Unidad 8 Funciones

Precio de las pizzas Definición de función 5 € 10 € 15 € Variable independiente: tamaño de la pizza Variable dependiente: precio de la pizza

Definición de función Pequeña Mediana Grande 5 € 10 € 15 € Una función es una ley que relaciona dos variables de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la variable independiente le hace corresponder un valor y sólo uno de la variable dependiente. Ejemplo: El precio de la pizza es función del tamaño. Cada tamaño de pizza tiene un único precio.

Precio pizza = f(tamaño pizza) Definición de función Pequeña Mediana Grande 5 € 10 € 15 € En Matemáticas esto se representa con la expresión: y = f(x) donde x representa la variable independiente e y la variable dependiente. Precio pizza = f(tamaño pizza) (¡Atención: podría haber más de una variable independiente!).

Formas de representar una función Una gráfica. Una tabla de valores. Tamaño pizza (cm) 20 40 60 Precio (€) 5 10 15 Una frase que exprese la relación entre ambas variables. El precio de la pizza aumenta al aumentar el tamaño de ésta. Una expresión matemática del tipo: y = f(x). Precio pizza = 0’25 . tamaño pizza

Características: Dominio y recorrido Se llama dominio al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Se llama recorrido al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. En esta tabla de valores: Tamaño pizza (cm) 20 40 60 Precio (€) 5 10 15 Dominio = {20, 40, 60} Recorrido = { 5, 10, 15}

Características: Dominio y recorrido En esta gráfica: Dominio = [0 , 24] Recorrido = [-5 , 7] En esta función: y = 2x + 3 Dominio = R Recorrido = R

Características: continuidad Una función se dice que es continua cuando su gráfica puede efectuarse en una sola vez, sin necesidad de levantar el lápiz del papel donde se está dibujando. En caso contrario se dice que es discontinua. Función discontinua en x = 1 Función continua en R - {1} Función continua en [0,4]

Características: crecimiento Una función se dice que es creciente cuando al aumentar el valor de x, aumenta el valor de y. Y es decreciente cuando al aumentar el valor de x disminuye el valor de y. Una función presenta un máximo relativo en un punto, si crece a la izquierda de ese punto y decrece a la derecha y presenta un mínimo relativo si la función decrece a la izquierda y crece a la derecha.

Características: intersección con los ejes Son los puntos en que la función corta los ejes de coordenadas. A partir de la gráfica, basta con ver en qué puntos corta la gráfica a los ejes X e Y. Intersección con los ejes: corta al eje Y en el punto (0, 4) y al eje X en el punto (4, 0). A partir de la expresión matemática: y = - x + 4 Corte con el eje Y : Para x = 0 → y = -0 + 4 = 4 Corte con el eje X: Para y = 0 → 0 = - x + 4 → x = 4

Características de las funciones Ejemplo: la función representada en la gráfica tiene las siguientes características: Función continua en [0,4] Creciente en [0,1] y [3,4] Decreciente en [1,3] Máximo en x = 1 Mínimo en x = 3 Intersección con los ejes: (0,0)

Tipos de funciones Polinómicas Funciones algebraicas Racionales Son las que pueden expresarse mediante un número finito de operaciones (+, -, x, : , ) y que contienen potencias (xn) Irracionales Exponenciales Funciones trascendentes Logarítmicas Son todas las demás. Trigonométricas

Funciones polinómicas: Función constante Su expresión analítica es: y = K siendo K un número real cualquiera.  La gráfica de este tipo de funciones es una línea recta horizontal. Sea cual sea el valor de x, la función siempre toma el valor K, por tanto, y no depende del valor que tome x. Un ejemplo de función constante sería una tarifa telefónica plana, en la que el precio mensual es siempre el mismo independientemente del número de llamadas que se haga.

Funciones polinómicas: Función constante Ejercicio 1: Representa gráficamente la función y = 3. Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se dibuja una línea recta horizontal, que corte al eje Y en el punto (0,3). x y 1 2 3 3 3 3

Funciones polinómicas: Función constante Análisis de la función y = 3. Dominio: R. Recorrido: {3}. Función continua en R. Constante. No tiene máximos ni mínimos. Intersección con lo ejes: (0,3)

Funciones polinómicas: Función afín Su expresión analítica es: y = m x + b La gráfica de este tipo de función es una línea recta, por eso se dice que y depende linealmente de x. (Dependencia lineal) Un ejemplo de función afín es una tarifa telefónica normal. La mensualidad es suma de una cantidad fija (mantenimiento de línea) y de otra cantidad que depende del número de llamadas.

Funciones polinómicas: Función constante y = m x + b b, la ordenada en el origen, es el valor que toma la función cuando x es igual a cero. En la gráfica es el punto donde la línea corta al eje y. m, la pendiente, es una medida de la inclinación de la recta. Se calcula: 1 2 Y X + x2 x1 m y2 y1 b

Funciones polinómicas: Función afín Ejemplo: Y Avanza una unidad hacia la derecha y sube dos unidades 2 1 2 1 Pendiente = 2 1 Ordenada en el origen = 1 X

Funciones polinómicas: Función afín Ejemplo: Y Ordenada en el origen = 3 X Baja dos unidades y avanza una unidad hacia la derecha. -2 1 -2 1 Pendiente = -2 1

Funciones polinómicas: Función afín Ejercicio 2: ¿Cuál es la ecuación que corresponde a esta gráfica? Como la gráfica es una línea recta su ecuación general es: y = m x + b b m 1 2 + ¿Cuánto vale b? b = 1 ¿Cuánto vale m? Y = 2 x + 1

Funciones polinómicas: Función afín Análisis de la función afín: y = 2x + 1: Dominio: R. Recorrido: R. Función continua en R. Creciente en R. No tiene máximos ni mínimos.

Funciones polinómicas: Función afín Ejercicio 3: ¿Cuál es la ecuación que corresponde a esta gráfica? Como la gráfica es una línea recta su ecuación general es: y = m x + b. ¿Cuánto vale b? b = -5 ¿Cuánto vale m? Y = 1 x - 5

Funciones polinómicas: Función afín Análisis de la función afín: y = x - 5: Dominio: R. Recorrido: R. Función continua en R. Creciente en R. Sin máximos ni mínimos.

Funciones polinómicas: Función afín Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (con dos puntos es suficiente para dibujar una recta). Para averiguar la función a partir de una tabla de valores se utiliza la ecuación: .

Funciones polinómicas: Función afín Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) P (2,3) y Q (1,5), b) P (-5,-3) y Q (3,1). Sustituyendo: y – 3 = -2 (x – 2) = -2x + 4 y = - 2x + 4 + 3 y = -2x + 7

Funciones polinómicas: Función afín Análisis de la función afín: y = -2 x + 7 Dominio: R. Recorrido: R. Función continua en R. Decreciente en R, porque la pendiente es negativa Sin máximos ni mínimos. Intersección con el eje Y: Para x = 0 y = 7 Intersección con el eje X: Para y = 0 -2x +7 = 0 x =

Funciones polinómicas: Función afín Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos: b) P (-5,-3) y Q (3,1). Sustituyendo: y + 3 = 0'5 (x +5) = 0'5x +2'5 y = 0'5x +2'5 –3 y = 0'5x– 0'5

Funciones polinómicas: Función afín Análisis de la función afín: y = 0'5x– 0'5 Dominio: R. Recorrido: R. Función continua en R. Creciente en R, porque la pendiente es positiva. Sin máximos ni mínimos. Intersección con el eje Y: Para x = 0 y = -0'5 Intersección con el eje X: Para y = 0 0'5x– 0'5 = 0 x =

Funciones polinómicas: Función lineal Es un caso particular de la función afín, para b = 0: Su expresión analítica es: y = m . x La gráfica de este tipo de función es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. En este caso, la dependencia es directamente proporcional. b = 0 Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (una de las coordenadas es el punto (0,0) por lo que solo hace falta otro punto para dibujar la recta).

Funciones polinómicas: Función lineal Precio de las pizzas 5 € 10 € 15 € Precio pizza = f(tamaño pizza) Se trata de una función lineal, porque para tamaño 0 el precio es 0 €.

Funciones polinómicas: Función cuadrática La expresión analítica: y = ax2 + bx + c La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada parábola. Cuando una función es de este tipo se dice que la y depende cuadráticamente de la x. Un ejemplo de función cuadrática es el espacio que recorre, un cuerpo en caída libre, con el tiempo: e = 4'9 · t2 Para hacer la representación gráfica a partir de la función, no es necesario hacer una tabla de valores, basta con calcular los puntos de intersección con los ejes y las coordenadas del vértice.

Funciones polinómicas: Función cuadrática Para calcular el vértice de una parábola se utiliza la fórmula: A continuación se sustituye el valor de x en la función para obtener el valor de la coordenada y.

Funciones polinómicas: Función cuadrática Ejercicio 4: Representa gráficamente la siguiente función: y = 1x2 + 2x – 5. Coordenadas del vértice: y = 1·(-1)2 + 2·(-1) – 5 = -6 Cálculo de la intersección con el eje Y: Para x = 0 → y = 1·02 + 2·0 - 5 = -5 Cálculo de la intersección con el eje X: Para y = 0 → 1x2 + 2x – 5 = 0

Funciones polinómicas: Función cuadrática Ejercicio 4: Representa gráficamente la siguiente función: y = 1x2 + 2x – 5. x y -3 -2 -5 -1 -6 1 2 3 10 4 19

Funciones polinómicas: Función cuadrática Análisis de la función: y = 1x2 + 2x - 5 Dominio: R. Recorrido: [-6, +∞ ]. Función continua en R. Decreciente desde [-∞, -1] y Creciente desde [-1, +∞]. Mínimo en x = -1.

Funciones polinómicas: Función cuadrática Ejercicio 5: Representa gráficamente la siguiente función cuadrática: Y = 2x2 + 2x - 4 Coordenadas del vértice: y = 2 · (-0'5)2 + 2 · (-0'5) - 4 = -4'5 Intersección con el eje Y: Para x = 0 → y = -4 Intersección con el eje X: Para y = 0 → 2x2 + 2x – 4 = 0 x = -2 y x = 1

Funciones polinómicas: Función cuadrática Análisis de la función: y = 2x2 + 2x - 4 Dominio: R. Recorrido: [-4’5 , +∞ ]. Función continua en R. Decreciente desde [-∞, -0’5] y Creciente desde [-0’5, +∞]. Mínimo en x = -0’5. Intersección con el eje y: (-2,), (1,0) Intersección con el eje x: (0,-4)

Funciones polinómicas: Función cuadrática Ejercicio 5: Representa gráficamente las siguientes funciones cuadrática: Y = -x2 – 2x – 3 Coordenadas del vértice: y = -(-1)2 – 2·(-1) - 3 = -2 Intersección con el eje Y: Para x = 0 → y = -3 Intersección con el eje X: Para y = 0 → 0 = -x2 – 2x – 3. No tiene solución real

Funciones polinómicas: Función cuadrática Análisis de la función: y = -x2 – 2x – 3 Dominio: R. Recorrido: [-2, -∞ ]. Función continua en R. Decreciente desde [-1,+∞]. y Creciente desde [-∞, -1] Máximo en x = -1. Intersección con el eje y: (0,-3) Intersección con el eje x: No tiene

Funciones racionales: Función inversa Las funciones racionales son aquella en las que el numerador y el denominador son un polinomio, por ejemplo: Un caso particular de las funciones racionales son las funciones inversas. Este tipo de funciones relacionan las variables x e y a través de expresiones del tipo: donde k es un número cualquiera distinto de cero. 

Funciones racionales: Función inversa Cuando una función relaciona las variables x e y a través de expresiones del tipo: se dice que y es inversamente proporcional a x.  La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada hipérbola equilátera. Son funciones discontinuas ya que cuando x = 0, y = ∞ La función será creciente si k < 0 y decrecientes si k>0 No tiene ni máximo, ni mínimo.

Funciones racionales: Función inversa Ejercicio 6: Representa gráficamente la siguiente función: x y 1 2 4 5 10 20 20 10 5 4 2 1

Funciones racionales: Función inversa Análisis de la función: Dominio: R- {0}. Recorrido: R- {0}. Función discontinua en x = 0. Decreciente en todo el dominio. No tiene máximo ni mínimo. Corta a los ejes de coordenadas en el ∞.

Funciones racionales: Función inversa Tiempo de recogida = f (nº trabajadores) Se trata de una función inversa.

Funciones a trozos Una función definida a trozos tiene distintas expresiones analíticas dependiendo del intervalo de su dominio. Por ejemplo, la siguiente función tiene dos trozos: x2 si x<1 f(x) = 2x + 1 si x ≥1 Para x < 1 hay que representar la función y = x2 Para x ≥1 hay que representar la función y = 2x +1:

Funciones a trozos Análisis de la función a trozos: Dominio: R Recorrido: [0, +∞ ]. Función discontinua en x = 1 Decreciente desde [-∞, 0) y Creciente desde (0 ,+∞]. Tiene un mínimo en x = 0. Intersección con los ejes: (0,0)