TEMA 14 * INFERENCIA ESTADÍSTICA MATEMÁTICAS A. CS II TEMA 14 * INFERENCIA ESTADÍSTICA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS NIVEL DE CONFIANZA Tema 14.6 * 2º B CS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

NIVEL DE CONFIANZA, ERROR Y TAMAÑO El (1 – α).100% de las muestras cumplen que: |x – μ| < zα/2 . σ/√n El valor E = zα/2 . σ/√n se llama error máximo admisible. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra menor será el error, pues se reduce el tamaño del intervalo y podemos afinar más en la estimación. Cuanto mayor sea (1 – α), es decir cuanto más seguros queremos estar de nuestra estimación, mayor será el error. Nota_1 Para aumentar el nivel de confianza debemos aumentar el tamaño de la muestra. Nota_2 Para ser más precisos en la estimación hemos de aumentar el tamaño de la muestra. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Recordatorio: A emplear para ejemplos En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Principales valores críticos 1 – α α/2 zα/2 0,9 0,05 1,645 0,95 0,025 1,96 0,99 0,005 2,575 k 0 k=zα/2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_1 De la observación del trabajo de una fotocopiadora industrial sabemos que la desviación típica, σ, es de 0,45 s. ¿Cuál es el número de medidas de tiempo que hay que realizar para que, con un 99% de confianza, el error de la estimación no exceda de 0,15 s? Resolución: Para un nivel de confianza del 99%, sabemos que: α/2 = 0,005 y que zα/2 = 2,575 El error máximo admisible es: E = zα/2 . σ/√n Sustituyendo los datos conocidos: 0,15 = 2,575 . 0,45/ √n Operando: √n = 2,575 . 0,45 / 0,15  = √n = 2,575 . 3 = 7,725 Luego n = 7,7252 = 59,67 Se deben realizar 60 medidas (el menor entero mayor de 59,67). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_2 En una empresa hemos realizado 49 medidas de tiempo en un determinado proceso industrial. La desviación típica, σ, del proceso es de 3,5 min. Deseamos estimar el tiempo medio del proceso con un error máximo de 1 min. ¿Con qué nivel de confianza podremos dar el intervalo?. Resolución: El error máximo admisible es: E = zα/2 . σ/√n Sustituyendo los datos conocidos: 1 = zα/2 . 3,5 / √49 Operando: √49 = zα/2 . 3,5  7 = zα/2 . 3,5  2 = zα/2 Por las Tablas de la Normal: P(z < zα/2 ) = P(z < 2) = 0,9772 α/2 = P(z ≥ 2) = 1 – 0,9772 = 0,0228  α = 0,0456 Finalmente: (1 – α) = 1 – 0,0456 = 0,9544 El nivel de confianza será del 95,44 %. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_3 En una fábrica de vidrio hemos realizado 36 medidas de capacidad a otras tantas botellas producidas. La desviación típica, σ, del proceso es de 0,045 litros. Deseamos estimar la capacidad media de las botellas fabricadas con un error máximo de 0,0075 litros. ¿Con qué nivel de confianza podremos dar el intervalo?. Resolución: El error máximo admisible es: E = zα/2 . σ/√n Sustituyendo los datos conocidos: 0,0075 = zα/2 . 0,045 / √36 Operando: √36 . 0,0075 = zα/2 . 0,045  0,045 = zα/2 . 0,045  1 = zα/2 Por las Tablas de la Normal: P(z < zα/2 ) = P(z < 1) = 0,8413 α/2 = P(z ≥ 1) = 1 – 0,8413 = 0,1587  α = 0,3174 Finalmente: (1 – α) = 1 – 0,3174 = 0,6826 El nivel de confianza será del 68,26 %. El nivel de confianza es pequeño, al ser la muestra pequeña y el error máximo admisible también muy pequeño. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_4 Para 96 familias españolas elegidas al azar se ha determinado que la TV permanece encendida una media de 217 minutos diarios, siendo de 40 minutos la desviación típica de la muestra. a) Para una fiabilidad del 95%, ¿qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para el total de la población española?. b) ¿Qué tamaño de la muestra sería necesario para reducir ese error a la mitad?. Resolución: a) Para una confianzas del 95%: (1 – α) = 0,95  α = 0,05  α / 2 = 0,025  zα/2 = 1,96 El error máximo admisible es: E = zα/2 . σ/√n Sustituyendo los datos conocidos: E = 1,96. 40 / √ 96 = 8 minutos b) E = 8 / 2 = 4 E = zα/2 . σ/√n  4 = 1,96. 40 / √n  √n = 19,6  n = 384 familias @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_5 Tomamos al azar a 49 amas de casa. Tras una encuesta determinamos que el 35% del sueldo se gasta en alimentación y vestimenta. a) Para una fiabilidad del 95%, ¿qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para el total de la población española?. b) ¿Qué tamaño de la muestra sería necesario para reducir ese error a la mitad?. Resolución: a) Para una confianzas del 95%: (1 – α) = 0,95  α = 0,05  α / 2 = 0,025  zα/2 = 1,96 Tenemos: p = 35% = 0,35  q = 1 – p = 0,65 El error máximo admisible es: E = zα/2 . √(p.q/n) Sustituyendo los datos conocidos: E = 1,96. √ (0,35.0,65 / 49) = 1,96.0,0681 = 0,1335 = 13,35 % b) E = 0,1335 / 2 = 0,06675 E = zα/2 . √ (0,35.0,65 / n)  0,06675 = 1,96. √ (0,35.0,65 / n)   √n = 1,96. √ (0,35.0,65) / 0,06675 = 14  n = 196 amas de casa @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Ejercicios propuestos EJEMPLO_6 a) Con un nivel de confianza del 90%, en lugar del 99%, tomar los datos del Ejercicio_1. b) Con un nivel de confianza del 50%, en lugar del 99%, tomar los datos del Ejercicio_1. EJEMPLO_7 a) Realizando 36 medidas, en lugar de 49, tomar los datos del Ejercicio_2. EJEMPLO_8 a) El error máximo admisible de 0,00075 litros, en lugar de 0,0075 litros, tomando los datos del Ejercicio_3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_9 Una máquina fabrica canicas de tres colores en las siguientes proporciones: Cuatro de color blanco por cada 6 de color rojo y por cada 10 de color negro. Todas ellas se mezclan en un recipiente común. Hallar el intervalo de confianza para las muestras (embases) con una fiabilidad del 75%. a) Para la proporción de canicas de color blanco. b) Para la proporción de canicas de color rojo. c) Para la proporción de canicas de color negro. d) Hallar el error máximo admisible en cada caso. Hallar el tamaño de las muestras para reducir ese error a: e) Los 2/3 en la proporción de canicas blancas. f) Los 3/4 en la proporción de canicas rojas. g) Los 5/7 en la proporción de canicas negras. Algunas soluciones : a) La media de la muestras estará en (0,154 , 0,246) b) La media de la muestras estará en (0,2473 , 0,3527) c) La media de la muestras estará en (0,4425 , 0,5575) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS