Razón y proporción numérica Magnitudes directamente proporcionales Regla de tres simple directa Magnitudes inversamente proporcionales Regla de tres simple inversa Problemas de porcentajes

Razón entre dos números a y b es el cociente Razón y proporción numérica La razón entre los números 10 y 2 es 5, su cociente: La razón entre 0,15 y 0,3 es Razón entre dos números a y b es el cociente Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, pues sus razones son iguales. Es decir: Los números a, b y c, d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Es decir: Se lee “a es a b como c es a d” A a y d se les llama extremos. ad = bc A b y c se les llama medios. El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Sacos: Kilos: Ejemplo: Magnitudes directamente proporcionales (I) Ejemplo: Un saco de patatas pesa 20 kilogramos. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas pesa 520 kg. ¿Cuántos sacos se podrán hacer? Observa: Sacos: 1 saco 2 sacos 3 sacos ? sacos ? Fíjate: Kilos: 20 kg 40 kg 60 kg 520 kg ? ? Habrás advertido que: Las magnitudes número de sacos y peso en kilogramos son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de sacos a kilogramos es 20. En general, si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera corresponde doble, triple… de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Ejercicio Dólares: Euros: Magnitudes directamente proporcionales (II) Ejercicio Si un dólar vale 0,95 euros, ¿cuánto costarán 6 dólares? ¿Cuántos dólares podremos comprar con 20 euros? Las magnitudes dólares y euros son directamente proporcionales, luego: En definitiva: Dólares: 1 2 3 Euros: 0,95 2 · 0,95 = 1,9 3 · 0,95 = 2,85 (dólares) · 0,95 = euros. Por tanto, 6 dólares cuestan 6 · 0,95 = 5,7 euros Para pasar de dólares a euros se multiplica por 0,95. Para pasar de euros a dólares se divide por 0,95 Por lo mismo, 20 euros = 0,95 · (x dólares), luego x = 20 : 0,95 = 21,05 20 euros = 21,05 dólares Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

La proporción establecida es: Regla de tres simple directa Ejemplo. En 50 litros de agua de mar hay 1300 g de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 g de sal? La cantidad de agua y la cantidad de sal son directamente proporcionales. La proporción establecida es: Si representamos por x el número de litros que contendrán 5200 g de sal, se verifica la proporción: 50 · 5200 = 1300 x Disposición práctica En 50 litros hay 1300 g de sal 50 l 1300 g En x litros habrá 5200 g de sal x l 5200 g Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

Hombres: Días: Ejemplo: Magnitudes inversamente proporcionales Ejemplo: Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? Observa: Doble de 3 Triple de 3 Hombres: 3 6 9 18 Fíjate: 3 · 24 = 72 6 · 12 = 72 9 · 8 = 72 18 · 24 = 72 ? Días: 24 12 8 ? Mitad de 24 Un tercio de 24 Si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte… de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Pero aún no hemos contestado la pregunta inicial: ¿cuántos días emplearán 18 hombres? Si 18 · = 72, entonces = 72 : 18 = 4 días ?

Regla de tres simple inversa Ejemplo. Un ganadero tiene alimento suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de alimento a 450 vacas? Fíjate en que, con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; y si las vacas se triplican, para un tercio de los días, etc. Por tanto, las magnitudes número de vacas y número de días son inversamente proporcionales. Vacas: 220 450 220 · 45 = 450 · x x = 22 Días: 45 x Disposición práctica 220 vacas tienen para 45 días 220 vacas 45 días 450 vacas tendrán para x días 450 vacas x días Esta forma de plantear y resolver problemas sobre magnitudes inversamente proporcionales se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

Un descuento del 20% quiere decir que de cada 100 euros pagamos 80. Problemas de porcentajes (I) Ejemplo1. En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del 20% sobre el precio indicado. Un señor compra un juego de toallas etiquetado con 90 euros. ¿Cuánto tiene que pagar? Un descuento del 20% quiere decir que de cada 100 euros pagamos 80. Aplicando la regla de tres, se tiene: Si de 100 euros pagamos 80 100 80 De 90 euros pagaremos x 90 x Tendrá que pagar 72 euros por el juego de toallas. En la práctica Un descuento del 20% equivale a multiplicar por 0,20. La cantidad resultante es lo rebajado. Rebaja: 90 · 0,20 = 18. Se paga: 90 – 18 = 72 euros Directamente. Si descuentan el 20%, se pagará el 80%. Se pagarán 90 · 0,80 = 72 euros

Aplicando la regla de tres simple se tiene: Problemas de porcentajes (II) Ejemplo 2. Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de 8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche? Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116. Aplicando la regla de tres simple se tiene: Si por 100 euros pagamos 116 100 116 Por 8200 euros pagaremos x 8200 x Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche. En la práctica Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad resultante es el incremento total. Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%. Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros

1.- Proporcionalidad directa A doble en la primera magnitud, doble en la segunda Naranjas (kg) 2 3 4 5 Precio (€) 6 8 10 2 (es lo que corresponde a 1) En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalida directa y para completar tablas incompletas A 2 3 4 5 B 12 18 24 30  Es una tabla de proporcionalidad directa (los cocientes son iguales) A 4 5 B 20 10 50 A 4 2 5 10 B 20 25 50 

2.- Proporcionalidad inversa A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda Operarios 2 3 4 8 Tiempo (h) 12 6 2 ×12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 8 × 3 = 24 (es lo que corresponde a 1) En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas. A 2 3 4 10 B 12 8 6 2,4  Es una tabla de proporcionalidad inversa (los productos son iguales) A 4 6 B 9 12 18 A 4 3 6 2 B 9 12 18 

3.- Fracciones equivalentes en las tablas de proporcionalidad Propocionalidad directa Propocionalidad inversa Naranjas (kg) Precio (€) 2 4 3 6 8 5 10 Operarios Tiempo (h) 2 12 3 8 4 6 En las tablas de proporcionalidad directa, la fracción formada con un par de valores de la primera magnitud es equivalente a la fracción formada con los valores correspondientes en la otra magnitud. En las tablas de proporcionalidad inversa, la fracción formada con un par de valores de la primera magnitud es equivalente a la inversa de la fracción formada con los valores correspondientes en la otra magnitud.

POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD PROPORCIONALIDAD 4.- Problemas de proporcionalidad directa En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas? POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD POR REGLA DE TRES Máquinas Piezas 8 -------- 120 25 -------- x Máquinas 8 25 Pieza 120 ? 120 ÷ 8 = 15 25 × 15 = 375 D = 375 D Solución: 375 piezas Solución: 375 piezas

POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD PROPORCIONALIDAD 5.- Problemas de proporcionalidad inversa Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ? ¿ Y 3 operarios ? POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD POR REGLA DE TRES Operarios Días 12 -------- 6 8 -------- x 3 -------- y Oper 12 8 3 Días 6 ? 12 x 6 = 72 72 ÷ 8 = 9 72 ÷ 3 = 24 I I Solución: 9 días 24 días Solución: 9 días 24 días

6.-¿Cómo resolver problemas por regla de tres? PROPORCIONALIDAD 6.-¿Cómo resolver problemas por regla de tres? Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos: 1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa 2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de cada magnitud en la misma unidad. 3º.- Escribir la pareja de fracciones equivalentes. 4º.- Hallar x Fíjate en los siguientes ejemplos. Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16 obreros? (Es inversa porque a doble de obreros mitad de tiempo) Nº obreros Tiempo (h) 10 --------- 8 16 --------- x I Solución 5 horas Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré por 57 de esas camisetas? ( Es directa porque a doble de camisetas doble dinero) Camisetas Dinero(€) 12 ------- 96 57 -------- x D Solución 456 €

GRAFICO

Con la tabla anterior divide cada par de valores (x e y) Cantidad de latas (x) Costo en dinero (y) Cuociente y/x=c Constante de proporcionalidad (c) 1 350 350/1 2 700 700/2 3 1050 1050/3 4 1400 1400/4 5 1750 1750/5 6 2100 2100/6 7 2450 2450/7 8 2800 2800/8 9 3150 3150/9 10 3500 3500/10

ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género? Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante?

Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones? Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000?