FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CONTENIDO Funciones trigonométricas de números reales Arcos de referencia sobre el circulo unitario. Función sen(). Análisis de la función sen(). Función cos(). Análisis de la función cos(). Representación grafica de la función tan(). Análisis de la función tan(). Transformaciones de las funciones trigonométricas.

Las razones trigonométricas sobre triángulos rectángulos son: Funciones trigonométricas de números reales Una función es una regla que asigna a cada número real otro número real. Las razones trigonométricas sobre triángulos rectángulos son: co θ ca h sen θ= csc θ= cos θ= sec θ= tan θ= cot θ=

s longitud del arco del círculo en radianes Funciones trigonométricas de números reales Para una longitud de arco s en radianes sobre el círculo unitario con punto inicial (1,0) y punto final P(x,y), se define: P(x,y) x = cos s s y 1 y = sen s s longitud del arco del círculo en radianes x Trabajaremos inicialmente sobre longitudes de arcos subtendidos por ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° 90°, 180°.

ARCOS DE REFERENCIA SOBRE EL CÍRCULO UNITARIO En el primer cuadrante del círculo, están los arcos de referencia para 0, /6 , /4 ,/3 y /2,con sus posiciones (x,y) sobre el círculo así: (0,1) /2 1 /3, /4, /6 (1,0) 0 1 x

A partir de la asociación de ángulos de referencia con las coordenadas sobre la circunferencia de radio uno podemos asignar nombres especiales a cada una de las coordenadas del punto dado. Así, para cada uno de estos ángulos () que tiene asociado el punto con coordenadas ( x, y ) definimos las siguientes relaciones: seno de  , que se representa por sen () coseno de  que se representa por cos () tangente de  que se representa por tan () siempre que x  0 Así mismo, teniendo en cuenta que la circunferencia es de radio uno y que la ecuación asociada a ella está dada por podemos afirmar que

sen() = cos() = tan() = Ejemplo Si  = 7/4 Los valores de las relaciones trigonométricas serán: sen() = cos() = tan() = 7/4

Función f() = sen() Por definición y=sen(), /2 /3, 1 /4 Por definición y=sen(), siendo y la ordenada del punto terminal de los arcos en el plano cartesiano. /6 1

Representación gráfica de la función f ()=sen() π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π sen() 1

Representación gráfica de la función f ()=sen() -π/6 -π/4 -π/3 -π/2 -2π/3 -3π/4 -5π/6 -π sen() – 1

Análisis de la función f () = sen() Dominio: Rango o recorrido: Cortes con los ejes Valores máximo y valor mínimo Intervalos en los que crece la función: Intervalos en los que decrece la función: Tipo de paridad: es una función impar R

Período de la función f() = sen() Menor longitud del intervalo en el cual la función repite su comportamiento. Para f() = sen(), P=2

Amplitud de la función f()=sen() valor máximo valor mínimo AMPLITUD La mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo Para f() = sen(), A=1

Función f()=cos() Recordemos que, por definición: (0,1)/2 Recordemos que, por definición: x= cos(), siendo x la abscisa del punto terminal de los arcos en el plano cartesiano. 1 /3, /4 /6 (1,0) 0

Representación gráfica de la función f ()=cos() π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π cos() 1 -1

Representación gráfica de la función f ()=cos() -π/6 -π/4 -π/3 -π/2 -2π/3 -3π/4 -5π/6 -π cos() 1

Análisis de la función f () = cos() Dominio: Rango o recorrido: Cortes con los ejes Valor máximo y valor mínimo Intervalos en los que crece la función: Intervalos en los que decrece la función: Tipo de paridad: es una función par R

Período de la función f() = cos() Longitud menor del intervalo en la cual la función repite su comportamiento. Para f() = cos(), P=2

Amplitud de la función f()=cos() valor máximo valor mínimo AMPLITUD La mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo Para f() = cos(), A=1

Representación gráfica de la función f(α)=tan (α) Si en el círculo unitario, al ser racional, tiene asíntotas verticales en x=0. En términos de las funciones esto es en

Análisis de la función f(α)=tan (α), en (- /2, /2) Dominio: Rango: R P=  R Crece para todo el dominio. Corte eje y y eje x (0,0) Asíntota vertical: x=/2 x= -/2

Transformación de funciones trigonométricas Contracciones y dilataciones horizontales f(α)=Cos α g(α)=f(4 α) g(α)=Cos(4 α); f(α)=Tan α g(α)=f(α /4) g(α)=Tan(α /4); g(α) g(α) f(α) f(α) Periodo de g(α)=/2 Periodo de g(α)= 4

Transformación de funciones trigonométricas Reflexiones sobre los ejes f (α)=Sen(α) g(α)=f (- α) g(α)=Sen(- α): f (α)=Tan (α) g(α)=-f (α) g(α)=- Tan(α); g(α) f(α) f(α) g(α) Reflexión sobre eje y Reflexión sobre el eje x

Desplazamientos horizontales Transformación de funciones trigonométricas Desplazamientos horizontales Trazar g(α)=Sen(α +/4) a partir de f (α)=Sen α g(α)=f (α+/4) Desfase de /4 a la izquierda. f(α) g(α)

Transformación de funciones trigonométricas Dilatación y contracción vertical g(t)=1/3 Cos(t); f (t)=Cos(t) g(t)=1/3f(t) g(t)=3 Sen(t); f (t)=Sen(t) g(t)=3f (t) g(t) f(t) f(t) g(t) Amplitud g(t)=1/3 Amplitud g(t)=3

Transformación de funciones trigonométricas Desplazamientos verticales Trazar g(t)=1+Cos(t) a partir de f (t)=Cos(t) g(t)=f (t)+1 g(t) 1 f(t)

Transformación de funciones trigonométricas Generalidades: Si se tiene una función trigonométrica: La función: Expresada como transformación de f(t): Se tiene: d Desplazamiento vertical: Amplitud= Para seno y coseno: Período: Desplazamiento horizontal: Para tangente:

Transformación de funciones trigonométricas Representar gráficamente la función g(t)= -1/2 Cos( 2t-3)+1 Si f (t)=Cos (t) g(t)= -1/2 f(2(t-3/2)) +1 ATENCIÓN: El orden de las transformaciones es: a. g(t)=f (2t) b. g(t)=f (2(t-3/2) ) c. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) d. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) +1

Transformación de funciones trigonométricas g(t)=-1/2f (2(t-3/2))+1 a. g(t)=f (2t) Contracción horizontal Periodo:  g(t)

Transformación de funciones trigonométricas b. g(t)=f (2(t-3/2)) Desplazamiento horizontal de 3/2 a la derecha Desface: 3/2

Transformación de funciones trigonométricas c. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) Contracción vertical ½ Reflexión sobre el eje x Crece(3/2) A=1/2 Decrece(2,7)

Transformación de funciones trigonométricas d. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) +1 Desplazamiento: 1 unidad arriba

Análisis de la función trazada: g(t)=-1/2 Cos(2t-3)+1 P= Crece(3/2,2) Decrece(2,5/2) D: R R: [1/2,3/2] A=1/2 Desplazamiento 1 arriba Desfase 3/2 derecha No corta eje x No corta con eje y Ciclo fundamental=(3 /2,5 /2)