Jennifer Morales Clarke 2º Bach. A EL ÁLGEBRA Jennifer Morales Clarke 2º Bach. A

1. ¿ Qué es ? Rama de las matemáticas en la que se utilizan letras para representar relaciones aritméticas Sus operaciones fundamentales son adición, sustracción, multiplicación, división y calculo de raíces. El Álgebra es el idioma de las matemáticas.

2. Un poco de historia

Algunos matemáticos históricos Al-Jwarizmi Robert Recorde Giroldano Cardano René Descartes François Viete

3. Símbolos

4. Otras definiciones Ecuación: cualquier expresión que incluya la relación de igualdad. - identidad - condicional Término: expresión algebraica que solo contiene productos de constantes y variables 2x, -a, 5zy... coeficiente

Ecuación lineal: en una variable, es una ecuación polinómica de primer grado. aX + b = c Ecuación cuadrática: en una variable, es una ecuación de segundo grado. aX2 + bX + c = 0 Nº primo: un entero que solo se puede dividir exactamente por mismo y por 1. Factores primos de un nº: son aquellos factores en los que este se puede descomponer de manera que el nº se expresa como producto de números primos

5. Operaciones con polinomios Cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica aunque el álgebra incluye números irracionales y números complejos. A este conjunto de números se le llama NÚMEROS REALES. Los números reales son uniformes para la adición, sustracción, multiplicación y división

5.1 propiedades de la adición La suma de dos números reales a y b otro número real que se escribe a + b. Propiedad asociativa: cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición el resultado es siempre el mismo. (a + b) + c = a + (b + c) Dado un nº real a existe otro nº real cero (0) conocido como elemento neutro de la suma tal que a + 0 = 0 + a = a Dado un nº real a, existe otro nº real (-a) llamado elemento simétrico de a , tal que a + (-a) = 0

5.2. propiedades de la multiplicación El producto de dos números reales a y b es otro nº real, que se escribe a·b o ab. Propiedad asociativa: Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc). Dado un nº real a existe otro nº real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación, tal que a(1)=1(a)=a. Dado un nº real a distinto de cero, existe otro nº (a-1 o 1/a ), llamado elemento inverso para el que a(a-1) = (a-1 )a = 1

5.3 propiedad distributiva Otra propiedad importante del conjunto de loa números reales relaciona la adición y la multiplicación de la forma siguiente: a(b+c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca

6. Multiplicación de polinomios Multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio Una vez hechas estas operaciones, todos los términos del mismo grado se han de agrupar para simplificar la expresión

7. Factorización de polinomios Dada una expresión algebraica complicada, resulta útil el descomponer en un producto de varios términos más sencillos. TRINOMIOS x2 + 2xy + y2 (x + y)2 x2 – 2xy + y2 (x – y)2 DIFERENCIA DE CUADRADOS x2 – y2 (x + y) (x – y ) TRINOMIOS DE LA FORMA X2 + (a + b)x + ab (x + a) (x + b)

8. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo M.C.D.: Dado un polinomio suele ser importante determinar el mayor factor común a todos los términos del polinomio. 9x3 + 18 x2 = 9x2 (x + 2) 9x2 es el m.c.d. M.C.M.: Encontrar el m.c.m. puede ser útil para poder hacer ciertas operaciones con fracciones algebraicas. Dadas varias expresiones, su m.c.m. es aquella expresión con el menor grado y los menores coeficientes que se puede dividir exactamente por cada una de ellas

9. Resolución de ecuaciones Dada una ecuación , el álgebra se ocupa de encontrar soluciones siguiendo el concepto general de identidad a = a. Siempre que se apliquen las mismas operaciones a ambos lados de la ecuación, la igualdad se mantiene inalterada. Se despeja la incógnita a un lado de la igualdad y la solución será a otro lado.

9.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas Si la ecuación se pude factorizar, el resultado es inmediato. Por ejemplo: x2 - 3x – 10 = 0 (x – 5) (x + 2) = 0 x = 5 y x = -2 En general, cualquier ecuación cuadrática de la siguiente forma ax2 + bx + c = 0 se puede resolver utilizando la siguiente fórmula: x = -b +/- b2 – 4ac 2a

9.3. sistemas de ecuaciones Para resolver los sistemas de ecuaciones se pueden usar diferentes técnicas: Despejando una de la variables en una ecuación y sustituyendo el resultado en la otra ecuación. Realizar las operaciones necesarias a ambos lados de la ecuación hasta poder reducir alguna de ellas.