PROBABILIDADES Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Lic. Oscar Noé López Cordón

CONTENIDO PROBABILIDADES Definiciones Básicas Reglas de las Probabilidades para dos o más eventos Aplicación Práctica DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Tipos de Distribuciones Distribución Binomial Aplicación Distribución Binomial Distribución Normal Aplicación Distribución Normal

DEFINICIONES BÁSICAS Hay 3 formas de calcular o estimar probabilidades: Enfoque Objetivo: También llamado Probabilístico Clásico, se emplea cuando los espacios muestrales tienen resultados igualmente probables. Enfoque Empírico o de Experimentos: Se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de ensayos repetidos. Enfoque Subjetivo: Utiliza estimaciones personales de probabilidad basada en el grado de confianza.

DEFINICIONES BÁSICAS Definición Clásica de Probabilidad: La probabilidad que se presente un determinado evento o suceso es igual al cociente del número de casos favorables a este suceso entre el número total de casos posibles. P = h / n = casos o eventos favorables casos posibles. Probabilidad Matemática: Consiste en proporcionar un modelo matemático adecuado a la descripción e interpretación de cierta clase de fenómenos observados. DEFINICIONES BÁSICAS

Otras Definiciones Importantes: Experimento: Es una acción mediante la cual se obtiene un resultado y la observación de dicho resultado. Experimento Aleatorio: Es un experimento cuyo resultado no se puede predecir con exactitud. Suceso o Evento Simple: Es cada uno de los resultados posibles de un experimento. Espacio Muestral: Es el conjunto de sucesos simples de un experimento.

Otras Definiciones Importantes: Evento Compuesto: Es el evento formado por varios eventos simples. Evento Contrario o Complementario: Este se expresa como la probabilidad de fracaso o no-éxito. Evento o Suceso Cierto O Verdadero: Conocido como evento determinista y se expresa como la probabilidad de éxito de cualquier suceso simple dentro del espacio muestral. Evento o Suceso Imposible (Nulo) La imposible ocurrencia de algún suceso o evento.

CONCLUSIÓN LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES UN NUMERO POSITIVO COMPRENDIDO ENTRE CERO Y UNO (O Y 1). El resultado del cálculo de una probabilidad siempre es positivo LA SUMATORIA DE LAS PROBABILIDADES DEL ESPACIO MUESTRAL ES IGUAL A LA UNIDAD (1).

REGLAS DE LAS PROBABILIDADES PROBABILIDAD DE DOS O MÁS EVENTOS: Eventos Mutuamente Excluyentes Eventos Parcialmente Excluyentes Eventos Independientes Eventos Dependientes

Eventos Mutuamente Excluyentes: Son también llamados Eventos Disjuntos Eventos Mutuamente Excluyentes: Son también llamados Eventos Disjuntos. Dos o más eventos son considerados mutuamente excluyentes si estos no pueden ocurrir simultáneamente (al mismo tiempo), es decir, la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la ocurrencia de los otros. Fórmula: P (A U B) = P(A) + P(B) Se aplica la Regla de Adición o Suma de las Probabilidades

P (A U B) = P(A) + P(B) - P (AΩ B) Eventos Parcialmente Excluyentes: Cuando la ocurrencia de uno se traslapa parcialmente con la ocurrencia del otro. Fórmula: P (A U B) = P(A) + P(B) - P (AΩ B) Siendo P (A Ω B) elementos comunes entre los conjuntos A y B

Se aplica la Regla de la Multiplicación Eventos Independientes: Dos o más eventos se consideran independientes si los eventos en ningún momento se afectan el uno al otro, es decir, la ocurrencia de uno no afecta sobre la ocurrencia del otro. Fórmula: P(A y B) = P(A) X P(B) = Se aplica la Regla de la Multiplicación ** Se reemplazan, se devuelven (Texto clave en el problema)

P(B/A) = Probabilidad de B dado que ya ocurrió A Eventos Dependientes: Son eventos dependientes cuando la ocurrencia de uno depende de la ocurrencia del otro. Fórmula: P(A y B) = P(A) X P(B/A) P(B/A) = Probabilidad de B dado que ya ocurrió A ** Sin reemplazo, no se devuelven (texto clave en el problema)

Si se selecciona un bus se quiere saber la siguiente probabilidad EJEMPLO No. 1: Cuatro empresas de transporte tienen 3 rutas que cubrir con diferentes buses Empresa Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Total A 3 2 5 B 4 11 C 9 D 12 15 10 37 Si se selecciona un bus se quiere saber la siguiente probabilidad Seleccionar un bus de la ruta 1 P(A) = 12/37 = 0.3243 o 32.43% R// la probabilidad de seleccionar un bus de la ruta 1 es de 0.3243 b) Seleccionar un bus de la empresa C P(A) = 9/37 = 0.2432 o 24.32% R// la probabilidad de seleccionar un bus de la empresa C es de 0.2432

APLICACIÓN PRÁCTICA A continuación se presenta una serie de ejemplos en los cuales se aplican cada una de las reglas ya indicadas.

c) Seleccionar un bus de la ruta 3 o de la empresa D Continuación …PROBLEMA 1 Empresa Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Total A 3 2 5 B 4 11 C 9 D 12 15 10 37 c) Seleccionar un bus de la ruta 3 o de la empresa D Como son parcialmente excluyentes, es decir tienen elementos en común y otros no. P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) A: que sea de la ruta 3 = 10/37 B: que sea de la empresa D = 12/37 Elemento Común entre ambas = 2/37 P(A o B) = 10/37 + 12/37 – 2/37 = 20/37 P(A o B) = 0.5405 = 54.05% d)Seleccionar un bus de la ruta 2 que sea solamente de la empresa A A: que sea de la ruta 2 B: que sea de la empresa A P(A ∩B) = 2/37 = 0.0541 = 5.41%

PROBLEMA 2 Compras Hombre Mujer Total De Q. 0.01 a Q. 100.00 160 100 260 De Q. 100.01 a Q. 500.00 120 145 265 De Q. 500.01 a Q. 5000.00 35 12 47 315 257 572 Si se selecciona una compra se quiere saber la siguiente probabilidad: Que sea de mujer y de Q. 0.01 a Q. 100.00 A: compra de mujer B: compra de Q. 0.01 a Q. 100.00 b) Que sea de Q. 100.01 a Q. 500.00 c) Que sea de hombre

Continuación PROBLEMA 2 Compras Hombre Mujer Total De Q. 0.01 a Q. 100.00 160 100 260 De Q. 100.01 a Q. 500.00 120 145 265 De Q. 500.01 a Q. 5000.00 35 12 47 315 257 572 d) Que sea de mujer ó de Q. 500.01 a Q. 5000.00 A : compra de mujer B: compra de Q. 500.01 a Q. 5000.00 P(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) e) Que sea de hombre ó de Q. 100.01 a Q. 500.00 A: compra de hombre B: compra de Q. 100.01 a Q. 500.00

Se tiene la siguiente información PROBLEMA 3 Se tiene la siguiente información Cliente Documentos A 5 B 7 C 4   16 Hallar las siguientes probabilidades: Sacando documentos sin reemplazo (dependientes) La probabilidad de sacar un documento que sea del cliente A b) La probabilidad conjunta de sacar 3 documentos que sean del cliente B A: documento de cliente B en 1ª. Extracción B: documento de cliente B en 2ª. Extracción C: documento de cliente B en 3ª. Extracción P(A y B y C) = P(A) * P(B/A) * P(C/AB)

CONTINUACIÓN …PROBLEMA 3 Cliente Documentos A 5 B 7 C 4   16 c) La probabilidad de sacar 3 documentos en el orden siguiente: cliente A, B y C A: documento de cliente A en 1ª. Extracción B: documento de cliente B en 2ª. Extracción C: documento de cliente C en 3ª. Extracción P(A y B y C) = P(A) * P(B/A) * P(C/AB) d) Se sacan 3 documentos. La probabilidad de que el tercer documento sea del cliente B, si los dos primeros también lo fueron A: documento de cliente B en 1ª. Extracción A y B ya se dieron, queda de incógnita el tercer evento C: documento de cliente B en 3ª. Extracción P(C/AB)=

PROBLEMA No. 4: En una caja fuerte de una firma de contabilidad, se tienen 16 comprobantes de depósitos monetarios, de los cuales 5 corresponden al Almacén Cielito Lindo, 7 al Almacén Buen Hogar y el resto al Almacén La Estrella. 1 - Si se extraen 3 comprobantes sin reemplazo, (no se devuelven) hallar las siguientes probabilidades: a) Que el tercero sea del Almacén Buen Hogar, si los dos primeros también lo fueron b) Que los tres sean del Almacén Buen Hogar c) Que sea uno de cada almacén 2 - Se extrae un comprobante y luego se reemplaza, otra extracción se realiza después del reemplazo, hallar la probabilidad: Que ambas extracciones sean del Almacén La Estrella.

Que el tercero sea del Almacén Buen Hogar, si los dos primeros también lo fueron. b) Que los tres sean del Almacén Buen Hogar c) Que sea uno de cada almacén 2-Se extrae un comprobante y luego se reemplaza, otra extracción se realiza después del reemplazo, hallar la probabilidad: Que ambas extracciones sean del Almacén La Estrella.

Se pide calcular las siguientes probabilidades: PROBLEMA No. 5 Una empresa tiene inversiones en títulos privados, estos están clasificados de acuerdo al plazo de vencimiento y casa de bolsa de valores, la información es la siguiente: Plazos (meses) Global Corporación Bursátil Capital e Inversiones 1 a 3 14 27 7 4 a 6 35 15 5 7 a 12 30 10 22 13-15 20 8 12 Se pide calcular las siguientes probabilidades: a) Seleccionar un título de Capital e Inversiones b) Seleccionar un título con vencimiento de 4 a 6 meses c) Seleccionar un título con vencimiento de 1 a 3, o de 7 a 12 meses d) Seleccionar un título con vencimiento de 16 meses e) Seleccionar un título de Corporación Bursátil con vencimiento de 4 a 6 meses.

A) Seleccionar un título de Capital e Inversiones B) Seleccionar un título con vencimiento de 4 a 6 meses C) Seleccionar un título con vencimiento de 1 a 3, o de 7 a 12 meses D) Seleccionar un título con vencimiento de 16 meses E) Seleccionar un título de Corporación Bursátil con vencimiento de 4 a 6 meses.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Definición: La Distribución de probabilidades es un listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse si el experimento se llevara a cabo. Tipos de Distribuciones: Discretas y Continuas. Las Discretas tienen un número limitado de valores, mientras que en las Continuas la variable que se está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Definición: Es una distribución discreta de probabilidades, conocida también con el nombre de Distribución de Bernoulli, en honor al matemático Jacobo Bernoulli que fue quien la derivó. Surge de manera natural cuando los eventos dependen de una probabilidad fija de presentarse “p”, y cuando el número de pruebas es limitado. Nos provee de un modelo adecuado para muchas distribuciones estadísticas que suceden en la naturaleza, la economía, las finanzas, pruebas psicológicas y educativas, etc. La distribución de probabilidad binomial se basa en el desarrollo del binomio, así: n n (a + b) = (p + q) dónde: p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso n = número de ensayos

Características del Binomio: El número de elementos del desarrollo del binomio es n+1 En el primer término “p” aparece con un exponente igual al exponente del binomio y luego disminuye de uno en uno. En el segundo término el exponente de “q” es uno y luego aumenta de uno en uno hasta tener un exponente igual al del binomio. Los coeficientes de los términos son simétricos. La suma de los exponentes de cada término es siempre igual a n.

Aplicación de la Distribución Binomial: Cuando los resultados obtenidos pueden clasificarse en 2 categorías (dicotomía). Ejes. Cursos aprobados y reprobados, artículos defectuosos y en buen estado, trabajadores eficientes y deficientes, máquinas productivas e improductivas. Cada intento tiene solamente 2 resultados posibles (éxito o fracaso) La probabilidad del resultado de cualquier intento permanece fijo con respecto al tiempo. Los eventos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un evento no altera a otro. Cuando la probabilidad de fracaso (q) es igual a 1-p y p+q es igual a uno.

Desarrollo del Binomio

Ejemplo

Continuacion del ejercicio b) Obtener menos de 2 artículos con error P(x < 2) = P(0) + P(1) P(x < 2) = 0.046656 + 0.186624 = 0.23328 Al menos 5 artículos con error. P(x ≥ 5) = P(5) + P(6) P(x ≥ 5) = 0.036864 + 0.004096 = 0.04096 d) Obtener mas de uno pero no mas de cuatro artículos con error P(1<x ≤ 4 ) = P(2) + P(3) + P(4) P(1<x ≤ 4 ) = 0.31104 + 0.27648 + 0.13824 P(1<x ≤ 4 ) = 0.72576

ESTADIGRAFOS DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES BINOMIAL: PROMEDIO ARITMETICO: X = n.p VARIANZA: S2 = n.p.q DESVIACIÓN ESTANDAR: S = n.p.q COEFICIENTE DE VARIACIÓN: C.V. = S x 100 X COEFICIENTE DE SESGO: b1 = q – p S COEFICIENTE DE KURTOSIS: b3 = 3 + 1 – 6pq S2

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DISTRIBUCION NORMAL Lic. Oscar Noé López Cordón

SE CONOCE TAMBIEN CON EL NOMBRE DE: DISTRIBUCION DE GAUSS Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras. Casi se ajusta a las distribuciones reales de frecuencias observada en muchos fenómenos. Ocupa un lugar importante tanto en la estadística teórica como en la estadística aplicada por varias razones:

Puede coincidir muy de cerca con las distribuciones de frecuencias observadas y de muchas mediciones naturales y físicas. Se puede utilizar para aproximar probabilidades binomiales cuando "n" es muy grande. Lo que la hace más importante es que las distribuciones de medias muestrales y proporciones de grandes muestras tienden a distribuirse normalmente por lo que tiene importantes repercusiones en el muestreo.

CARACTERÍSTICAS La curva normal es simétrica por lo tanto el coeficiente de sesgo es igual a cero. (b1=0) Muestra pocos valores en los extremos. El promedio, la mediana y la moda tienen el mismo valor, tiene un solo pico y es unimodal. Los puntos de inflexión están a X+S y X-S (Media, mas, menos desviación estándar). La curva normal es "asíntota" al eje de las abcisas (eje de x). Significa que sus extremos nunca tocan eje de las equis (x)

6. La sumatoria del área bajo la curva normal es igual a uno o al 100% 6. La sumatoria del área bajo la curva normal es igual a uno o al 100%. 7. El coeficiente de Kurtosis es igual a tres. (b2=3) 8. El valor típico de "Z" es positivo cuando corresponde a un valor mayor que la media y negativo cuando corresponde a un valor menor. 9. El valor "Z" para equis(x) igual a la media siempre será igual a cero (O).

10.La media aritmética mas y menos: Una desviación estándar cubre un 68.26% de los casos (X+,-S=68.26%). Dos desviaciones estándar cubre el 95.46% de los casos (X+-2S=95.46%). Tres desviaciones estándar cubre el 99.72% de los casos. (X+-3S=99.72%). 11.) La media aritmética mas o menos una desviación media cubre el 58% de los datos (X+-DM= 58%) .

AREAS BAJO LA CURVA NORMAL -MANEJO DE LA TABLA DE AREAS- La tabla proporciona valores acumulativos a la derecha de la media de la población. Está diseñada en función de la variable "Z" o variable estandarizada ("Z"= desviaciones respecto a la media). Z = x - X S Donde: x = un valor cualquiera. X = media de la población S = desviación estándar. Las columnas muestran el centésimo de "Z".

Aplicación Datos: X = 150.00 S = 16 (Raíz cuadrada de 256) N = 600 El promedio aritmético de los ingresos de 600 empresas es de Q150.00 (miles de Q.) su varianza es de Q 256.00 (Miles de Q.) y un intervalo constante de Q 4.50. Datos: X = 150.00 S = 16 (Raíz cuadrada de 256) N = 600 Si se sabe que las ventas se "distribuyen normalmente" se pide calcular lo siguiente:

Caso 1 Calcular la probabilidad que un almacén tenga ingresos entre Q 150 y Q 160 miles. Además indique qué cantidad de empresas representa. Datos X = 150 No aplicar limite real (origen) x = 160.5 s = 16 z= ? Z=160.5-150 Z = 0.66 Tabla Áreas = 0.2454 16 = 24.54% La probabilidad que las empresas tengan ventas entre Q 150 y Q 160 miles, es de 24.54% Los 600 almacenes por 24.54% es igual a 147 almacenes. (cantidad de almacenes)

Gráfica Caso 1 X = 150 X = 160 24.54%

Caso 2 Calcular la probabilidad de que una empresa tenga ingresos entre Q 135 y Q 150 miles. Z= x-X = 134.5 -150= Z = -0.96875 = -0.97 S 16 Luego buscar área 0.97 en Tabla Áreas = 0.3340 Z = 33.40% R/ La probabilidad que un almacén tenga ingresos entre Q135.00 y Q150.00 miles es de Z= 33.40%

Gráfica Caso 2 150 134.5 33.40%

Caso 3 16 b) Datos Z=165.50-150 = 0.96875 = 0.97 Tabla áreas = 0.3340 Cual es la probabilidad de que una empresa tenga ingresos entre Q121.00 y Q165.00 miles a)Datos X=150 X=120.50 S=16 Z=? Z=120.50-150 = 1.84 Tabla Áreas = 0.4671 16 b) Datos X=150 X=165.5 S=16 Z=? Z=165.50-150 = 0.96875 = 0.97 Tabla áreas = 0.3340 16 Luego sumamos ambas respuestas. 0.4671 + 0.3340 0.8011 = 80.11% La probabilidad de que un almacén tenga ventas entre 121.00 y 165.00 es de 80.11%

Gráfica Caso 3

Caso 4 Calcular la probabilidad de que una empresa venda mas de Q.135.00 miles Datos: x = 135.50 X = 150.00 S = 16 Z = ? Z = 135.5 – 150 = -0.91 16 El dato obtenido al ser negativo lo único que nos dice es que la variable dada al principio se encuentra por debajo de la media, dicho dato debe ser buscado en la Tabla II = 0.3186. En este caso se debe tomar en cuenta la otra mitad de la curva de la siguiente manera. 0.5000 (+) 0.3186 = 0.8186 * 100 = 81.86% Respuesta: La probabilidad de que un almacén venda mas de Q.135.00 es de 81.86%

Gráfica Caso 4 31.86% 50.00% Z= 81.86 %

Caso 5 DATOS: FÓRMULA: x = 169.5 Z = x – X X = 150 S S = 16 Calcular la probabilidad de que una empresa tenga ingresos menores a Q170.00 miles, si la media aritmética es Q150.00 y la desviación estándar es de Q16.00 (cifras en miles). DATOS: x = 169.5 X = 150 S = 16 FÓRMULA: Z = x – X S SUSTITUYENDO. Z = 169.5 – 150 = 16 Z = 1.22 buscando en Tabla Áreas = 0.3888 Z=38.38% 0.3888+ 0.5000 0.8888 88.88%

Gráfica Caso 5 X=150 X= 170 50.00% 38.88% 88.88%

Caso 6 Cual es la probabilidad de que una empresa tenga ingresos inferiores de Q120.00 miles. Datos _ X = 150 X = 119.50 S = 16 Z = ? Z = 119.5 – 150 = 1.91 Tabla áreas Área = 0.4719 16 0.5000 - 0.4719 = 0.0281 = 2.81%

Gráfica Caso 6 150 120 2. 81%

Caso 7 Cual es la probabilidad que una empresa tenga ingresos mayores a Q 170 miles? Datos X = 170.5 X = 150 S = 16 Z = ? FÓRMULA Z= x – X S Z= 170.5 – 150 = Z = 1.28125 = 1.28 Tabla Áreas = 0.3997 16 0.5000 0.3997 (-) 0.1003 La Probabilidad de tener ingresos mayores a Q 170 miles es de 10.03%

Gráfica Caso 7 X=150 X= 170 10.03%

Caso 8 Cual es la probabilidad que una empresa tenga ingresos entre Q 120 y Q 135 miles ? Datos X = 120 X = 150 S = 16 Z = ? Fórmula Z = X - X S A) Z = 119.5 – 150 = Z = - 1 . 91 Tabla Áreas = 0 . 4719 16 B) Z = 135.5 – 150= Z = - 0 . 91 Tabla Áreas = 0 . 3186 (-) R// Área1 – Área 2 = 0 . 1533 La probabilidad de tener ingresos entre Q 120 y Q 135 es de 15.33%

Gráfica Caso 8 150 135 120 15.33% 31.86% 47.19% Li Ls

Caso 9 Calcular la probabilidad que un almacén tenga ingresos entre Q163 y Q170 miles. A. Datos FÓRMULA Z=? Z= x – X X=162.5 S X= 150 S= 16  Z= 162.5 – 150 = 0.7812 buscar en Tabla Áreas = 0.2823 = 28.23% 16 B. Datos FÓRMULA x= 170.5 Z= x – X Z= ? S S=16 Z= 170.5 – 150 = 1.28 Buscar en Tabla Áreas = 0.3997 = 39.97%   Por diferencia Área de Q163 = 0.2823 Área de Q170 = 0.3997 0.1174 = 11.74% Almacenes 600 * 0.1174 = 70.44 Por Defecto = 70 Almacenes

Gráfica Caso No. 9 11.74% 28.23% 39.97%

ENCONTRAR VALORES Con la información del problema anterior, encuentre el valor de los ingresos arriba de las cuales se encuentran el 40% de las empresas. Datos: x = ? S = 16 X = 150 De la formula original: z = x -X Se obtiene la siguiente : x = ZS + X S Buscar Tabla Áreas un valor aproximado al 10% = 0.0987= 0.10= Z= 0.25   b) Aplicar fórmula: x = 0.25 (16) +150 = x = 154 R/

Encontrar los ingresos que limitan el 60% central de los casos. x = ZS + X x = -0.84 (16) + 150 x = 136.56   x = 0.84 (16) + 150 x = 163.44 R/ El 60% central de las ingresos estarán comprendidos entre Q 136.56 y Q163.44

ORDENADAS BAJO LA CURVA NORMAL La altura de la ordenada que corresponde al valor de equis (x) igual a la media le corresponde la ordenada máxima o la ordenada en el origen.   Fórmula: Yx = N C  S(2.50)

DONDE : Y (x) = Altura de cualquier punto N = Número de elementos C = Intervalos y distancia entre ordenadas 2.5 = Constante YO = Ordenadas máximas u ordenada en el origen NOTA: PARA CALCULAR ORDENADAS UTILIZAMOS LA TABLA I

APLICACIÓN ORDENADA MÁXIMA Determinar el número de empresas con ingresos de Q 170.00 miles Z=x - X= 170-150 = 1.25 ver Tabla I = 0.45783 S 16 Y = 600 X 4.50 = 2700 = 67.5 = 68 empresas 16(2.5) 40 68 x 0.45783 = 31 empresas

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN