Tema 3 Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN FRECUENCIA REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ Departamento de Ingeniería Electrónica Tema 3 Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN FRECUENCIA Vigencia Mayo 2011

Sumario Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM). Determinación de la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia. Expresiones complejas para una señal modulada en fase y en frecuencia. Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Espectro de frecuencia de una señal modulada en frecuencia.

Sumario Modulación de frecuencia de banda estrecha o angosta: NBFM . Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM. Generación de señales moduladas en ángulo. Demodulación de FM. Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo. Sistema de comunicación con modulación angular en presencia de ruido.

Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea Una señal periódica es aquella que se repite cada T segundos. Por ejemplo, se puede representar por la expresión: La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).

Frecuencia Instantánea de una señal Es de interés conocer el valor que toma la frecuencia de la señal f(t) en un instante dado de tiempo ti. El valor que toma la frecuencia de la señal en un instante de tiempo ti , se conoce como frecuencia instantánea de la función f(t). Veamos dos ejemplos: Cambios bruscos de Frecuencia Cambios graduales de Frecuencia

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Sea la ecuación: Si en la ecuación anterior se considera que el ángulo de fase no es constante sino que puede ser considerado como una función del tiempo, se tiene: Al hacer variar φ(t) en esta ecuación, se tendrá una dependencia del tiempo “t” de la fase de la ecuación. Se tiene en este caso una señal modulada en ángulo.

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Consideremos la ecuación: donde kp es constante y m(t) es la modulante, entonces la señal modulada es: Fase de la señal Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como gPM(t)

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia El índice de modulación de la señal modulada en fase se puede determinar como: El índice de modulación representa la máxima desviación de fase que puede darse a la función gPM(t) y está dado por el valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante kP

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Considere ahora que (t) está dado como la integral de la función m(t), entonces se tiene: Como vimos previamente: Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene: Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por gFM(t)

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia El índice de modulación de la señal modulada en frecuencia se determina por: El índice de modulación está dado por el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala kf

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia En resumen, se tiene que las ecuaciones que definen las técnicas de modulación angular y su índice de modulación son: Técnica Ecuación Índice de Modulación MODULACIÓN EN FASE MODULACIÓN EN FRECUENCIA

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Considérese la ecuación: Si se toma que (t)=wct + (t), se tiene: La frecuencia instantánea de la ecuación anterior, se define como: Esta ecuación expresa que la frecuencia instantánea es igual a la variación respecto al tiempo del ángulo de la función

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Aplicando este criterio a la modulación en fase se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Representación gráfica de una señal modulada en FASE. Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima. Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia De igual forma para la modulación en frecuencia se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en frecuencia.

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Representación gráfica de una señal modulada en FRECUENCIA Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima. Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Conclusión: Al comparar las dos ecuaciones se establece que en la modulación de fase, la frecuencia instantánea varía linealmente con la derivada de la señal modulante, mientras que en la modulación en frecuencia, la frecuencia instantánea varía linealmente con la señal modulante. Modulación de Fase Modulación de Frecuencia

Expresiones complejas para señales moduladas en fase y en frecuencia La ecuación para Modulación de fase se puede escribir utilizando la notación compleja, de esta manera: Para la Modulación de frecuencia, se tiene:

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Hasta ahora, el análisis matemático para la modulación en fase y en frecuencia se ha realizado en función de una señal modulante genérica, llamada : Se considerará a continuación para el análisis, una señal particular y a través de ella, realizar el análisis espectral correspondiente que permita tener una clara idea de cómo se presenta el espectro de la señal modulada en fase y en frecuencia.

Ecuación de PM cuando la modulante es una onda senusoidal Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Considérese, que la señal modulante es: Reemplazando por la modulante dada, se tiene: Como: Entonces reemplazando, se tiene: Ecuación de PM cuando la modulante es una onda senusoidal

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Considérese, que la señal modulante es: Como: Reemplazando la modulante, tiene: Al resolver la integral se tiene:

Ecuación de FM cuando la modulante es una señal senusoidal Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Ya que el máximo valor de m es: La expresión final es: Ecuación de FM cuando la modulante es una señal senusoidal

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Según se vió, la frecuencia instantánea de una señal modulada está dada por: Si consideramos como modulante la señal: entonces:

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Factorizando, se tiene: El valor máximo que puede tomar el miembro derecho de la ecuación, es kf m0, por tanto: (Ec. 1) Sea, y como Integrando se tiene:

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Reemplazando en la Ec. 1, se tiene: Finalmente: La ecuación anterior permite determinar la desviación de frecuencia angular de la señal modulada en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Representa el índice de modulación para FM

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Por naturaleza la FM posee un ancho de banda amplio, lo cual se constituye en una limitación cuando la disponibilidad de ancho banda es limitada. Sin embargo, la excelente relación señal a ruido que posee la hace interesante aún a pesar de la limitación anterior. Se han realizado análisis y estudios que permiten reducir el ancho de banda de esta técnica de modulación, logrando salvar esta limitación.

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM La ecuación de una señal modulada en frecuencia es: (Ec. 2) En forma compleja se puede escribir: También la Ec. 2 puede ser reescrita usando identidades trigonométricas como: (Ec. 3)

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Al observar la ecuación 3 se evidencia su complejidad para resolverla. Para simplificarla se harán algunas consideraciones. En primer lugar, considérese que los valores de  son pequeños, entonces: Los valores de f usuales para las consideraciones anteriores, pueden ser tomados como menores a 0,2 , es decir, f < 0,2. Apliquemos este criterio en la ecuación 3.

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Así, se tiene que: (Ec. 4) La ecuación 4 representa la ecuación para la modulación de frecuencia de banda angosta y se denota como NBFM, donde f es el índice de modulación para FM. Señal Portadora Señal Modulante Índice de Modulación En ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia wc llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal portadora se desvía por encima y por debajo de wc en un valor dado según f

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Representando la ecuación 4 en forma fasorial, se tiene: (Ec. 5) Consideremos una señal modulada en amplitud: Escrita en forma fasorial, se tiene: (Ec. 6)

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser graficadas tomando como referencia el término de cada una.

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente: Ambas modulaciones poseen dos bandas laterales y su ancho de banda es igual a 2wm. En AM la modulación se agrega en fase con la portadora mientras que en NBFM se hace en cuadratura. La modulación AM proporciona variación de amplitud sin desviación de fase mientras que NBFM da origen a una variación de fase con muy pequeño cambio de amplitud.

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM El desfase se puede determinar a partir del triángulo resultante del diagrama fasorial como: Angulo de Desfase La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es:

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es: Análisis: Para evitar variaciones en la amplitud de una señal modulada en frecuencia, se debe restringir el valor de .

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Según el diagrama fasorial b, la magnitud del vector resultante se puede determinar como: (Ec. 7) Para que la magnitud de la ecuación 7 se mantenga constante, se deben hacer algunas consideraciones. Si , como sen2wmt≤1 entonces 2 < 1, que nos dice que los valores de  deben ser menores que uno. En la práctica < 0,3, es una buena aprox.

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Con las consideraciones anteriores, se garantiza que la amplitud de una señal modulada en frecuencia sea constante, es decir: NOTA: Para que esto se cumpla, el índice de modulación debe ser muy pequeño.

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Considérese una modulante senusoidal: (Ec. 7) De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina como: (Ec. 8)

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM El segundo exponencial de la ecuación 8, se puede expandir en una serie exponencial de Fourier, resultando: en donde: Si se considera que: (Ec. 9)

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM La solución de la integral de la ecuación 9 se obtiene por medio de la función de BESSEL de primera clase y se indica como , donde n es el orden y  es el argumento. Los valores de se obtienen a partir de las tablas de BESSEL La función de BESSEL de primera clase y enésimo orden se denota como:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Teoría de las Funciones de BESSEL La expresión matemática para determinar los valores de cada uno de los componentes espectrales, está definida como: Usando la función de BESSEL, se puede expresar una ecuación en otra forma. Veamos El argumento de la primera ecuación, es una función trigonométrica, en la segunda es una función trigonométrica con argumento simple.

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Friedrich Wilhelm Bessel Teoría de las Funciones de BESSEL Normalmente para trabajar con las funciones de Bessel no hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Al contrario, es muy simple empleando las tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL. Propiedades de las funciones de BESSEL: Elemento Descripción Son de valor real Para n PAR Para n IMPAR

Generación de Señales Moduladas en Angulo Índice de Modulación Representa la Portadora de la señal Modulada Desde J1 Hasta J15 representan las bandas laterales Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15 FUNCIÓN DE BESSEL Portadora ORDEN DE LA FUNCIÓN J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15 1,00 ~ 0,1 0,05 0,2 0,99 0,10 0,25 0,98 0,12 0,01 0,5 0,94 0,24 0,03 0,75 0,86 0,35 0,07 1 0,77 0,44 0,11 0,02 1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 2 0,22 0,58 0,13 2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 3 -0,26 0,34 0,49 0,31 0,04 4 -0,40 -0,07 0,36 0,28 5 -0,18 -0,33 0,39 0,26 6 0,15 -0,28 -0,24 7 0,30 -0,30 -0,17 0,16 8 0,17 -0,11 -0,29 0,19 0,32 9 -0,09 0,14 -0,27 -0,06 0,33 0,21 10 -0,25 -0,22 -0,23 -0,01 0,29 11 -0,02 -0,20 12 -0,08 0,18 0,27 13 -0,12 -0,14 14 -0,15 0,08 0,09 15 -0,19 Para este índice de modulación la portadora se hace CERO ! A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas Laterales

Graficas de las Funciones de Bessel Las funciones de Bessel pueden ser graficadas, obteniéndose por ejemplo las siguientes graficas para valores de n = 0 a n = 4

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Retomando el análisis, la ecuación puede ser reescrita como: y empleándola en la expresión general para FM:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Analizando la expresión: Se puede concluir que el ancho de banda de una señal modulada en frecuencia por una onda seno, tiene un número de bandas laterales infinito. Pero según la tabla de Bessel solo algunas bandas laterales tienen magnitud significativas y en consecuencia el ancho de banda se hace finito.

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA. Sea la ecuación de una señal modulada en frecuencia: Una banda lateral es significativa si tiene magnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud de la portadora no modulada. Esto es:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA. Los valores de Jn() son despreciables para n > . Entonces el ancho de banda para FM se puede obtener tomando la última banda lateral significativa en n = , esto es: Para una forma de onda general, se emplea la regla de Carlson para determinar el ancho de banda:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.

Generación de Señales Moduladas en Angulo CONSIDERACIÓN PRELIMINAR Según los análisis anteriores, la modulación angular se produce cuando se hace variar el ángulo de fase de una señal portadora de frecuencia wc en dependencia de la amplitud de una modulante. El tipo de modulación obtenida PM o FM depende de que se use la señal modulante directamente o se utilice como modulante la señal después de ser integrada.

Generación de Señales Moduladas en Angulo Generación de WBFM y NBFM. CASO DE NBPM: Si partimos de la ecuación: analicemos como generarla…. Una alternativa se muestra en la figura siguiente:

Generación de Señales Moduladas en Angulo Generacion de NBPM: El generador de portadora cuya salida es desfasada en 90 grados para se multiplicada linealmente con la señal f(t) de entrada (modulante) señal senwmt. El índice de modulación se puede controlar por medio de kp. Finalmente la señal de salida de modulador balanceado con ganancia ajustada se suma con la señal portadora sin desfase alguno para dar como resultado la señal de FM de banda estrecha.

Generación de Señales Moduladas en Angulo Generación de NBFM y NBPM. CASO DE NBFM: Si se integra la función antes de ingresar al sistema, se tiene NBFM , según vimos. Entonces para generar NBFM se tiene:

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo Método Directo El proceso de demodular una señal de FM involucra un método tal que permita convertir las variaciones de frecuencia en una variación de voltaje. Este sistema debe tener una característica de transferencia lineal, llamado discriminador de frecuencia. Un circuito con esta característica lo constituye el diferenciador ideal con función de transferencia jw.

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo Método Directo La señal de FM es: (Ec. 48) Si se aplica la ecuación 48 a la entrada del diferenciador ideal se tiene como salida: (Ec. 49)

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo Método Directo La señal de FM es: (Ec. 49) La señal de la ecuación 49 está modulada tanto en frecuencia como en amplitud. La envolvente de la ecuación 49 es: (Ec. 50) De la ecuación 50, se concluye que la envolvente es siempre positiva, es decir, toma valores por encima del eje del tiempo, lo cual permite usar detección de envolvente para obtener la señal m(t) (la modulante).

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo El esquema de un demodulador de FM es entonces: La ecuación de salida supone la amplitud constante. Si la amplitud no fuese constante, sino una función del tiempo, se tendría como envolvente: Esta ecuación indica que la salida del detector de envolvente es proporcional a A(t)m(t). De acuerdo al resultado de la ecuación 50 es necesario mantener la amplitud constante.

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo La amplitud se puede mantener constante si se usa un limitador de pasabanda, el cual posee un limitador seguido de un filtro pasabanda. La expresión de la señal modulada en frecuencia general tiene la ecuación siguiente: Frecuencia Fundamental Frecuencia Armónicas superiores

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo El limitador hace la amplitud constante y el filtro pasa banda extrae la señal modulante ubicada en wc .

Potencia promedio de señales moduladas en ángulo y Ec. 51 Considerando la ortogonalidad de la función coseno, el valor cuadrático medio de la suma es igual a la suma de los valores cuadráticos medios, por lo cual: pero

Potencia promedio de señales moduladas en ángulo Obteniendo finalmente que: El valor cuadrático medio de cada banda lateral es: El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio si se considera como resistencia R = 1 Ohm. Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación  apropiado.

Estimación de Potencia en portadora y las bandas laterales Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.

Fin del Tema 4