I.E.S. Seritium

 Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones ◦ El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0 ◦ El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0 ◦ El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0  A la parte del plano que es soluci ó n de una inecuaci ó n se le llama regi ó n factible de la inecuaci ó n

 Cuando deben satisfacerse simult á neamente m á s de una inecuaci ó n estamos ante un sistema de inecuaciones lineales.  El conjunto de soluciones del sistema se puede obtener por la intersecci ó n de las diferentes regiones factibles de las inecuaciones.  A dicha regi ó n se le llama regi ó n factible del sistema.

 Una f á brica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 € y 13,50 €, respectivamente. Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para obtener la mayor cantidad de dinero por su venta? Caja tipo ACaja tipo BDisponible Chocolate32500 Almendras11,5100 Frutas1185 Precio en € 1313,50

Caja tipo ACaja tipo BDisponible Chocolate32500 Almendras11,5100 Frutas1185 Precio en € 1313,50 x = nº de cajas de tipo A y = nº de cajas de tipo B Tenemos maximizar los ingresos obtenidos por las ventas I ( x, y ) = 13 x + 13,50 y Esta función se llama función objetivo Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones Los puntos que cumplen todas las restricciones se llaman soluciones factibles

 Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12 horas de m ú sica rock, 6 horas de m ú sica clásica y 5 horas de informaci ó n general. La emisora de AM emite diariamente5 horas de m ú sica rock, 8 horas de m ú sica clásica y 10 horas de informaci ó n general. Cada d ía que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000 €, y cada d ía que emite la emisora de AM le cuesta 4000 €. Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de m ú sica rock, 180 horas de m ú sica clásica y 100 horas de informaci ó n general, cuántos d ía s deber ía emitir con ese material cada una de las dos emisoras para que el coste sea m ín imo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana? FMAMDisponible Música rock Música clásica68180 Información general Costes en €

x = nº de días en FM y = nº de días en AM Tenemos minimizar los costes por los días de emisión C ( x, y ) = 5000 x y Esta función se llama función objetivo Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones Los puntos que cumplen todas las restricciones se llaman soluciones factibles FMAMDisponible Música rock Música clásica68180 Información general Costes en €

 Dada una funci ó n lineal y una regi ó n R convexa y acotada: ◦ La funci ó n f tiene un valor m á ximo y m í nimo en R. ◦ Esos valores extremos se alcanzan en un v é rtice o en un lado de dicha regi ó n.

 Representamos la regi ó n factible  Se dibujan las rectas de nivel todas ellas paralelas a la funci ó n objetivo  Se observa el valor de k que proporciona la soluci ó n. Región factibleSolución gráfica

 Representamos la regi ó n factible  Calculamos los v é rtices de la regi ó n factible  Evaluamos la funci ó n objetivo en cada uno de sus v é rtices obviamente  El ingreso m á ximo se produce en el punto B, es decir, se deber á n producir 55 cajas del tipo A y 30 del tipo B.

 Solución gráfica Solución gráfica  Solución analítica  Evaluamos la funci ó n objetivo en cada uno de sus v é rtices  C ( A ) = 5000· ·7 = €  C ( B ) = 5000· ·10 = €  C ( C ) = 5000·7, ·6,32 = €  C ( D ) = 5000· ·0 = €  C ( E ) = 5000· ·0 = €  El coste mínimo se produce en el punto A. Se deberá emitir 7 días en AM y ningún día en FM.

¿Todos los problemas de programación lineal tienen solución?

Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay máximo

Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay mínimo

 Un problema de PL consiste en optimizar una funci ó n lineal de la forma que llamaremos funci ó n objetivo, sujeta a unas restricciones  Soluci ó n posible: es cualquier par de valores ( x 1, y 1 ) que cumpla todas las restricciones. Al conjunto de todas las soluciones posibles de un problema lineal se le llama regi ó n factible.  Ó ptimo: es un par de valores ( x 1, y 1 ), si existe, que hace m á xima o m í nima la funci ó n objetivo.  Un problema de PL puede:  Tener soluci ó n ú nica  Tener infinitas soluciones  No tener soluci ó n.