Sistemas de ecuaciones Segundo Medio Sistemas de ecuaciones Objetivo de aprendizaje: Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, gráfica y algebraicamente.

SISTEMA DE ECUACIONES Es la reunión de dos o más ecuaciones que deben satisfacerse para los mismos valores de las incógnitas. SOLUCIÓN DEL SISTEMA Es el conjunto de valores numéricos o literales que satisfacen las ecuaciones. Los sistemas de ecuaciones pueden ser Numéricos o Literales, según la naturaleza de las ecuaciones que los constituyen. Un sistema numérico es: Un sistema literal es: 7x+4y = 13 ax+by = abc 5x-2y = 19 ax-by = 0 Cuando la solución de un sistema es única, es decir, existe un sólo valor para cada incógnita, el sistema se llama Determinado. Por lo general el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Para la resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se aplican métodos de eliminación, que consisten esencialmente en eliminar una de las incógnitas y obtener una sola ecuación de una incógnita. Los métodos de eliminación más usuales son: Método por Sustitución Método por Igualación Método por Reducción Método Gráfico Método por Determinantes

MÉTODO POR SUSTITUCIÓN REGLA: Para la eliminación por Sustitución, se siguen los siguientes pasos: Se despeja una de las incógnitas de una de las ecuaciones del sistema. Se sustituye este valor obtenido en la otra ecuación. Se resuelva la ecuación de primer grado con una incógnita que así se obtiene. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.

Ejemplo: Resolver por sustitución el sistema: m + 3n = 6 (1) 5m - 2n = 13 (2) 1°. Despejando “m” de la (1) m + 3n = 6 m = 6-3n 4°. Sustituyendo “n” en (1) m + 3n = 6 m + 3(1) = 6 m +3 = 6 m = 3 2°. Sustituyendo “m” en la (2) 5m - 2n = 13 5(6 - 3n) - 2n = 13 3°. Resolviendo la ecuación obtenida 5°. Comprobando los valores 5(6 - 3n) - 2n = 13 30 - 15n -2n = 13 -15n -2n = 13 - 30 -17n = -17 n = 1 Ecuación (1) Ecuación (2) m + 3n = 6 3 + 3(1) =6 6=6 5m - 2n = 13 5(3) - 2(1) =13 15 - 2 = 13 13=13 R/ La solución del sistema es:

MÉTODO POR IGUALACIÓN REGLA: Para la eliminación por Igualación, se siguen los siguientes pasos: Se despeja una de las incógnitas en cada una de las ecuaciones, ésta debe ser la misma en ambas. Se igualan los dos valores de las incógnitas así obtenidas. Se resuelva la ecuación de primer grado con una incógnita que así se obtiene. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.

Ejemplo: Resolver por igualación el sistema: 1°. Despejando “x” en ambas ecuaciones 4°. Sustituyendo “y” en (1) Ecuación (1) Ecuación (2) 2°. Igualando ambos despejes 3°. Resolviendo la ecuación obtenida 5°. Comprobando los valores Ecuación (1) Ecuación (2) R/ La solución del sistema es:

MÉTODO POR REDUCCIÓN REGLA: Para la eliminación por Reducción, se siguen los siguientes pasos: Determinamos que variable eliminar, luego el coeficiente de dicha variable en la ecuación (1) se ha de multiplicar por la ecuación (2), y el coeficiente de la variable a eliminar de la ecuación (2) se multiplica por la ecuación (1). Procurando que los coeficientes de la variable a eliminar tengan signos contrarios. Reducimos los términos y resolvemos la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones originales. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.

Ejemplo: Resolver por reducción el sistema: Vamos a eliminar la variable “x” y notemos que los signos de los coeficientes de dicha variable son iguales, por tanto hemos de multiplicar una de las ecuaciones por un coeficiente negativo. 1°. Multiplicando ambas ecuaciones 2°. Reduciendo términos 3°. Sustituyendo “y” en (1) 4°. Comprobando los valores Ecuación (1) Ecuación (2) R/ La solución del sistema es:

MÉTODO GRÁFICO Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, consiste en hallar el punto de intersección de las gráficas de Las ecuaciones lineales, para ello es necesario graficar las dos ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas. Se despeja la variable “y” en cada una de las ecuaciones, y luego se elabora una tabla, asignándole valores a “x”. Se grafican ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano. Se observa el punto de intersección de ambas gráficas. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores del punto de intersección observado en las ecuaciones dadas.

Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema: 1°. Tabulando ambas ecuaciones Despejando “y” en (1) Despejando “y” en (2)

y x 2°. Graficando ambas ecuaciones en un mismo sistema 7 6 5 4 3 2 1 3°. Observando el gráfico, notamos que la intersección se da en el punto y 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 En dicho punto, x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 4°. Comprobando los valores Ecuación (1) Ecuación (2) R/ La solución del sistema es: