineal para posicionamiento absoluto con pseudodistancias Expresando en forma matricial, se tiene lo siguiente: Donde A es la matriz de configuración, x es el vector de incógnitas y l es el vector de parámetros conocidos. Considerando las anteriores expresiones, se tiene el modelo linealizado para un posicionamiento absoluto por a partir de pseudodistancias por código:

Modelo lineal para posicionamiento absoluto con pseudodistancias Resolviendo el sistema lineal, obtenemos los valores de las incógnitas. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Modelo lineal para posicionamiento absoluto por fase El procedimiento es semejante al indicado anteriormente: En comparación con el posicionamiento por código, el numero de incógnitas se incrementa al considerar las ambigüedades. Considerando nuevo el sistema de ecuaciones lineales, tenemos: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Modelo lineal para posicionamiento absoluto por fase Donde se presenta el vector de incógnitas x transpuesto. Se presenta el problema de que se tienen cuatro observaciones y ocho incógnitas, lo que evidentemente resulta en que no hay solución al problema. Lo que quiere decir esto es que un posicionamiento a partir de la medición de fase no se puede resolver con una época de observación. Además, cada época adicional que se considera incrementa en una unidad el número de incógnitas. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Modelo lineal para posicionamiento absoluto por fase Si se consideran dos épocas, se tiene ocho observaciones y nueve incógnitas, por lo que todavía el sistema es indeterminado. Considerando tres épocas, tenemos 12 observaciones y 10 incógnitas, por lo que el sistema esta sobre-determinado y hay que aplicar un algoritmo de ajuste. Se tiene entonces el siguiente modelo sobre-determinado, el cual se resuelve por mmcc: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Producto interno de Lorentz Método de Bancroft Uno de los métodos mas utilizados para determinar de forma aproximada la posición del satélite es el método de Bancroft, que se describe a continuación: Teniendo dos vectores a, b de longitud 1,4 : Producto interno de Lorentz Conociendo las coordenadas cartesianas de al menos cuatro satélites y la respectiva seudodistancia, planteamos la matriz B Xi, Yi, Zi = coordenadas del satélite-i i = seudodistancia entre el satélite-i y el receptor Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Método de Bancroft Se descompone la matriz B en vectores fila, de forma que se tenga uno para cada satélite de la siguiente forma general: Siendo equivalente Aplicando el producto interno de Lorentz se obtiene el vector ; considerando el vector  y calculando la matriz inversa de B (B-1), Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Método de Bancroft Se puede escribir las formulas 1, 2 y 3 de la siguiente forma, aplicando el producto interno de Lorentz Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Método de Bancroft Se plantea la siguiente ecuación cuadrática: Se encuentran ambas soluciones a la ecuación anterior (7), mediante la formula general: Con base a los valores calculados anteriormente, se pueden calcular las incógnitas, ósea las coordenadas aproximadas del receptor y el estado de reloj Una de las anteriores soluciones es la correcta. Para distinguir cual es, se toma otro conjunto de satélites y se aplica el mismo procedimiento. El conjunto de valores mas parecido, tras esta segunda iteración se considera el correcto. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Posicionamiento relativo Ecuaciones de observación El posicionamiento relativo puede ser efectuado con mediciones de seudodistancias a partir de mediciones de código o mediciones de la fase de las portadoras: Considerando dos estaciones i, j, en las cuales se obtiene la seudodistancia a partir de los satélites k, l, se tiene: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Posicionamiento relativo Ecuaciones de observación Considerando dos estaciones i, j, en las cuales se efectúan mediciones de fase, a partir de los satélites k, l, tenemos: Diferenciación de observaciones: Esta técnica es usada en posicionamientos relativos, en el cual el objetivo es determinar las coordenadas de un punto desconocido con respecto a un punto conocido. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Diferencias simples Diferencias Simples: se tienen dos receptores recibiendo la señal del mismo satélites de forma simultanea. Matemáticamente se tiene: que representa la distancia a partir de la medición de fase. Diferenciado se tiene: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Eliminando los paréntesis: Diferencias simples Eliminando los paréntesis: Agrupando: Se tiene entonces: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Diferencias simples Por lo que la ecuación para la diferencia simple se puede escribir como: Se elimina: El efecto de la disponibilidad selectiva (si esta activada) Errores en la órbita y el reloj del satélite Errores atmosféricos (líneas cortas) Si consideramos dos satélites y un receptor, se elimina el error en el reloj del receptor Considerar que el impacto de los errores aleatorios en diferencias simples crece en un factor de (2)1/2 en comparación con las observaciones originales. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Diferencias dobles Diferencias Dobles: se define como la diferencia de dos diferencia simples. Por lo tanto, esto quiere decir que son considerados dos receptores y dos satélites, de los que se están recibiendo las señales. Considerando dos satélites j, k y dos receptores A y B, se plantean dos diferencias simples de la siguiente forma: Considerando fj = fk Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Diferencias dobles Reescribiendo la ecuación de la siguiente forma se obtiene la fórmula de las diferencias dobles : Simbólicamente, se puede expresar las diferencias dobles de la siguiente forma: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Con esta técnica se eliminan: Errores en los relojes de los receptores Diferencias simples Con esta técnica se eliminan: Errores en los relojes de los receptores Efectos atmosféricos (troposféricos e ionosféricos) Con este método, las incógnitas a resolver son las coordenadas de los puntos y las ambigüedades Este es el método mas popular para el procesamiento de datos GPS Considerar que el impacto de los errores aleatorios en diferencias dobles crece en un factor de 2 en comparación con las observaciones originales. La resolución de ambigüedades en GPS solo puede hacerse con diferencias dobles Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Modelo lineal para posicionamiento relativo Para el caso del posicionamiento relativo, se considera la fórmula para diferencias dobles, multiplicado por la longitud de onda, de la forma: Se puede expresar la distancia geométrica como: Se escribe la ecuación lineal de observación como: Siendo equivalente a: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Linealización Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Modelo lineal para posicionamiento relativo Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Modelo lineal para posicionamiento relativo Consideremos que la base del posicionamiento relativo es que al menos un punto tiene posición conocida (por ejemplo A), por lo que se tiene: Para resolver las ecuaciones, se necesita al menos cuatro satélites y al menos dos épocas, por lo que: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Combinación lineal de observables Las principales observables que se pueden tener con GPS son: Seudodistancia, a partir del código C/A en L1 o el código P en L1 y/o L2. Medición de la fase de la portadora en L1 y/o L2. No se consideran las nuevas portadoras, incluidas como parte de la modernización del sistema. Sin embargo, se pueden efectuar combinaciones lineales de observables, que facilitan la determinación de parámetros, como la ambigüedad (es mas fácil resolver ambigüedades con observaciones combinadas que con observaciones originales) o contribuyen a eliminar el efecto de fuentes de error, como la ionosfera. Se tienen cuatro combinaciones lineales de observables: L3 o combinación lineal libre de ionosfera L4 o combinación lineal Geometria Libre L5 o Wide Lane L6 o Melbourne-Wübbena L6 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Combinación lineal libre de ionosfera L3 Combinación lineal de observables Combinación lineal libre de ionosfera L3 La combinación lineal Es frecuentemente llamada “ionosphere-free”, debido a que el retraso ionosférico es virtualmente eliminado. Esto mismo es cierto si se aplica la correspondiente combinación a las mediciones de código: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Combinación lineal Geometría Libre L4 Combinación lineal de observables Combinación lineal Geometría Libre L4 La combinación lineal Es independiente de los relojes del receptor, relojes satelitales y la geometría (orbitas, coordenadas de las estaciones). Esta solo contiene el retraso ionosférico y la fase inicial y puede ser usada para la estimación de modelos ionosféricos regionales y globales, y para ñla identificación de cycle slips. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Combinación lineal Wide-Lane L5 Combinación lineal de observables Combinación lineal Wide-Lane L5 La combinación lineal Se denomina Wide-Lane. En el programa Bernese, esta se usa en la combinación de dobles diferencias para fijar cycle slips y para resolver ambigüedades a sus valores enteros. La longitud de onda de esta combinación es de aprox. 86 cm, lo cual es aproximadamente 4 veces mas que L1 y L2 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Combinación lineal Melbourne-Wübbena L6 La combinación lineal Se denomina Melbourne-Wübbena. Es una combinación lineal de mediciones de fase (L1, L2) y mediciones del código P (P1, P2). La combinación elimina el efecto de la ionosfera, la geometría, los relojes y la troposfera. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014

Aplicaciones Geodesia Global Establecimiento y mantenimiento de los marcos de referencia Cambio del clima Modelos ionosféricos Rebote post-glaciar Variaciones en el nivel del mar Monitoreo de fallas, deslizamientos y volcanes Sismología Cartografía Navegación Ingeniería (control de deformaciones) Catastro (Georreferenciación) Aplicaciones safety of life3 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Satelital II ciclo de 2014