Lógica de Primer Orden

Ref. Cap VII http://www.massey.ac.nz/~mjjohnso/notes/59302/l07.html

Lógica de Primer Orden La lógica proposicional sólo puede representar hechos acerca del mundo. La lógica de primer orden describe un mundo que consta de objetos y propiedades (o predicados) de esos objetos. Entre los objetos, se verifican varias relaciones p.ej. Progenitor(Marcos, José). Una función es una relación en la cual sólo hay un valor para un input dado. Ejemplos Objetos: gente, casas, números, planetas,... Relaciones: progenitor, hermano-de, mayor-que,... Propiedades: rojo, pequeño, primo,... Funciones: padre-de, uno-más-que

Lógica de Primer Orden Ejemplos: “Uno más uno igual a dos." “Cuadrados vecinos del Wumpus son malolientes." La lógica de primer orden es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada. Syntaxis y semántica La lógica de primer orden tiene sentencias como lógica proposicional y, además, tiene términos, que representan objetos. Para construír términos se usan símbolos constantes, variables y funciones, y cuantificadores y símbolos predicado son usados para construír sentencias.

Lógica de Primer Orden: BNF <Sentencia> := <Sentencia Atómica> | <Sentencia> <Conector> <Sentencia> | <Cuantificador> <Variable>,... <Sentencia> | <Sentencia> | (<Sentencia>) <Sentencia Atómica> := <Predicado>(<Término>,...) | <Término> = <Término> <Término> := <Función>(<Término>,...) | <Constante> | <Variable> <Conector> :=^ | | <=> | => <Cuantificador> :=  |  <Constante> := Martin | 59302 | Gato | X | ... <Variable> := a | x | s | ... <Predicado> := Previo | Gusta | Llueve | Falla | ... <Función> := Padre | Cabellode | 10043nota | ...

Lógica de Primer Orden Símbolos constantes: A, B, C, 1, Juan,... Cada símbolo constante nombra a exactamente un objeto en el mundo, no todos los objetos necesitan tener nombres y algunos pueden tener más de un nombre. Símbolos predicado: Vecino, Hermano,... Un símbolo predicado se refiere a una relación particular en el modelo. Por ejemplo, Hermano ; dado que Hermano es un símbolo de relación binaria, la relación a que se refiere debe ser también binaria, es decir, debe darse o fallar entre pares de objetos. Símbolos de función: Coseno, Padrede, PiernaIzquierdade Una relación funcional relaciona un objeto a exactamente otro único objeto. El último elemento en la tupla es el valor de la función para los otros elementos. ej. Oficinade(María,bas1.240)

Lógica de Primer Orden Términos Un término es una expresión lógica que se refiere a un objeto. Los símbolos constantes son términos. Los términos también se pueden construír a partir de símbolos de funciones y símbolos de constantes, ej., Padrede(Juan). La semántica formal de los términos es la siguiente: Una interpretación especifica una relación funcional referida por el símbolo funcion y objetos referidos por los símbolos constantes. En consecuencia, un término función se refiere a el objeto n+1 en una tupla cuyos primeros n elementos son aquellos referidos por los argumentos de la función. Sentencias atómicas Una sentencia atómica está formada por un símbolo predicado seguido por una lista entre paréntesis de términos, por ejemplo, Hermano(Roberto,Juan) indica que el objeto referido por Roberto es el hermano del objeto referido por Juan.

Lógica de Primer Orden Las sentencias atómicas pueden tener argumentos que son términos complejos: Casado(Padrede(Roberto),Madrede(Juan)) Sentencias complejas Podemos usar conectores lógicos para construír sentencias más complejas. La semántica de éstas es la misma usada en lógica proposicional. Ejemplos Hermano(Roberto,Juan)  Hermano(Juan,Roberto) es verdad en el caso en que Juan es hermano de Roberto y Roberto es hermano de Juan. Mayor(Juan,30)  Menor(Juan,30) es verdad cuando Juan es mayor de 30 o es menor que 30.

Lógica de Primer Orden Cuantificadores Nos permiten expresar propiedades de colecciones de objetos. Hay dos cuantificadores en lógica de primer orden: universal y existencial. Cuantificación universal () Usando esta cuantificación podemos decir cosas tal como, “Todos los hamsters son mamíferos." x Hamster(x) Mamifero(x) En consecuencia, una sentencia x (x) es verdad en un modelo solo si  es verdad para todos los objetos en el modelo.

Lógica de Primer Orden Notar la diferencia entre x Hamster(x)Mamifero(x) y x Hamster(x)Mamifero(x) Las afirmaciones universales son verdad si son verdad para cada individuo en el mundo. Se pueden pensar como una conjunción infinita. Cuantificación existencial Realiza afirmaciones acerca de al menos algún objeto. Para decir, por ejemplo que Mancha tiene una hermana que es un hamster, escribimos x Hermana(x,mancha)  Hamster(x) x P es verdad si P es verdad para algún objeto en el mundo. Se puede pensar como una disyunción infinita. Cuantificadores anidados Se pueden realizar afirmaciones muy complejas si se anidan cuantificadores.

Lógica de Primer Orden Sin mezclar tipos de cuantificadores, podemos decir cosas como x,y Progenitor(x,y)  Hijo(y,x) También podemos mezclar cuantificadores, xy Buenopara(x,y) “Todos somos buenos para alguna cosa" Conexiones entre  y  Hay una íntima conexión entre los dos cuantificadores. Para ver esto, considerar la sentencia x Gusta(x,LideresDecepcionantes) “Para todo x, x no gusta de los líderes decepcionantes." Otra forma de decir esto es, “No existe un x que guste de los líderes decepcionantes.“ x Gusta(x,LideresDecepcionantes) Esto es verdad en general porque  es una conjunción sobre todos los objetos y  es una disyunción sobre todos los objetos.

Lógica de Primer Orden De hecho, todo lo siguiente también es verdad x P  x P         PQ  (PQ)                              x P  x P           (PQ)  P  Q                              x P  x P           P  Q  (P  Q)                              x P  x P           P  Q  (P  Q) Igualdad Con frecuencia el símbolo de igualdad se incluye como un símbolo especial. Esto se debe a que la noción de igualdad es muy importante en nuestro modo de pensar. Con este símbolo, podemos escribir cosas como Padre(Juan)=Jose, con el objeto de afirmar que el objeto que es padre de Juan es el mismo que el objeto José. Igualdad puede ser pensada como un símbolo de relación binaria ordinaria, así la interpre-tación de = es un conjunto de pares.

Lógica de Primer Orden La igualdad puede ser usada para decir que hay dos o más individuos con una propiedad particular x,y Hermana(Mancha,x)  Hermana(Mancha,y)  (x=y) “Hay un x y un y que son hermanas de Mancha y no son el mismo individuo." El símbolo de igualdad también puede ser usado para restringir el número de objetos que tienen cierta propiedad, por ejemplo, x,y P(x)  P(y)  x=y “Todo par de objetos con la propiedad P son iguales." Esta afirmación los restringe a ser un objeto con la propiedad P. Con frecuencia se usa la forma reducida ! x Rey(x) que significa x Rey(x)  y Rey(y)  x=y

Lógica de Primer Orden En la representación del conocimiento, un dominio es una sección del mundo acerca del cual deseamos expresar algún conocimiento. Un ejemplo simple y muy conocido del uso de LPO para codificar dominios es el dominio de relaciones familiares. Axiomas, Definiciones y Teoremas Los axiomas capturan los hechos básicos acerca de un dominio. Los axiomas son luego usados para probar teoremas. Haciendo preguntas y obteniendo respuestas Para agregar sentencias a la base de conocimiento, llamamos a TELL, por ej., TELL(KB, m,c Madre(c)=m  Hembra(m)  Progenitor(m,c)) TELL se usa para axiomas(como aquí arriba) y hechos específicos acerca de una situación particular como TELL(KB,(Hembra(Maxi)Progenitor(Maxi,Mancha)Progenitor(Mancha,Boots)))

Lógica de Primer Orden Con el agregado de estos hechos podemos ASK(KB,Abuela(Maxi,Boots)) Y recibir respuesto si/no. También podemos hacer preguntas para obtener información adicional en las respuestas, como ASK(KB, x hijo(x,Mancha)). Aquí no solo queremos la respuesta si/no, querríamos conocer el término x que denota objetos en el dominio. En general, para un query con variables existencialmente cuantificadas, queremos conocer las particularizaciones de dichas variables. Entonces, ASK retorna una lista de particularizaciones, ej., {x/boots}.

Agentes lógicos para el mundo de Wumpus Agente reflejo. Meramente clasifica sus percepciones y actúa de acuerdo a dicha clasificación. Agente basado en modelo. Construye una representación interna del mundo y la usa para actuar. Agente basado en objetivos. Forma objetivos y trata de alcanzarlos

Agentes lógicos para el mundo de Wumpus El primer paso es definir la interface entre el agente y el mundo. La secuencia de percepción debe contener las percepciones y el momento en que ocurrieron. Usaremos enteros para las etapas temporales, asi una típica sentencia de percepción sería Percepcion([Hedor,Brisa,Brillo,Nada,Nada],5) La acción del agente debe ser una de: Girar(Derecha), Girar(Izquierda), Avanzar, Disparar, Tomar, Liberar, Trepar Para determinar cuál es la mejor acción, creamos un query tal como Accion(a,5). Si hemos presentado las cosas de manera correcta, este query retornará una lista de particularizac. tal como {a/Tomar}.

Cálculo de situación Cálculo de situación es el nombre dado a un modo particular de describir cambio en LPO. Concibe al mundo como una secuencia de situaciones, cada una de las cuales es un instante en el estado del mundo. Las situaciones son generadas a partir de situaciones previas por medio de acciones. Cada relación cuya verdad pueda cambiar con el tiempo, es manejada dándole un argumento extra de situación al correspondiente símbolo de predicado. Por convención, ubicamos el argumento de situación siempre al final. Así, en vez de En(Agente,Ubicacion), deberemos tener En(Agente,[1,1],S0)  En(Agente,[1,2],S1). Las relaciones o propiedade que no cambian con el tiempo no necesitan el argumento extra, ej., ParedEn([0,1]).

Cálculo de situación