V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 1/24 Capítulo 5: Coloración Introducción. Coloración de vértices. Coloración de aristas

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 2/24 Introducción En un laboratorio hay una serie de compuestos químicos {A,B,C,D,E,F,G,H} que hay que almacenar en cajas para su traslado. No pueden ser almacenados en una misma caja dos compuestos que reaccionen entre sí (como ácidos y bases). Los productos que reaccionan vienen dados por la siguiente tabla. ¿Cómo podemos elegir los elementos que hemos de introducir en cada caja?, ¿cuántas cajas serán necesarias para poder trasladar los productos?, etc. ABCDEFGH BCBC ADEADE AEFAEF BEGBEG BCDGHBCDGH CHCH DEHDEH EFGEFG Grafo de incompatibilidades: Vértices representan elementos Aristas relacionan elementos incompatibles entre sí

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 3/24 Coloración de vértices c(u)=1, c(v)=2,... |c(V)|=k colores k-vértice-coloración Una vértice-coloración de un grafo efectua una partición del grafo en conjuntos independientes de vértices: V = V 1  V 2 ...V k V i = { v  V | c(v)=i } 4-vértice-coloración V = V 1  V 2  V 3  V 4 V 1 = { A,E } V 2 = { B,F } V 3 = { C,G } V 4 = { D,H } Dado un grafo G=(V,A), se llama vértice-coloración de G a toda función c: V N, que verifique c(u)  c(v) si {u,v}  A.

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 4/24 Coloración de vértices Dado un grafo G=(V,A), se llama número cromático de G (  (G) ) al menor número entero k, de forma que existe una vértice- coloración de G con k colores.  (G) = 3 El traslado de los compuestos químicos se puede llevar a cabo con tan sólo 3 cajas. 3-vértice-coloración 4-vértice-coloración

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 5/24 Coloración de vértices Propiedades del número cromático : Si G es un grafo con n vértices, 1   (G)  n Si G’ es un subgrafo de G,  (G’)   (G). Si G 1, G 2,..., G c son las componentes conexas del grafo G:  (G) = max {  (G 1 ),  (G 2 ),....,  (G c ) }.  (G) = 1 G es un grafo con n vértices aislados

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 6/24 Coloración de vértices ¿Cuáles serán los números cromáticos de los grafos K n y C n ?  (K n ) = n K2K2 1 2 K3K K4K K5K C8C C5C si n es par 3 si n es impar  (Cn) =

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 7/24 Coloración de vértices Calcular el número cromático de un grafo cualquiera es un “problema intratable”. Dado un número natural k y un grafo G, ¿es  (G)  k? (Problema NP-completo) ALGORITMO VORAZ DE COLORACIÓN DE VÉRTICES: Paso 1:Ordenar los vértices del grafo. Paso 2:Comenzando con el primer vértice, y de forma ordenada, asignar a cada vértice el primer color no asignado a sus vértices adyacentes anteriores. A B C D EF G H { A,B,C,D,E,F,G,H } ( 1 )( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 8/24 Coloración de vértices Calcular el número cromático de un grafo cualquiera es un “problema intratable”. Dado un número natural k y un grafo G, ¿es  (G)  k? (Problema NP-completo) ALGORITMO VORAZ DE COLORACIÓN DE VÉRTICES: Paso 1:Ordenar los vértices del grafo. Paso 2:Comenzando con el primer vértice, y de forma ordenada, asignar a cada vértice el primer color no asignado a sus vértices adyacentes anteriores. A B C D EF G H { G,H,E,D,B,A,C,F } ( 1 )( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) A B C D EF G H ( 2 ) ( 1 ) ( 3 )

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 9/24 Coloración de vértices Acotaciones del número cromático Teorema de Brooks: Sea G=(V,A) un grafo conexo con grado máximo  (  (v)  ,  v  V ), entonces: 1)  (K n ) = n = 1 + ,  (C 2n+1 )= 3 = 1 + . 2) En otro caso,  (G)  .

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 10/24 color 2 color 1 Coloración de vértices Acotaciones del número cromático Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito. C) G no admite ciclos de longitud impar. B)  (G) = 2. A B G es bipartito G = ( V 1  V 2, A)  (G)  2  (G) = 2 V1V1 V2V2

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 11/24 V2V2 V1V1 Coloración de vértices Acotaciones del número cromático Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito. C) G no admite ciclos de longitud impar. B)  (G) = 2. B A  (G) = 2 Existe una vértice-coloración c con dos colores G = ( V 1  V 2, A) es bipartito

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 12/24 Coloración de vértices Acotaciones del número cromático Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito. C) G no admite ciclos de longitud impar. B)  (G) = 2. B Sea G un grafo con  (G) = 2 Si G contiene un ciclo de longitud impar C 2i+1  G 3=  (C 2i+1 )   (G)  (G) > 2 G no puede contener ningún ciclo de longitud impar C

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 13/24 C B Sea G un grafo, que por simplificación podemos suponer conexo, sin ciclos de longitud impar Representación gráfica de G en niveles: Nivel 0: un vértice v 0 cualquiera Nivel 1: vértices v 11, v 12,...,v 1r adyacentes a v 0 Nivel 2: vértices v 21, v 22,...,v 2s adyacentes a los vértices del nivel 1, excepto v 0. v0v0 v 11 v 12 v 13 Nivel i: vértices v i1, v i2,... adyacentes a los vértices del nivel i-1 no incluidos en niveles anteriores v 21 v 22 v 23 v 24 v i1 v i2 v i3 v i4 v i5 Coloración de vértices Acotaciones del número cromático Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito. C) G no admite ciclos de longitud impar. B)  (G) = 2.

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 14/24 Vértices de niveles impares: color 2 Vértices de niveles pares: color 1 C B v0v0 v 11 v 12 v 13 v 21 v 22 v 23 v 24 v i1 v i2 v i3 v i4 v i5 2-vértice-coloración  (G) = 2 Coloración de vértices Acotaciones del número cromático Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito. C) G no admite ciclos de longitud impar. B)  (G) = 2. Sea G un grafo, que por simplificación podemos suponer conexo, sin ciclos de longitud impar Procediendo análogamente en cada componente conexa

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 15/24 Coloración de aristas c a (a)=1, c a (a’)=2,... |c a (A)|=k colores; k-arista-coloración 6-arista-coloración Se llama índice cromático de G (  1 (G) ) al menor número entero k, de forma que existe una arista-coloración de G con k colores.  1 (K 5 ) = 5 Dado un grafo G=(V,A), se llama arista-coloración de G a toda función c a : A N, que verifique c a (a)  c a (a’) si a,a’  A tiene algún vértice en común. Arista coloración de G equivale a vértice coloración de L(G)

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 16/24 Coloración de aristas ¿Cuáles serán los índices cromáticos de los grafos K n y C n ?  1 (K n ) = K2K2 1 K3K3 3 K4K4 1 K5K5 1 2 C8C8 C5C si n es par 3 si n es impar  1 (C n ) = n-1, si n es par n, si n es impar

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 17/24 Coloración de aristas ALGORITMO VORAZ DE COLORACIÓN DE ARISTAS: Paso 1: Paso 2: { a,b,c,d,e,f,g,h } a b d c e g f h ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 3) ( 4) ( 1 ) Ordenar las aristas del grafo. Comenzando con la primera arista, y de forma ordenada, asignar a cada arista el primer color no asignado a las aristas anteriores, incidentes con ella.

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 18/24 Coloración de aristas ALGORITMO VORAZ DE COLORACIÓN DE ARISTAS: Paso 1: Paso 2: { a,b,c,d,e,f,g,h } a b d c e g f h ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 1 ) Ordenar las aristas del grafo. Comenzando con la primera arista, y de forma ordenada, asignar a cada arista el primer color no asignado a las aristas anteriores, incidentes con ella.

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 19/24 Coloración de aristas Acotaciones del índice cromático Teorema de Vizing: Sea G=(V,A) un grafo con grado máximo  (  (v)  ,  v  V ), entonces:    1 (G)  1+  Si un grafo G=(V,A) tiene un vértice de valencia k,  1 (G)  k.  1 (K 4 ) =  = 3 Dado un grafo G con grado máximo , ¿es  1 (G) =  ? (Problema NP-completo)  1 (K 5 ) = 1+  = 5

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 20/24 Coloración de aristas Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y, A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:  1 (G) =  Demostración: Inducción en el número m = |A| de aristas 1) m = 1 2) Supongamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con hasta m aristas 3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas Acotaciones del índice cromático

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 21/24 Coloración de aristas Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y, A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:  1 (G) =  3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas X Y x y G-a tiene m aristas y grado máximo  o  -1 a Existe una coloración de las aristas de G-a con  colores: c 1, c 2,... 2)  ’(x)   -1 Existe un color (c 1 ), no usado por las aristas incidentes en x Existe un color (c 2 ), no usado por las aristas incidentes en y Acotaciones del índice cromático G con m+1 aristas y grado máximo 

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 22/24 Coloración de aristas Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y, A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:  1 (G) =  3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas X Y x y x y a  ’(x)   -1 Existe un color (c 1 ), no usado por las aristas incidentes en x Existe un color (c 2 ), no usado por las aristas incidentes en y Acotaciones del índice cromático G con m+1 aristas y grado máximo  Si c 1 =c 2 Coloreando a con c 1, tenemos una arista-coloración de G con a los sumo  colores. c1c1

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 23/24 Coloración de aristas Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y, A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:  1 (G) =  3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas X Y a  ’(x)   -1 Existe un color (c 1 ), no usado por las aristas incidentes en x Existe un color (c 2 ), no usado por las aristas incidentes en y Acotaciones del índice cromático y1y1 c2c2 x1x1 c1c1 y2y2 c2c2 x2x2 c1c1 y3y3 c2c2 G con m+1 aristas y grado máximo  Si c 1 =c 2 modificamos la arista-coloración de G-a; para ello buscamos un camino alternado. x y

V.Álvarez M.D. Frau J.R. Narro P. Reyes Matemática Discreta Tema 5: Coloración 24/24 Coloración de aristas Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y, A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:  1 (G) =  3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas X Y a  ’(x)   -1 Existe un color (c 1 ), no usado por las aristas incidentes en x Existe un color (c 2 ), no usado por las aristas incidentes en y Acotaciones del índice cromático y1y1 c1c1 x1x1 c2c2 y2y2 c1c1 x2x2 c2c2 y3y3 c1c1 G con m+1 aristas y grado máximo  Si c 1 =c 2 modificamos la arista-coloración de G-a; para ello buscamos un camino alternado. x y  1 (G) = 