Serie de Taylor y Maclaurin Ing. Antonio Crivillero

¿Qué funciones tienen representación en serie de potencias? Serie de Taylor y Maclaurin ¿Qué funciones tienen representación en serie de potencias? ¿Cómo podemos encontrar esas representaciones?

1 2 3 Serie de Taylor y Maclaurin Suponiendo que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias: 1 2 3

Serie de Taylor y Maclaurin 4

5 Serie de Taylor y Maclaurin Teorema: Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es, si 5 Los coeficientes están expresados por la fórmula

Serie de Taylor y Maclaurin 6 7

Serie de Taylor y Maclaurin EJEMPLO 1 – Determina la serie de Maclaurin de la función f(x) = ex y su radio de convergencia SOLUCIÓN – Si f(x) = ex , de modo que para toda n. En consecuencia, la serie de Taylor de f en 0 (esto es, la serie de Maclaurin) es Para hallar el radio de convergencia, sea . Entonces De modo que, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de convergencia

Serie de Taylor y Maclaurin La conclusión a la que llegamos con el teorema 5 y el ejemplo 1 es que en caso de que ex tenga un desarrollo como serie potencias en 0, entonces Así pues, ¿cómo determinar si acaso ex posee una representación en forma de serie de potencias? Investigaremos la pregunta más general: ¿en qué circunstancias una función es igual a la suma de su serie de Taylor? En otras palabras, si f tiene derivadas de todos los órdenes, ¿cuándo se cumple?

Serie de Taylor y Maclaurin Al igual que con cualquier serie convergente, esto significa que f(x) es el límite de la sucesión de sumas parciales. En el caso de las series de Taylor, tenemos que las sumas son Observará que Tn es un polinomio de grado n llamado polinomio de Taylor de grado n-ésimo, de f en a. Por ejemplo, la función exponencial f(x)= ex, resultado del ejemplo 1, indica que sus primeros tres polinomios de Taylor en 0 (o sus polinomios de Maclaurin) con n = 1,2 y 3 son

Serie de Taylor y Maclaurin (0,1) x

Serie de Taylor y Maclaurin En la figura 1 se trazan las gráficas de la función exponencial y de estos tres polinomios de Taylor. En general, f(x) es la suma de la serie de Taylor si Si ponemos y entonces se llama residuo de la serie de Taylor. Si pudiéramos demostrar que entonces se desprendería

8 9 Serie de Taylor y Maclaurin Hemos demostrado el teorema que sigue. Teorema: Si f (x) = Tn(x) + Rn(x), donde Tn es el polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a y 8 Cuando , entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo Desigualdad de Taylor: Si para , entonces el residuo Rn(x) de la serie de Taylor satisface la desigualdad 9

Serie de Taylor y Maclaurin Demostración Para ver por qué es verdadero lo anterior en el n = 1, suponemos que . En particular se tiene , de manera que para tenemos Una antiderivada de f’’ es f’, de manera que en virtud de la parte 2 del teorema fundamental del cálculo, tenemos o Luego

Serie de Taylor y Maclaurin Por un razonamiento semejante con , se obtiene Luego

Serie de Taylor y Maclaurin EJEMPLO 2 – Escriba la serie de Maclaurin de sen x y demuestre que representa sen x para toda x. SOLUCIÓN – Ordenamos nuestros cálculos en dos columnas:

Serie de Taylor y Maclaurin En vista de que las derivadas se repiten en ciclos de cuatro, podemos escribir la serie de Maclaurin de esta manera: Ya que ,sabemos que para toda x. De modo que podemos tomar M = 1 en la desigualdad de Taylor:

Serie de Taylor y Maclaurin Por la ecuación 10 el lado derecho de esta desigualdad se acerca a 0 cuando n→∞, de manera que |Rn(x)|→ 0 por el teorema del emparedado, se sigue que Rn(x)→ 0 cuando n→∞, de modo que sen x es igual a la suma de su serie de Maclaurin, por el teorema 8. Para referencias futuras enunciamos el resultado del ejemplo 4.

Serie de Taylor y Maclaurin EJEMPLO 3 – (a) ¿Cuál es el máximo error posible al emplear la aproximación Cuando ? Use esta aproximación a fin de calcular sen 12ª, con seis decimales (b) ¿Para qué valores de x esta aproximación tiene una exactitud de 0.00005? SOLUCIÓN – a) Observará que la serie de Maclaurin Es alternante para todos los valores de x, distintos de cero, de modo que podemos aplicar el teorema de estimación de series alternantes. El error cometido al aproximar sen x mediante los tres primeros términos de la serie de Maclaurin es, cuando mucho

Serie de Taylor y Maclaurin Si , entonces , modo que el error es menor que Para calcular sen 12º, primero convertirnos a radiantes:

Serie de Taylor y Maclaurin Por consiguiente, , con cinco decimales. (b) El error será menor que 0.00005 si Al despejar x, de esta desigualdad, obtenemos De suerte que la aproximación dada posee una precisión de 0.00005 cuando |x| < 0.82 .

Serie de Taylor y Maclaurin ¿Y si hubiéramos empleado la desigualdad de Taylor para resolver el ejemplo 3? Dado que f (7)(x)= -cos x, tenemos y luego De modo que se obtienen las mismas estimaciones que con el teorema de estimación de series alternantes. ¿Y si recurrimos a métodos gráficos? En la figura 4 se exhibe la gráfica de

FIGURA 4 FIGURA 5 Serie de Taylor y Maclaurin Y ahí se muestra que cuando . Es la misma estimación que obtuvimos en el ejemplo 3. Para la parte (b) deseamos que , de modo que graficamos y (figura 5) . Al poner el cursor en la intersección de la derecha, la desigualdad se satisface cuando . Es la misma estimación obtenida en la solución del ejemplo 3. FIGURA 4 FIGURA 5

Serie de Taylor y Maclaurin Si en el ejemplo 3 se nos hubiera pedido aproximar sen 72º en lugar de sen 12º, habría sido más adecuado usar los polinomios de Taylor en en lugar de , ya que son mejores aproximaciones a los valores de sen x cuando x está próxima a . Observe que 72º es próximo a 60º, o radianes, y que es fácil calcular las derivadas de sen x en .

FIGURA 6 Serie de Taylor y Maclaurin La Figura 6 representa la gráficas de las aproximaciones con polinomios de Taylor A la senoide. Puede ver que, al aumentar n, Tn(x) es buena aproximación a sen x en un intervalo cada vez mayor. FIGURA 6

Serie de Taylor y Maclaurin Uno de los empleos de este tipo de cálculos, como los de los ejemplos anteriores, se presenta en las calculadoras y computadoras; por ejemplo, cuando se oprime la tecla sen o ex en la calculadora, o cuando un programador emplea una subrutina para definir una función trigonométrica, exponencial o de Bessel, el cálculo en muchas máquinas es una aproximación polinomial. A menudo, se trata de un polinomio de Taylor modificado para repartir el error con más uniformidad en un intervalo.

Serie de Taylor y Maclaurin EJEMPLO 4 – En la teoría especial de la relatividad de Einstein, la masa de un objeto se mueve a la velocidad v es En donde m0 es la masa del objeto cuando está en reposo y c es la velocidad de la luz. La energía cinética del objeto es la diferencia entre su energía total y su energía en reposo: (a) Demuestre que cuando v es muy pequeña, en comparación con c, la ecuación para calcular K concuerda con la que se obtiene en la física clásica newtoniana: (b) Emplee la desigualdad de Taylor a fin de estimar la diferencia entre estas expresiones para calcular K cuando |v| ≤ 100 m/s.

Serie de Taylor y Maclaurin SOLUCIÓN – (a) Con las expresiones dadas para K y m, obtenemos Con , la serie de Maclaurin de (1+x)1/2 se calcula con más facilidad como una serie binomial con k= -1/2. (Mientras que |x|<1 porque v < c.) Por consiguiente

Serie de Taylor y Maclaurin Si v es mucho menor que c, todos los términos después del primero son muy pequeño en comparación con el primero. Si los omitimos, llegamos a (b) Si , y M es un número tal que , entonces por la desigualdad de Taylor podemos escribir

Serie de Taylor y Maclaurin Como y se tiene , tenemos Ahora, con Así cuando , la magnitud del error cometido al usar la expresión de Newton para la energía cinética es, cuando mucho