Dinámica Cristalina Cadena linealcon un tipo de átomo Ondas acústicas Vibraciones reticulares en cristales Cadena linealcon un tipo de átomo Cadena Lineal con dos tipos de átomos Vibraciones reticulares en cristales 3D Fonones Calor específico en sólidos Efectos anarmónicos Conductividad térmica por fonones

La dinámica cristalina Estudia las características de la vibraciones en un sólido cristalino Esta relacionado con: Condiciones de propagación de ondas en una red periódica La energía térmica El calor específico La cuantización de la vibraciones en un sólido ( Fonones) El efecto e del acople armónico entre los átomos Efectos de anarmonicidad entre el acople atómico Propagación del calor en un sólido cristalino. www.ph.utexas.edu/~shvetsgr/lens.html

La dinámica cristalina Hemos asumido que los átomos en un sólido están en reposo , pero realmente los átomos vibran alrededor de su posición de equilibrio, aun a 0 K ( energía de punto cero). La amplitud del movimiento aumenta a medida que los átomos ganan energía térmica a mas altas temperaturas. La dinámica cristalina se usa frecuentemente la aproximación armónica, que implica que la amplitud de la vibración es pequeña con respecto a la distancia interatómica. En esta aproximación la fuerza se requiere para determinar la funciones de onda y la energías de los electrones en el cristal. Muchas propiedades pueden ser deducidas sin necesidad de un cálculo mecanocuántico A altas temperaturas aparecen efectos anarmónicos .

Ley de Hooke Una de las propiedades de la elasticidad es que se requiere el doble de fuerza para estirar un resorte el doble. Esta dependencia linear del desplazamiento con la fuerza deformadora se conoce como la ley de Hooke. Spring constant k It takes twice as much force to stretch a spring twice as far.

Ondas Acústicas Ondas longitudinales Ondas trasversales Las ondas acústicas corresponden a vibraciones atómicas con λ Largas. La naturaleza atómica no importa en este límite, λ>>a, el medio es no dispersivo. La ondas mecánicas son perturbaciones que se propagan a través del material ( Sólido ,líquido o gas) a una velocidad que depende de las propiedades elásticas e inerciales del medio. Ondas longitudinales Ondas trasversales

Ondas Elásticas A pesar de que un sólido esta compuesto de átomos discretos para ondas con longitudes de onda larga la naturaleza atómica puede no ser considerada y tratar el sólido como si fuese un medio continuo en tal caso las perturbaciones se consideran como ondas elásticas Propagación de ondas elásticas longitudinales en una barra U(x) es el desplazamiento elástico en el punto x la deformación ‘e’ es definida como el cambio de longitud por unidad de longitud. x x+dx A

Ondas Elásticas Y = Módulo de Young De acuerdo con la ley de Hooke, la tensión S ( Fuerza por unidad de área) es proporcional al desplazamiento ‘e’ Para un segmento arbitrario la ley de movimiento de Newton puede ser escrita como: x x+dx A Y = Módulo de Young Masa x Aceleración Fuerza neta resultante de la tensión

Ondas Elásticas Ecuación de onda cuya solución conduce a ondas sonoras de velocidad vs q = Número de Onda (2π/λ) ω = Frecuencia A = Amplitud

Relación de dispersión (q) Para ondas elásticas Velocidad depende de la dirección, ondas trasversals viajan a velocidades menores Y = Modulo elástico de Bulk ρ = Densidad de masa q→ 0 a longitudes de onda λ grandes sistema NO DISPERSIVO (no scattering) q → ∞ a pequeños λ medio dispersivo (aparece scattering ) Cuando k aumenta la velocidad decrece, si q continua aumentando la dispersión se hace importante y el sistema es altamente dispersivo q ω Continuo discreto

Velocidad del sonido para sólidos típicos Tipo de estructura Distancia a primeros vecinos (A°) Densidad ρ (kg/m3) Modulo elástico de bulk Y (1010 N/m2) Velocidad de la onda calculada (m/s) Velocidad del sonido medido Sodio B.C.C 3.71 970 0.52 2320 2250 Cobre F.C.C 2.55 8966 13.4 3880 3830 Aluminio 2.86 2700 7.35 5200 5110 Plomo 3.49 11340 4.34 1960 1320 Silicio Diamante 2.35 2330 10.1 6600 9150 Germanio 2.44 5360 7.9 5400 NaCl Rocksalt 2.82 2170 2.5 3400 4730 VL los valores son comparables con las observaciones directas de la velocidad del sonido. La velocidad del sonido es del orden de 5000 m/s en sólidos metálicos, covalentes y ionicos.

Vibraciones Reticulares Una onda vibracional en una red cristalina es una secuencia repetitiva de desplazamientos atómicos, longitudinales, trasversales o una combinación de ambos. La ecuación de movimiento para cualquier desplazamiento. puede deducirse de las fuerzas restauradoras sobre los átomos producidas por los potenciales moleculares . [ F=-V(r) ] Se puede obtener una relación de dispersión (q) que describe el comportamiento mecánico del sistema . .

Vibraciones reticulares de una red 1D con átomos idénticos Los átomos interactúan vía un potencial V(r) que puede ser desarrollado en un serie de Taylor. r R V(R) r0=4 Repulsivo Atractivo min Esta ecuación es similar a la energía potencial de un resorte de constante : Se puede relacionar K con el módulo elástico de Young Y

Cadena Lineal Monoatómica El modelo más simple de cristal es una cadena uni-dimensional de átomos idénticos. La cadena consiste de un número muy grande de átomos idénticos con idénticas masas. Los átomos están separados por una distancia “a”. Los átomos se mueven solo en la dirección paralela a la cadena 1D Solo se considera interacción con los próximos vecinos (short-range forces). a a a a a a Un-2 Un-1 Un Un+1 Un+2

Fuerza total = Fuerza a la derecha – Fuerza a la izquierda Cadena Lineal Monoatómica El caso más simple de la cadena lineal es considerar solamente interacciones a próximos vecinos Expandiendo la energía cerca al punto de equilibrio del enésimo átomo y usando la aproximación elástica ( ley de Hooke) la ecuación de Newton a a Un-1 Un Un+1 Fuerza a la derecha Fuerza a la izquierda Fuerza total = Fuerza a la derecha – Fuerza a la izquierda

Posición de equilibrio Cadena Lineal Monoatómica Todos los átomos oscilan con la misma amplitud A y frecuencia ω. Asi una solución posible sería: Posición de equilibrio Posición instantánea

Ecuación de movimiento para el enesimo átomo Cancelando términos comunes

Valor máximo 1 cuando q=π/a Relación de dispersión (q) Valor máximo 1 cuando q=π/a

Análisis de la relación de dispersión (q) Obsérvese la periodicidad: y Adicionando un múltiplo de of 2π/a a q no produce cambio en la frecuencia o en su velocidad de grupo, así para puntos fuera de la 1ZB no tienen significado físico Las soluciones planteadas corresponden a osciladores desacoplados cada uno llamado un modo normal. Cada q define un  oscilando independientemente uno del otro. Hay N modos de vibración en la primera zona de Brillouin L=Na ( Numero de átomos en la cadena) q 1ZB

Análisis de la relación de dispersión (q) Para longitudes de onda grande, es decir, q próximo a cero, la relación de dispersión Modelo atómico continuo Se reduce a : Aproximación continua La medida de la velocidad del sonido nos permite determinar las fuerzas interatómicas y las constantes elásticas

Análisis de la relación de dispersión (q) Para longitudes de onda grandes Para valores de q en la frontera de zona de Brillouin: q=±π/a θ=90o tiene un significado especial: Reflexiones de Bragg se obtienen a q= ±nπ/a Las ondas elásticas en la frontera de zona de Brillouin experimentan difracción de Bragg

Modos de vibración en una cadena monoatómica L No todos los modos son posibles debido a el átomo N debe ser el mismo que el (N+n) cuando la cadena se cierra sobre si misma Se requiere que haya un número entero de longitudes de onda en el en el anillo Así en la 1ZB en el rango 2π/a de q, hay N valores permitidos de q .

Cadena lineal 1D con dos tipos de átomos Dos tipos diferentes de átomos estan conectados por resortes identicos de constante K (n-2) (n-1) (n) (n+1) (n+2) K K K K M a) M M m m a b) Un-1 Un Un+1 Un+2 Un-2 Este es el modelo más simple para un cristal iónico: la distancia entre próximos vecinos es a/2 y la constante de red a. Dos ecuaciones de movimiento: una para el átomo de masa M y otra para el átomo de masa m

Cadena diatómica Equación de movimiento para la masa M (n): Un-1 Un Un+1 Un+2 Un-2 Equación de movimiento para la masa M (n): Equación de movimiento para la masa m (n-1): -1 -1

Cadena diatómica Solución para la masa M Para la masa m Un-1 Un Un+1 Un+2 Un-2 Solución para la masa M Para la masa m -1 α : número complejo que determina la amplitud relativa y la fase de la onda de vibración.

Cadena diatómica Para el átomo M (n): Cancelando términos

Cadena diatómica Para el átomo m (n-1) Cancelando términos comunes

Cadena diatómica Ecuación Para M Ecuación para m Un par de ecuaciones para α y ω como función de q. α esta dada por Una ecuación cuadrática para ω2 an se puede obtener de la siguiente manera.

Análisis de la relación de dispersión (q) En la región de longitudes de onda larga (qa«1); sin(qa/2)≈ qa/2 Usando la expansión de Taylor para x pequeños

Valor Mínimo para la rama acústica Análisis de la relación de dispersión (q) Con sinqa«1 Valor máximo para la rama optica Valor Mínimo para la rama acústica Sustitutyendo los valores de ω en α (amplitud relativa) y usando la aprox. cos(qa/2) ≈1 for qa«1 se encuentra para α ???????????????????????????

Corresponde al signo + en 2(q) Corresponde al signo - en 2(q) Ramas acústica y Optica en (q) Hay dos valores de ω para cada valor de q la relación de dispersión tiene dos ramas ; л / a 2 –л q w Rama Optica Corresponde al signo + en 2(q) Rama Acústica Corresponde al signo - en 2(q) La relación de dispersión es periódica en q con periodo 2 π /a = 2 π /(Longitud celda unidad). Los resultados son válidos para una cadena que contiene un número arbitrario de átomos por celda unitaria.

Análisis de la relación de dispersión (q) Substitute into relative amplitude α Esta solicion representa ondas sonoras de longitud de onda larga en el cento de la 1ZB (q=0) los dos tipos de átomos oscilan con al misma amplitud y fase con una velocidad del sonodo dada por. T q w Rama Optica Rama Acústica π / a 2 –π 1Zona de Brillouin W-min-ac (altında) pi-ler comple değiştir Representación esquemática de (q)

Análisis de la relación de dispersión (q) Substitute into relative amplitude we obtain, q w Rama Optica Rama Acústica π / a 2 –π 1Zona de Brillouin Esta solución corresponde al máximo en la rama óptica, el valor α de muestra que los dos átomos oscilan in antifase con el centro de masa en reposo W max-altına op yaz

Análisis de la relación de dispersión (q) El otro limite para la solución de ω(q) es para kq/a = π en el límite de la 1ZB donde sen(qa/2)=1. 2/a Rama Acústica M oscila y m esta en reposo Max ac w kare şeklinde yazz Rama Optica m oscila M esta en reposo.

Ramas acústica y Optica en (q) Para q = 0 en el centro de la 1ZB rama Acústica 2/a Modo trasversal acústico en una cadena diatómica Rama Optica rama óptica Los dos átomos oscilan en antifase fase Rama Acústica

Modo transversal óptico en una cadena diatómica Si los iones tienen carga opuestas, se puede excitar una vibración de este tipo con campos eléctricos (por ejemplo una onda electromagnética). Amplitud de la vibracion exagerada

Ramas acústica y Optica en (q) Si hay p átomos en la celda primitiva, habrán 3p ramas 3 ramas acústicas y 3 ramas ópticas p=2 +: rama óptica p-1 longitudinales 1 2(p-1) transversales 2 longitudinales p-1 óptica 1 acústica -: rama acústica 1 longitudinales 1 2 transversales 2 transversal 2(p-1) ópticas 2 acústicas

Dispersión de Neutrones El método típico para medir las curvas de dispersión (q)

GaN http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/GaN/figs/siegle971.gif

Dispersiones de fonones en molibdeno a altas presiones www.esrf.eu/news/spotlight/spotlight36phonon/