Problemas de aplicación a triángulos

Definición Si un observador está mirando un objeto, entonces la línea del ojo del observador al objeto se llama línea de visión. Si el objeto que está siendo observado está arriba de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se llama ángulo de elevación. Si el objeto está debajo de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se llama ángulo de depresión. Línea de visión Angulo de elevación Angulo de depresión Línea de visión

Tomamos las distancias h y 60-h Ejemplo 1: Una persona parada sobre una colina ve un asta de bandera que sabe tiene 60 pies de altura. El ángulo de depresión respecto a la parte inferior del asta es 30° y el ángulo de elevación respecto a la parte superior del asta es 45°. Encuentre la distancia x. Tomamos las distancias h y 60-h En el triángulo 45°- 45°-90°: h 60 45° x En el triángulo 30°- 60°-90°: 30° 60-h

Ejemplo 1(continuación): Despejamos h e igualamos: h Despejamos x: 60 45° x 30° 60-h

Reemplazando este valor en V se tiene: Ejemplo 2: La fórmula para el volumen V de un cono circular recto es . Si el radio de la base es r =6, y la altura h, exprese el volumen como función de α. α h r Por lo tanto: Reemplazando este valor en V se tiene: 5

Ejemplo 3: El techo se define en meteorología, como la distancia vertical del suelo a la base de las nubes. Para medir el techo se coloca un reflector apuntando verticalmente hacia la nube. ¿Cuál es el valor de esta altura h? h 1.7 150 m 71.5 x 6

Ejemplo 4: Un piloto vuela en línea recta a una altitud constante, a 800 pies sobre el nivel del mar. A unos 3000 pies hay una montaña, la cual, de acuerdo con su mapa, tiene una elevación de 2000 pies. ¿Cuál es el ángulo mínimo al cual debe dirigir el avión para poder sobrevolar la montaña? 800 2000 3000 1200 α 7

Aplicando la ley del coseno se tiene: Ejemplo 5: Se construye un túnel recto con extremos A y B a través de una montaña. Desde el punto C, el topógrafo determina que AC= 600 metros, BC=500 metros y el ángulo C= 80°. Determine la longitud del túnel. Aplicando la ley del coseno se tiene: B A C

Trazamos la diagonal del lado 10x8 y hallamos sus medidas: Ejemplo 6: Una caja rectangular de lados 6m, 8m y 10m se muestra en la figura siguiente. Determine el ángulo α formado por la diagonal de la base con la diagonal del lado 6 x 8. Solución 10 6 8 Trazamos la diagonal del lado 10x8 y hallamos sus medidas: Extraemos el triángulo formado por las diagonales.

Ejemplo 6(continuación): Aplicamos la ley del coseno: a c b

c es la distancia entre las dos montañas Ejemplo 7: Un helicóptero vuela a una altura de 1500 pies sobre la cima de una montaña A, con una altura conocida de 4800 pies. Una segunda cima de otra montaña cercana B, más alta, es vista con un ángulo de depresión de 50⁰ desde el helicóptero y con un ángulo de elevación de 15 ⁰ desde A. Determine la distancia entre las dos cimas de las montañas y la altitud aproximada de B. 15⁰ 50⁰ 1500 pies A B C c es la distancia entre las dos montañas

Ejemplo 7(continuación): Para hallar la altitud de la montaña B utilizamos el triángulo rectángulo con ángulo agudo 15° 50⁰ 1500 pies B x 15⁰ 15⁰ A

Ejemplo 8: Desde la parte superior de un edificio de 100 pies, un hombre observa un automóvil que se mueve delante de él. Si el ángulo de depresión del automóvil cambia de 15° a 33° durante el periodo de observación, ¿Cuál es la distancia que recorrió el automóvil? 15° 100 30° x El triángulo que se tiene es: 15° 30° 100 x

Ejemplo 8 (continuación): 15° 30° 100 b c x Del triángulo rectángulo se tiene: En el triángulo abc se tiene: ángulo en b = 150° x = 200 pies ángulo en c = 15° (triángulo isósceles) La distancia recorrida por el vehículo son 200 pies