Semejanza de triángulos

¿Cómo podemos calcular la altura del árbol?

¿Son suficientes los datos que tenemos? La altura de Sara es 1,5 metros

El problema se puede resolver usando Semejanza de Triángulos Comencemos por entender qué es la Semejanza de Triángulos

Definición: Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos son correspondientemente congruentes. A B C M N P mM = 70 mN = 65 mP = 45 mA = 70 mB = 65 mC = 45  ABC  MNP

Entendiendo el concepto Cuando dos triángulos son semejantes, tienen exactamente la misma forma, pero diferente tamaño.

NOTA IMPORTANTE: Es importante utilizar adecuadamente la notación de semejanza para dos triángulos. Al decir que  ABC  MNP, implícitamente se está diciendo que el ángulo A es congruente con el ángulo M. Asimismo, el ángulo B lo es con N, y el ángulo C es congruente con el ángulo P.

¿Pero ahora cómo nos puede ayudar la semejanza de triángulos a resolver nuestro problema inicial? Se pueden sacar muchas conclusiones cuando se tienen dos triángulos semejantes. Veamos:

En dos triángulos semejantes se cumple que sus lados homólogos son proporcionales. Los lados homólogos son los opuestos a ángulos congruentes. A la razón de uno de los lados con su lado homólogo se le llama razón de semejanza k. En este caso k = 1/2

Lo interesante es que esta proporción se mantiene también para las alturas y las medianas, siempre correspondientes a los lados homólogos de los triángulos semejantes. La razón de los perímetros de ambos triángulos también es igual a la razón de semejanza k. Finalmente, la razón de las áreas de los triángulos semejantes, es igual a la razón de semejanza elevada al cuadrado; es decir a k2.

Para identificar si dos triángulos son semejantes se utilizan 3 postulados o criterios de semejanza. Veamos:

Criterios de semejanza B A Primer criterio: AA Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son congruentes a dos ángulos del otro. A’ B’ C’

Criterios de semejanza Segundo criterio: LLL Dos triángulos son semejantes si los lados de uno de ellos son proporcionales a los lados homólogos del otro. C B A A’ B’ C’

Criterios de semejanza B A Tercer criterio: LAL Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno de ellos son proporcionales a dos lados del otro y los ángulos comprendidos entre dichos lados son congruentes. A’ B’ C’

¿Podemos ahora resolver el problema? La altura de Sara es 1,5 metros

FIN