MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS LUIS MIGUEL GALINDO

INTRODUCCIÓN

IDENTIFICACIÓN Problema de identificación: Pueden existir varias estructuras que generan la misma forma reducida o que dan pie a la observación del mismo conjunto de datos. Esto es, existe un conjunto de parámetros estructurales que generan la misma forma reducida o las mismas observaciones El problema de la identificación se resuelve cuando una sola hipótesis o estructura es consistente con los datos y la teoría Formulación inversa: Un conjunto de datos permite formular diversas hipótesis. Estas hipótesis se reducen utilizando ceros Problema de identificación: ¿los valores numéricos de los parámetros estructurales se pueden desprender de la forma reducida?

Estructura admisible con respecto a los datos es el conjunto de estructuras que son compatibles con respecto a los datos observados Una ecuación es compatible con respecto a los datos en el caso en que los datos y los valores obtenidos por la ecuación en forma reducida satisfagan exactamente a la ecuación Estructura admisible con respecto al modelo cunado satisface las restricciones impuestas por la teoría económica Una estructura esta identificada si existe únicamente una estructura que sea admisible respecto a los datos y al modelo. Existe un solo conjunto de valores numéricos de los parámetros estructurales que corresponden a la forma reducida dada por los datos y que satisfacen las restricciones impuestas por el modelo

En algunos casos los parámetros de la forma estructural no pueden obtenerse de la forma reducida La identificación no es un problema de estimación sin de obtener estimadores con significado económico en los parámetros estructurales La identificación revisa si cualquier combinación lineal de las ecuaciones estructurales contiene exactamente las mismas variables que la ecuación estructural La ecuación esta exactamente identificada cuando los parámetros de la forma estructural están determinados únicamente La ecuación no esta identificada implica que el modelo no puede estimarse

Ejemplo 1: Modelo de oferta y demanda (1) D: Qt = 0 + 1Pt 1 < 0 (2) O: Qt = 0 + 1Pt 1 > 0 Ambas ecuaciones estructurales tienen la misma forma reducida Multiplicando por (3/5) a (1) y por (2/5) a (2) y sumando se obtiene: (3) Multiplicando por (1/3) a (1) y por (2/3) a (2): (4)

En el uso donde se cumple las restricciones que: Las ecuaciones (1) y (2) no están identificadas ya que tienen la misma forma reducida ya que las ecuaciones derivadas se obtuvieron de una combinación lineal de (1) y (2)  Los datos y las restricciones del modelo también son satisfechas por O’ y D’

Ejemplo 2: Modelo de oferta y demanda ampliado (1) D: qt = 0 + 1Pt + 2Yt (2) O: qt = 0 + 1Pt + 2Wt Variables endógenas: Pt y qt Forma reducida: (3) Pt = 11 + 12Yt + 13Wt (4) qt = 21 + 22Yt + 23Wt

Los coeficientes de la forma reducida:

Los parámetros estructurales son: Las ecuaciones están identificadas. En otro caso existen infinitos valores de las ’s.

Una ecuación estructural esta identificada si existen valores únicos de sus parámetros que corresponden a la forma reducida dada y que satisfacen además las restricciones impuestas a priori Una ecuación no esta identificada en el caso donde las combinaciones lineales de las ecuaciones estructurales contienen exactamente las mismas variables que la ecuación estructural La combinación lineal implica que no agrega información y por tanto existen menos ecuaciones que variables endógenas

Ejemplo 3: Modelo de oferta y demanda de dos bienes (1) D1: q1t = 0 + 1P1t + 2P2t + 3Yt (2) Si q1t = 0 + 1P1t + 4Wt (3) D2: O = (0 - q2t) + 1P1t + 2P2t + 3Yt Variables endógenas: q1t, P1t, P2t Variables exógenas: Yt, Wt La ecuación (2) está identificada si no existe ninguna combinación lineal de las otras ecuaciones que excluya simultáneamente a P2t, Yt. ¿Se puede eliminar P2t utilizando las ecuaciones (1) y (3)? Multiplicando a (1) por 2 y a (3) por 2 y restando (D1 – D2): Para eliminar Yt se multiplica (1) por 3 y a (3) por 3 y se restan.

Para hacer el proceso simultáneo se requiere que los coeficientes sean los mismos: La ecuación (1) no está identificada: Condición de orden: Un modelo con ecuaciones requiere para identificar una ecuación que excluya al menos  - 1 variables  - 1 = 3 – 1 = 2  excluye Wt y q1t

CONDICIONES DE ORDEN Y DE RANGO Condición de orden: Ecuación exactamente identificada: En un modelo de G ecuaciones lineales entonces una ecuación esta identificada cuando faltan al menos G-1 de las variables incluidas del modelo Ecuación sobreidentificada: Faltan más de G-1 variables incluidas en el modelo Ecuación no identifica: No se excluyen al menos G-1 variables que están en el modelo La condición de orden (o de conteo) es necesaria pero no suficiente La condición de orden asegura que existe al menos una solución pero no asegura que la solución es única

Condición de rango: en un modelo lineal de G ecuaciones entonces una ecuación esta identificada si y solo si existe al menos una matriz de dimensión (G-1)X(G-1) no singular que esta contenida en la matriz de coeficientes correspondientes a las variables eliminadas de la ecuación cuya posible identificabilidad se está estudiando y que aparecen en las otras ecuaciones del modelo

Ejemplo 4: Modelo de oferta y demanda de bienes ampliado D1: q1t = 0 + 1P1t + 2P2t + 3Yt (2) Si q1t = 0 + 1P1t + 4Wt (3) D2: q2t = 0 + 1P1t + 2P2t + 3Yt (4) Si q2t = 0 + 2P2t Variables endógenas: q1t, q2t, P1t, P2t Variables exógenas: Yt, Wt

- 1 = 4 – 1 = 3 Las ecuaciones (1) y (3) no pueden tener condición de rango Condición de rango de la ecuación (2): Excluyendo (q2t, P2t, Yt): Determinante: 23 + 3(2 - 2)  0

Condición de rango para la ecuación (4):  0 (determinante 3x3)

Identidades (2 métodos): 1. Sustituir en las ecuaciones del sistema (reduciendo el número de ecuaciones y variables) 2. Dejar las identidades. No tienen problema de identificación porque los parámetros satisfacen las restricciones. Se incluyen en la cuenta de G ecuaciones al contar le número de ecuaciones y variables

Condición de orden equivalente: H = variables endógenas G – H = Variables endógenas que han sido eliminadas de la ecuación respectiva J = variables predeterminadas K – J = Variables predeterminadas eliminadas del modelo Condición de orden: El número de variables eliminadas debe ser al menos igual que el número de ecuaciones menos una: (G - H) + (K - J) >= G - 1

Simplificación: el número de variables predeterminadas que han sido eliminadas de la ecuación es mayor o igual que el número de variables endógenas que quedan en la ecuación menos una K – J >= H - 1 No se necesita G Variables instrumentales Identificación en forma reducida Ejercicios: Pindyck pp. 329 Johnston pp. 608 Griffits pp. 610 Wooldrige pp. 485.

PRUEBA DE ENDOGENEIDAD Los estimadores en dos etapas son menos eficientes que los MCO cuando las variables explicativas son exógenas (Los MC2E pueden tener errores estándar muy grandes) Y1t = 0 + 1Y2t + 2Z1t + 3Z2t + ut Z1t, Z2t son exógenas Hausman (1978): Estimar por MCO y MC2E y comparar Diferentes  Y2t es endógena

Estimar: Y2t = 0 + 1Z1t + 2Z2t + 3Z3t + 4Z4t + v2t Regresión: Y1t = 0 + 1Y2t + 2Z1t + 3Z2t + v2t + et Rechazo de Ho  Y2t es endógena

Prueba de restricciones sobre identificadas: (1) Estimar la ecuación estructural por MCO y obtener los residuos de MC2E (2) Regresión de sobre las variables exógenas (3) R21  2q, donde q es el número de VI fuera del modelo menos el número total de variables explicativas endógenas Rechazo de Ho  al menos alguna de las VI no es exógena

Ejercicio 1: Modelo macroeconómico Ct = 1 + 2Yt + 3rt + u1t (2) It = 1 + 2rt + 3Yt + u2t (3) rt = 1 + 2It + 3Mt + u3t (4) Yt = Ct + It + t 1. Determinar las condiciones de identificación de las ecuaciones 2. Qué procedimiento de estimación se puede utilizar con las ecuaciones identificadas

Variables predeterminadas = 2 Condición de orden:  - 1 = 4 – 1 = 3 Solución: Variables endógenas = 4 Variables predeterminadas = 2 Condición de orden:  - 1 = 4 – 1 = 3 Se requiere excluir a 3 o más variables Puede estimarse por mínimos cuadrados indirectos Ecuación Número de ceros Condición de orden (1) 3 Exactamente identificada (2) (3) (4) Identidad

Ejercicio 2: Modelo econométrico (1) Ct = 11 + 12Yt + e1t (2) It = 12 + 22rt + e2t (3) Yt = Ct + It + t Variables endógenas: Ct, It, Yt Variables exógenas: t, rt 1. Identifique los signos esperados de los coeficientes 2. Derive algebraicamente la forma reducida 3. Determine las condiciones de orden de identificación del modelo

Solución: 1. (1) 11 > 0 12 > 0 (2) 21 > 0 22 < 0 2. Ct = (Ct + It + t) + 11 + e1t Ct - 12Ct = 12It + 12t + 11 + e1t

Condición de orden:  - 1 = 3 – 1 = 2 Las ecuaciones están exactamente identificadas

MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS LUIS MIGUEL GALINDO