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Modelado-1A. García-Alonso2 Introducción Foley Cap , Hearn Cap. 10 Geometría básica Modelado geométrico –Modelos o representaciones de sólidos (F 12, H 10.1,14-17) –Modelado de superficies (F 11, H ) –Blobby objects (F , H 10.5) Procedimientos (F 20.2) –Fractales : modelos geométricos (F 20.3, H 10.18) –Gramáticas (F 20.4, H 10.19) –Sistemas de partículas (F 20.5, H 10.20) –Physically based modeling (F 20.7, H 10.21)

Modelado-1A. García-Alonso3 Bibliografía adicional C. MacHover (Editor), “The CAD/CAM Handbook”, Ed. McGraw Hill, 1995 C. McMahon, J. Browne, “CAD CAM form Principles to Practice”, Addison-Wesley, 1993

Modelado-1A. García-Alonso4 Geometría básica El vector El punto La recta El plano Cara (plana), polígono o faceta Volúmenes Contenedores

Modelado-1A. García-Alonso5 El vector Unidades –En variables –En constantes y “#define” –En interfaz de usuario Ángulo de dos vectores –Sin orientar –Orientado

Modelado-1A. García-Alonso6 Angulo entre dos vectores Angulo entre dos vectores (sin orientar) : 0 ≤ α ≤ π |a|·|b|·cos α = a.b α = acos(a.b / |a|·|b|) Angulo con eje de un sistema de referencia (orientado) : -π ≤ α ≤ π α = acos( b x / |b| ) if( b y <0) α = -α a b α x y z (saliente) b b’ α α’

Modelado-1A. García-Alonso7... Angulo que forma el vector b con el vector a (orientado) : la orientación la define un eje perpendicular al plano definido por los dos vectores eje b a α b a α b a α b a α

Modelado-1A. García-Alonso8 La recta Modos de definir una recta –Ecuación implícita –Dos puntos –Punto y vector –Ecuación implícita (2D) –Estructuras de datos Distancia punto/recta Distancia-2D punto/recta Distancia-2D aproximada punto/recta Punto en recta : tolerancia Señalar segmento (2D) : tolerancia

Modelado-1A. García-Alonso9 Ecuación implícita de la recta (2D) Ecuación implícita de la recta (r) A · x + B · y + C = 0 Vectores paralelos a la recta (p r ) : λ · ( -B, A ),  λ  ℝ / λ  0 Vectores perpendiculares a la recta (n r ) : λ · ( A, B ) Los coeficientes de la recta definida por M, N : A = N y – M y ; B = M x – N x ; C = - [ (N y – M y ) M x + (M x – N x ) M y ] N M nrnr prpr

Modelado-1A. García-Alonso10 Distancia punto/recta Sea un punto cualquiera P, y una recta definida por dos puntos M y N –La (distancia) 2 de P a la recta se obtiene despejando δ 2 –El cálculo de δ 2 requiere: 10 (*), 13 (+), 1 (/) Los módulos se elevan al cuadrado  no se calculan  –Un dividendo se anula si M y N coinciden, pero en ese caso no definen un segmento. N P θ M δ P’

Modelado-1A. García-Alonso11 Distancia-2D punto/recta El cálculo de δ 2 requiere: 7 (*), 8 (+), 1 (/) δ = MP · ( n r / | n r | ) Sustituyendo y simplificando queda δ 2 = [ (P x - M x ) · A + (P y - M y ) · B ] 2 / (A 2 + B 2 ) N P M δ nrnr

Modelado-1A. García-Alonso12 Distancia-2D punto/recta Ecuación implícita de la recta (r) : Ax + By + C = 0 Vectores paralelos a la recta (p r ) : λ · ( -B, A ),  λ  ℝ / λ  0 Vectores perpendiculares a la recta (n r ) : λ · ( A, B ) El cálculo de δ 2 requiere: 7 (*), 8 (+), 1 (/) δ = MP · ( n r / | n r | ) Sustituyendo y simplificando queda δ 2 = [ (P x -M x ) A + (P y -M y ) B) ] 2 / (A 2 + B 2 ) N P M δ nrnr prpr

Modelado-1A. García-Alonso13 Distancia-2D aproximada punto/recta Podemos usar una “distancia” evaluada en vertical –El cálculo de δ vert requiere: 3 (*), 4 (+), 1 (/), 1 (abs) –Restringimos el cálculo a rectas de pendiente [-1,+1] –Para rectas con pendiente de valor absoluto mayor que 1, se intercambian los ejes x e y Evita una degeneración del área de captura Evita el problema de rectas con pendiente que tiende a infinito Despejar la pendiente (m) y el pie (b) : M y = m·M x -b N y = m·N x -b N P M δ v = abs( P y – (m·P x -b) ) x y PyPy m·P x -b b m = tg θ

Modelado-1A. García-Alonso14 Señalar segmento (2D) : tolerancia El sistema informa de qué píxel se ha señalado Comprobamos si ese punto es interior a un área para: –Evitar problemas de precisión –Mejorar ergonomía: facilitar al operador la acción de señalar El punto no es próximo al segmento si : –Es exterior al contenedor rectangular “recrecido en ξ” –Su distancia a la recta soporte es superior a ξ Numerosos segmentos : técnicas de ordenación espacial Área de captura “ideal”Área de captura que implementamos ξ ξ

Modelado-1A. García-Alonso15 El plano Modos de definir un plano –Ecuación implícita Interpretación de “las ecuaciones” de un plano : vector normal Semi-espacios definidos por un plano Distancia plano a origen –Tres puntos –Punto y vector normal, punto y dos vectores –Elementos geométricos Distancia punto/plano Punto en el plano : tolerancia Señalar plano

Modelado-1A. García-Alonso16 Ecuación implícita del plano Un plano está formado por todos los puntos P que satisfacen la ecuación: A·P x + B·P y + C·P z + D = 0 Existen infinitas descripciones del plano λ·(A, B, C, D) λ·(A, B, C) representa las componentes de todos los vectores normales al plano. De ellos, sólo dos son unitarios Si el plano está asociado a una cara de un sólido, se suele usar la normal unitaria hacia el exterior Conocido un vector normal (n x, n y, n z ) y un Punto P del plano: A = n x, B = n y, C = n z, D = - (n x · P x +n y · P y + n z · P z ) Normal unitaria hacia el exterior Normales al plano

Modelado-1A. García-Alonso17 Semiespacios definidos por un plano semiespacio - En A (corte eje z con el plano), x = y = 0  n z · z + D = 0 y como, n z > 0 y z 0  O está en el semiespacio + n z > 0 semiespacio + A y z O semiespacio - n z > 0 semiespacio + B y z O En B, x = y = 0  n z · z + D = 0 y, n z > 0 y z > 0  D<0  O está en el semiespacio - Sea P(x,y,z) un punto cualquiera del espacio Sea el plano (n x, n y, n z, D) La función F(P) = n x · P x + n y · P y + n z · P z + D Divide el espacio en dos semiespacios, En uno se verifica que F(P)>0 y en el otro F(P)<0

Modelado-1A. García-Alonso18 Distancia punto/plano Sea M un punto cualquiera del plano, y n un vector normal al plano, unitario. Se cumplirá : δ = abs( MP · n) n P M δ

Modelado-1A. García-Alonso19 Caras (planas), polígonos o facetas Modos de definir una cara –xxx Punto interior a una cara Clasificación Forma adecuada Cálculo del vector normal

Modelado-1A. García-Alonso20 Clasificación Cóncavas y convexas Múltiplemente conexos Cruces de aristas

Modelado-1A. García-Alonso21 Forma adecuada Problemas de precisión Rapidez de cálculo Evitar polígonos –Cóncavos –Ángulos muy agudos o próximos al recto (180º) –Con aristas tangentes o secantes –Con desproporción en las magnitudes de los lados Triángulos y cuadriláteros fomentar –Formas equiláteras –Fomentar formas isósceles o rectangulares

Modelado-1A. García-Alonso22 Cálculo del vector normal Método simple –Usar tres primeros vértices –Problemas Polígonos cóncavos Vértices no coplanarios Vértices alineados Uso método ponderado (Foley ) n x = 0.5 ·  (z i + z i  1 ) · (y i  1 - y i ) n y = 0.5 ·  (x i + x i  1 ) · (z i  1 - z i ) n z = 0.5 ·  (y i + y i  1 ) · (x i  1 - x i ) ( i: 1  n )

Modelado-1A. García-Alonso23 Volúmenes contenedores Geometría –Caja contenedora El menor prisma rectangular de caras paralelas a los planos coordenados que contiene al cuerpo dado Para poliedros : –Inicializar valores min-max con un vértice del cuerpo –Recorrer la geometría recreciendo esos valores iniciales –Esfera –Envolvente convexa xmax z y xmin zmin zmax x ymin ymax

Modelado-1A. García-Alonso24... Sistema de referencia –Modelado, mundo, cámara Jerarquías : dependiente/independiente del tiempo Pre-procesado / regenerado (cuándo) –Sistema modelado : varía forma –Sistema mundo : cambio de posición o forma –Sistema cámara : cambio posición relativa o forma