UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA COLOQUIOS MATEMÁTICOS OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT. REPRESENTACION MATRICIAL EXPOSITORES PROFESOR JORGE E. HERNÁNDEZ, Ph.D. ABRIL, 2013

RESUMEN En el presente trabajo presentamos los proyectores (ortogonales) como una aplicación del problema de la mejor aproximación y estudiamos sus propiedades fundamentales. También presentamos un teorema que caracteriza los proyectores. Posteriormente utilizamos las propiedades de los proyectores para descomponer un espacio de Hilbert como suma directa de un subespacio cerrado y su complemento ortogonal. Basados en la descomposición representamos a los operadores lineales acotados sobre H mediante una matriz y utilizamos esta representación para estudiar, desde un ángulo diferente, los operadores lineales positivos.

Dado un espacio con producto interno X, un subconjunto no vacio K de X y . ¿Existirá un tal que ?

A los elementos de este conjunto los llamaremos una mejor aproximación a x por elementos de K y a la función la llamaremos la proyección (métrica) sobre K.

 Si para todo , entonces diremos que K es un conjunto proximal  Si para todo , entonces diremos que K es un conjunto proximal. Si es un conjunto unitario para todo , entonces diremos que K es un conjunto de Chebyshev. En este caso se puede considerar a como una función univaluada donde es el único elemento del conjunto

Preguntas: Existencia: ¿Cuáles conjuntos son proximales Preguntas: Existencia: ¿Cuáles conjuntos son proximales? Unicidad: ¿Cuáles conjuntos son Chebyshev? Caracterización de la mejor aproximación: ¿Cómo se reconocen? Error de la mejor aproximación: ¿Cómo se calcula el error de la aproximación d(x, K). Calcular la mejor aproximación. Continuidad de la mejor aproximación.

Teorema (Existencia y Unicidad): Sean X un espacio con producto interno y K un subconjunto no vacío convexo y completo X. Entonces, para cada existe un único tal que es decir K es un conjunto de Chebyshev. Teorema (Caracterización): Sean X un espacio con producto interno, K un subespacio completo de X y Entonces es decir, , para todo

Corolario: Sean H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de H Corolario: Sean H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de H. Entonces Y es un conjunto de Chebyshev y

Del corolario anterior se tiene que si Y es un subespacio cerrado de H, entonces para todo se tiene que x = y + z donde . Luego como , se tiene que y si tal que entonces . Además

Ejemplo: Sea Y un subespacio de dimensión finita n del espacio de Hilbert H. Por el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt podemos encontrar una base ortonormal de Y. Luego para cada se tiene que Como para todo i = 1, . . . , n.

de donde Por consiguiente,

 es lineal.  Es un operador lineal acotado y  

 para todo ; o sea que  o sea que es idempotente  para todo ; o sea que  o sea que es idempotente.  o sea que  es un operador auto-adjunto .

Definición: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal acotado Definición: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal acotado. P es una proyección (o una proyección ortogonal) si P es autoadjunto e idempotente; o sea que Observaciones: 1. Si Y es un subespacio cerrado de H, entonces son operadores proyecciones. 2. Si P es una proyección sobre H, entonces Ran(P) es un subespacio cerrado de H.

Teorema: Sean H un espacio de Hilbert y una proyección, entonces Demostración: Ker(P) es un subespacio cerrado de H. Como Ran(P) es cerrado,  Así pues

Teorema: Sea una proyección. Entonces. donde Y = Ran(P) Teorema: Sea una proyección. Entonces donde Y = Ran(P). Demostración: Sea entonces x = y + z con De donde P(x) = P(y) + P(z) = P(y) = y. Así pues

Definición: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal acotado auto-adjunto T es un operador positivo si para todo En este caso escribimos  En base a la definición anterior podemos definir una relación de orden parcial en el conjunto de los operadores lineales acotados y auto-adjuntos definidos en un espacio de Hilbert H como sigue

Se prueba sin mayor dificultad que si H es un espacio de Hilbert complejo, entonces es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Teorema: Sea H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de H. Entonces es un operador positivo. para todo

Representación Matricial de Operadores Lineales Acotados en Espacios de Hilbert. Denotemos por el conjunto de los operadores lineales acotados positivos sobre el espacio de Hilbert H. Sea Y un subespacio cerrado de H. Entonces Denotemos por la proyección sobre Y y sea T un operador lineal acotado sobre H. Entonces

PTP + PT(I – P) + (I – P) TP + (I – P) T (I – P) = PT + PT – PTP+TP – PTP + T – TP – PT + PTP = T o sea que T= PTP + PT(I – P) + (I – P) TP + (I – P) T (I – P)

Denotemos

Sea entonces Por lo tanto,

Así podemos hacer la identificación Si entonces Por lo tanto podemos escribir donde

Note además que  para todo .  para todo . Por consiguiente

 Si entonces y por lo tanto donde

 Si entonces donde

 Sea ahora un operador idempotente tal que T(H) = Y  Sea ahora un operador idempotente tal que T(H) = Y. Entonces T(y) = y para todo Por lo tanto, Así pues donde

entonces

 Si y a, d son operadores invertibles, entonces Por lo tanto, A es un operador invertible y

 Si y a, d son operadores invertibles, entonces Por lo tanto A es un operador invertible y

En general, si se prueba que si, los correspondientes operadores son invertibles, entonces En efecto,

Sea un operador lineal positivo en un espacio de Hilbert complejo H Sea un operador lineal positivo en un espacio de Hilbert complejo H. Entonces un operador auto-adjunto es llamado raíz cuadrada de T si Si además entonces A es llamado la raíz cuadrada positiva de T y lo denotamos por

Ejemplo:  T es lineal  T es un OLA,    

Sea Luego Y es un subespacio cerrado de y Note que

Como , se tiene que Si entonces Así pues

Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador lineal acotado positivo. Entonces T posee una única raíz cuadrada positiva A. Además si es tal que LT = TL , entonces LA = AL. Propiedades: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador positivo. Entonces 1. 2. 3.

Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y Entonces i. ii. iii Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y Entonces i. ii. iii. R(T) es cerrado sí y sólo sí

Teorema (Teorema de Douglas): Sea H un espacio de Hilbert complejo y sean Los siguientes enunciados son equivalentes a. Existe un tal que AD = B b. c. Existe un número real positivo tal que Si una de estas condiciones es satisfecha, entonces existe un único operador tal que AX = B; N(X) = N(B) y Más aún X es llamado la solución reducida de la ecuación AX = B.

Teorema: Sean H un espacio de Hilbert complejo y con representación matricial entonces i. Ii.

Sean H un espacio de Hilbert complejo y Sean H un espacio de Hilbert complejo y . Definamos la función Propiedades:   

   es una forma sesquilineal acotada y no negativa.

 no es un producto interno sobre H.  Como A es inyectivo es inyectivo. Si A es inyectivo, entonces es un producto interno sobre H.

Teorema: Sea invertible Teorema: Sea invertible. Entonces es un producto interno equivalente a  de donde  Como A es invertible, 

Definición: Sean y , . El A-ortogonal de S se denota por y se define por Propiedades: 1. 2. Si Y es un subespacio cerrado de H, entonces

Definición: Sean y . Un operador es un A-adjunto de T si para todo Propiedades: Sean y 1. W es un A-adjunto de T 2. Si A es invertible, entonces todo operador posee un A-adjunto

Definición: Sean y . T es A-autoadjunto si  Definición: Sean y Z un subespacio cerrado de H. El par (A, Z) es compatible si , donde

Problema: Sean M, N subespacios cerrados de H. 1. 2. 3. Sea

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