Probabilidad y azar una presentación de Eliseo Martínez H.

¿Qué es el azar? Veamos lo que nos dice el diccionario m. casualidad: el azar hizo que nos volviéramos a encontrar años después al azar loc. Adv. Sin orden, sin planeamiento; aleatoriamente: eligió un número al azar Podemos intuir, entonces, que el azar está relacionado con la suerte, con lo impredecible (que no se puede predecir), con lo aleatorio (que significa suerte). Parece ser que toda nuestra vida está asociado a lo impredecible. ¿Podemos predecir el mañana?

El dado y la moneda en el desarrollo de la ciencia Aunque usted no lo crea, estudiando el comportamiento de los resultados al lanzar una moneda o un dado, se pueden establecer principios matemáticos de probabilidad que han resultado vitales para el desarrollo de la ciencia, como la Física, la Biología, la Genética, la Economía, la Química, las Ciencias Sociales. De hecho, la axiomática de todo el cálculo de la probabilidad está basado, prácticamente, en el lanzamiento de una moneda o de un dado. Un ejemplo más de que los principios de la ciencia son por lo general sencillos.

Por una sana costumbre, los generales romanos no podían entrar a Roma con su ejercito. Puesto que el senado romano apoyaba a Pompeyo que tomó el control de Roma, Julio Cesar decide “cruzar el Rubicón” (río al norte de Italia) con sus legiones, significando con este cruce la lucha contra Pompeyo y el senado... Poco antes del cruce del Rubicón dice la frase que pronunciaban los legionarios romanos en el juego al lanzar los dados: alea jacta est... (la suerte está echada)

Bartolomé Esteban Murillo (1617, 1682) El dado en el arte Dados Bartolomé Esteban Murillo (1617, 1682)

He aquí un dado... Los dados se cuentan entre los artilugios más antiguos utilizados en juegos de apuestas. Los arqueólogos han descubierto dados cúbicos, idénticos a los actuales, en tumbas egipcias del año 2000 A.C. Y también se han encontrado dados en yacimientos chinos que se remontan al 600 A. C.

La nueva moneda de cien pesos chilena ... y la “cara” El “sello” Al centro del núcleo y guardando la simetría del conjunto, el Escudo Nacional y bajo él el año de acuñación, la cifra "100" y la palabra "PESOS" superpuesta con el anillo. Circundando el conjunto, en anillo, ramas de laurel El rostro de una mujer mapuche, situado al centro del núcleo y coronado con la frase "REPÚBLICA DE CHILE" en el anillo. En la parte inferior del anillo la frase "PUEBLOS ORIGINARIOS". Al costado izquierdo de la figura, en letras pequeñas, la expresión "Mapuche".

El lanzamiento de una moneda Tome usted una moneda y láncela al aire, y observe la figura obtenida una vez que la moneda detenga su movimiento azaroso Mientras la moneda va en el aire, ¿puede predecir con absoluta certeza el resultado que obtendrá? Vamos a lanzar una misma moneda 4 veces, y observemos los resultados: ¡Sello! ¡Sello! ¡Cara! ¡Sello!

El lanzamiento de una moneda ¡Sello! ¡Cara! En los cuatro lanzamientos, en este caso, obtuvimos tres veces “sello” y una vez “cara” Para este caso se dice que la frecuencia de sellos fue de 3, y la frecuencia de cara fue de 1. Aprovechamos de decir entonces que frecuencia de un resultado es el número de veces que se repite dicho resultado al replicar una cierta cantidad de veces un fenómeno azaroso.

El lanzamiento de una moneda Decíamos entonces que no hay manera de determinar el resultado a priori (antes de) el lanzamiento una moneda al aire. Sin embargo... ... si todos los alumnos del curso, cada uno con una moneda de cien pesos lanzan su moneda al aire, sin temor a equivocarnos podemos decir que ... .. el 50% de las monedas, es decir la mitad del curso, obtendrá como resultado “sello”, y el otro 50% restante obtendrá como resultado “cara”. Y si el resultado anterior no ocurre, erraremos “por muy poco”

Primera actividad con una moneda Que cada alumno tenga una moneda de 100 pesos (si no tiene de 100 pesos, cualquier moneda sirve) Que cada alumno lance la moneda al aire 30 veces (puede ser un número arbitrario de veces, 40, 50, etcétera) Que cada alumno cuente la frecuencia de obtener “cara” (observe que por complemento se obtendrá la frecuencia de obtener “sello”) Que cada alumno realice la siguiente operación matemática (con una calculadora): Frecuencia de “cara” Número de lanzamientos

Primera actividad con una moneda Que el profesor anote en la pizarra los resultados obtenidos por cada alumno Que los alumnos observen todos los resultados, y responda ¿son similares los resultados? Ahora, que cada alumno indique la frecuencia de “caras” obtenidas, y además el número de lanzamientos efectuados. Que el profesor, con una calculadora, sume todas las frecuencias de “cara” de cada alumno, y sume todos los lanzamientos efectuados por cada alumno. Y realice el siguiente cómputo Total de frecuencia de “cara” Total de lanzamientos

Primera actividad con una moneda Debería ocurrir que: Total de frecuencia de “cara” Total de lanzamientos = 0.5 O en su defecto: Total de frecuencia de “cara” Total de lanzamientos aproximadamente igual

Conclusiones sobre esta actividad del lanzamiento de una moneda Resulta imposible predecir el resultado que se puede obtener al lanzar una moneda No obstante, para un número grande de lanzamientos podemos predecir con un pequeño margen de error, el número de “caras” a obtener (y por lo tanto el número de “sellos”) Si lanzamos n veces una moneda, entonces el número de “caras” a obtener será aproximadamente igual a la mitad de los lanzamientos, es decir el 50% de los lanzamientos aproximadamente serán “caras”

Lanzamiento de la moneda: algunas consideraciones Cuando decimos que en n lanzamientos (40, 75, etcétera) el 50% se obtendrá “cara”, se interpreta el 50% como: 50 dividido por 100, esto es 50 100 = 1 2 = 0.5 De manera tal que el 50% de, por ejemplo, 75 lanzamientos es 50 100 = 75 2 . 75 = 37.5 Y puesto que no puede existir físicamente “37.5 veces caras”, es que este resultado se interpreta como “aproximadamente se obtendrán 37 o 38 caras, o un número cercano a este valor”

Lanzamiento de la moneda: tabla de frecuencias Para contabilizar los resultados obtenidos en los lanzamientos de una moneda, se puede utilizar la siguiente tabla: nº de caras nº total Resultados frecuencia frecuencia relativa cara sello total nº de sellos nº total Suma de ambas frecuencias relativas, su valor es siempre 1 nº total de lanzamientos nº de sellos obtenidos nº de caras obtenidas

Lanzamiento de la moneda: tabla de frecuencias Realizaremos una simulación para ver como utilizamos la tabla. Supongamos que vamos a lanzar 15 veces una moneda. Los resultados de los lanzamientos aparecerán y de acuerdo a éstos llenaremos la tabla Resultados frecuencia frecuencia relativa cara sello total 7 15 = 0,4666 7 8 15 = 0,5333 8 15 1

El lanzamiento de la moneda: la probabilidad Mediante lanzamientos sucesivos de una moneda, hemos concluido empíricamente (experimentalmente) que aproximadamente el 50% de las veces (es decir, la mitad de los lanzamientos) obtendremos “cara”. Recordemos que 50% es igual a 1/2 Podríamos haber razonado de la siguiente forma: “Al lanzar una moneda al aire puede ocurrir uno y sólo uno de los dos resultados posibles: cara o sello. Si la moneda no está cargada para ningún lado, hay un 50% de que salga cara y un 50% que se obtenga sello. De otra forma, la probabilidad de obtener cara es 1/2 , o lo que es lo mismo, la probabilidad de obtener cara es del 50%”