Curso básico de física computacional B.Ph. van Milligen II. Análisis de Datos En este apartado del curso trataremos métodos de análisis de señales experimentales provenientes de un experimento de fusión. Considerar que las aplicaciones de estos métodos son muy generales y que son relevantes en muchas situaciones experimentales y de computación. Los datos sujetos del análisis no sólo provienen de experimentos, sino también, en su caso, de modelos de ordenador (por ejemplo, de turbulencia) que producen grandes cantidades de datos que deben ser sometidos a tratamientos estadísticos que nos permiten comprenderlos.

Tipos de datos Centrándonos en datos experimentales: ¿qué tipos de datos produce un experimento de fusión? Datos espaciales Cero-dimensional (punto) Uni-dimensional (línea / cuerda) Bi-dimensional (plano / superficie) Etc. (en fusión, hasta la fecha no hay datos tri-dimensionales) Datos temporales Un canal Múltiples canales (correspondiendo, por ejemplo, a varias posiciones) Datos espacio-temporales Combinaciones de los dos tipos de arriba

Datos espaciales: ejemplo Ejemplo de una línea de datos (en un único instante temporal): Thomson Scattering.

Datos espacio-temporales: ejemplo Ejemplo de múltiples canales de datos (en una serie de instantes temporales): Tomografía de Rayos X. Las líneas de visión cruzadas permiten reconstruir, con cierta aproximación, la emisión local de rayos X en el plasma en un plano (mediante un proceso numérico conocido como “inversión de Abel”): cada línea proporciona información sobre la integral de la emisión a lo largo de la línea. (Ver curso “Diagnósticos de plasmas”)

Datos temporales: ejemplos Sin embargo, el tipo de datos más común es la serie temporal: Campo magnético en un punto (Mirnov coils) Corriente en ciertas bobinas Integral de la densidad (densidad de línea, interferometría) Potencial flotante de una sonda de Langmuir Etc. Nos concentraremos en este tipo de datos, por ser el más común Flujo de partículas calculado a partir de señales medidas con una sonda de Langmuir

Datos temporales: análisis A la derecha, una ampliación de la señal anterior. Hay una doble discretización (tiempo y valor) Ambas tienen consecuencias para los cálculos posteriores basados en estos datos. El registro de señales contínuas es posible pero no se abordará aquí por ser poco común; en todo caso para poder tratar señales contínuas por medio de cálculos de ordenador se requiere su digitalización. La discretización se puede tomar en cuenta considerando que las medidas tienen (al menos) un error Dt en tiempo y un error Dy en valor. Las consecuencias de estos “errores” se pueden estimar cuando la estadística es Gaussiana (normal), pero es muy difícil cuando la estadística no es Guassiana (por ej., fractal).

Análisis básico: distribución de probabilidad La función de distribución se obtiene dividiendo el rango de valores [ymin,ymax] en un número N de intervalos y contando cuántos elementos hay en cada intervalo. 100 200 300 400 500 600 700 Counts Se pierde toda información sobre la correlación temporal.

Análisis básico: distribución de probabilidad La función de distribución de probabilidad (PDF) es la función de distribución (de los valores) dividida entre el número total de valores. Para una señal y(t), la probabilidad de que el valor y(t) esté entre y y y+dy está dado por: p(y) dy, donde p(y) es la función de probabilidad. p(y) está normalizado tal que su integral es 1. Ejemplo: y(t) = y0 sin (wt)  p(y) = 1/[p√(y02 – y2)] Muchos procesos físicos tienen un ingrediente “aleatorio”. Consideramos que un proceso es verdaderamente aleatorio cuando no hay correlación alguna entre un valor y(t) y el siguiente y(t+D) (se discutirá más adelante). El proceso “no tiene memoria”. Un ejemplo de un proceso así es el “random walk” (tomar un paso hacia adelante o hacia atrás según lo decide una moneda echada), o la moción Browniana. Para estos procesos, la distribución de probabilidad es una Gaussiana o “normal”:

Momentos de la función de distribución de probabilidad Los momentos de la función de probabilidad contienen mucha información: El momento n es: Es también el “expectation value” (valor más probable) de yn Momento 1: el promedio Momento 2: define la desviación estándar mediante Momento 3: el “skewness” Momento 4: la “kurtosis”

Momentos: utilidad Los momentos permiten distinguir entre variables con una distribución Gaussiana (aleatorias) y otras. Si la distribución p(y) es la función de Gauss, entonces: S = 0 y K = 3. Esto es un primer paso para la identificación de una señal como Gaussiana. Sin embargo, ni la función de probabilidad misma ni todos sus momentos pueden por sí solos identificar una señal como Gaussiana; para ello, es necesario considerar correlaciones temporales. (Hay que establecer que están ausentes.) Esto se discutirá más adelante. Por contra, si la función de probabilidad no es una función de Gauss (y sus momentos difieren significativamente del valor para una Gaussiana), entonces la señal no es Gaussiana.

Momentos estadísticos En la práctica, a menudo una señal es casi Gaussiana; y es difícil establecer su no-Gaussianidad porque la desviación de la curva de Gauss se produce en las colas de la distribución, donde la estadística es mala (pocos datos). A la derecha, un ejemplo muy claro.

PDF bi-dimensional Lo anterior es fácilmente generalizable a 2 (o más) dimensiones Para señales x(t) e y(t), la probabilidad de que el valor x(t) está entre x y x+dx Y el valor y(t) está entre y y y+dy está dado por: p(x,y) dx dy, donde p(x,y) es la función de probabilidad bidimensional. La probabilidad unidimensional sigue de la bidimensional: (=la probabilidad de obtener un y, no importa cual sea el valor de x) Si x e y son independientes, entonces p(x,y) = p(x)p(y) Esto proporciona un interesante método para determinar la independencia estadística de 2 variables. Se pospone la discusión para más adelante.

Probabilidad condicional En el caso de tener 2 señales xe y, uno puede preguntarse cual es la probabilidad de obtener x cuando y tenga un valor dado (y = y0). Esta es la probabilidad condicional p(x|y0). La probabilidad condicional p(x|y0) es igual a la probabilidad p(x,y0), normalizada por la probabilidad de obtener y0 (porque ponemos como condición que y= y0). p(x|y0) = p(x,y0)/p(y0)

Correlación temporal Para establecer la naturaleza aleatoria si/no de una señal, no basta con la PDF y es necesario estudiar su correlación temporal. Básicamente, existe correlación cuando se puede predecir de algún modo (mediante modelos) cuál va a ser el comportamiento futuro de una señal, conociendo su comportamiento pasado. Este es un tema que nos ocupará durante gran parte del curso debido a su complejidad y a su importancia para entender la relación entre los modelos de sistemas físicos y medidas, especialmente cuando el sistema es complejo (no-lineal y/o caótico). Si se puede predecir algo (aún si es con error o sólo en sentido estadístico) del comportamiento futuro de una señal, es indicativo que se ha avananzado en el entendimiento del sistema que se está estudiando.

Correlación lineal La función de correlación lineal es la herramienta más sencilla para obtener información del comportamiento temporal. Definición: Las s aparecen para normalizar C tal que su valor está en el rango [-1,1]. De esta correlación cruzada se obtiene la auto-correlación poniendo x = y.

Correlación cruzada Estructura típica de Rxy(t) Envolvente decae exponencialmente y da el Tiempo de correlación (cuando cae a 1/e) Máximo igual a Mínimo igual a Valor para t   : Posición del máximo da la desfase Dt (=0 para la autocorrelación) Dt A menudo conviene “simetrizar” la autocorrelación restando el promedio de las señales x(t) e y(t) antes de analizarlas.

Autocorrelación lineal: ejemplo (seno) Seno puro Autocorrelación del seno Seno + ruido blanco (misma amplitud) Autocorrelación Caída rápida del ruido Identifica- ción perfecta del seno

Autocorrelación lineal Como pudimos observar en el ejemplo anterior, la correlación lineal sirve para detectar procesos periódicos en el tiempo, al eliminar todo lo que no sea periódico en la integral. Contiene la misma información que el espectro (ver más delante), pero tiene mejor resolución para las frecuencias bajas. Para señales no-periódicas, la correlación lineal sólo proporciona una información interesante: el tiempo de decorrelación (y el desfase en el caso de la correlación cruzada). Típica señal de turbulencia