MATEMÁTICAS II MEDIO PROGRAMA EMPRENDER PREUNIVERSITARIO ALUMNOS UC PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MATEMÁTICAS II MEDIO Santiago, 4 de mayo del 2013

Racionales ¿Existe algún número q multiplicado por 2 sea igual a 1? El conjunto de los números racionales se representa por “Q”. Todo número racional puede expresarse en forma de razón a/b entre dos números enteros a y b¸ con b ≠ 0. a se llama numerador y b se llama denominador.

Orden en Q Se define la relación mayor que (>) del siguiente modo:

Orden en Q Ej:

Adición y sustracción

Adición y sustracción Casos particulares: Fracciones con igual denominador: conservamos el denominador común y sumamos o restamos los numeradores. Más de dos fracciones: la adición o sustracción de más de dos fracciones se resuelve preferentemente reduciendo las fracciones a denominador común (M. C. M.)

Irracionales Aquel cuya representación decimal es infinita no periódica, por lo que, no pueden escribirse en la forma de fracción de números enteros a y b con b ≠ 0. Ej: Raíces de números primos π, e…

Reales Representados por la unión del conjunto de los números racionales con los irracionales. El conjunto de los números reales es denso en la recta numérica. Esto es, entre dos números cualesquiera existe otro número real y por ende infinitos.

Razones y proporciones Razón: Llamaremos razón entre dos cantidades a y b a la comparación de ellas por división. Se lee “a es a b” a : b Ej.: si Juan tiene 10 años y Pedro tiene 20 años, entonces la razón entre la edad de Juan y la edad de Pedro es: La razón ½ indica que la edad de Juan es la mitad de Pedro.

Razones y proporciones Proporción: al simplificar la fracción 10/20 para obtener ½ nos encontramos con dos razones que tienen el mismo valor, es decir, estamos frente a una proporción. Llamaremos proporción a la igualdad de dos razones.

Razones y proporciones Teorema fundamental de la proporción: en la proporción a : b = c : d, a y b se conocen como términos extremos y c y d son los términos medios.

Razones y proporciones Componer con respecto al antecedente: Componer con respecto al consecuente:

Razones y proporciones Descomponer con respecto al antecedente: Descomponer con respecto al consecuente: Componer y descomponer a la vez:

Razones y proporciones Ej.: las edades de dos personas suman 80 años y están en la razón 7 : 9 ¿Cuáles son las edades? Sean A y B las edades buscadas. Entonces A/B = (7/9) y A + B = 80. El dato de la suma nos sugiere componer la proporción dada. Luego: y , donde Por lo tanto: A = 80 – B = 80 – 45 = 35. Es decir, las edades buscadas son 45 y 35 años.

Proporcionalidad directa Un automóvil con velocidad constante recorre 60 km en una hora. La siguiente tabla muestra la variación de la distancia recorrida (Y, en km) para distintos tiempos (X, en horas). Si escogemos dos valores de X y los valores correspondientes de Y se puede señalar que están en una proporción directa, es decir, las distancias recorridas son directamente proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlas. Y 60 120 180 240 300 X 1 2 3 4 5

Proporcionalidad inversa Un automóvil que tiene que recorrer una distancia de 360 km. Hagamos una tabla que muestre el tiempo X que se demora (en horas) de acuerdo con la rapidez Y que lleva (en km/hr). Si tomamos dos valores cualquiera de la tabla de X: 4 y 8 y los respectivos valores de Y: 90 y 45 y formamos el producto de los valores correspondientes tendremos: ^ Y 120 90 72 60 45 40 X 1 2 3 4 5 9

Proporcionalidad inversa Entonces, dadas dos magnitudes X e Y, diremos que X es inversamente proporcional a Y o que X varía inversamente con Y, si y sólo si el producto entre un valor cualquiera de X y el correspondiente valor de y es constante.

Constante de proporcionalidad Los ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 2 : 3 : 4. Determine la medida de cada ángulo. Sean α, β y γ los ángulos interiores del triángulo ABC, entonces: α : β : γ = 2 : 3 : 4, de donde: α = 2k; β = 3k y γ = 4k, pero como α + β + γ = 180º 2k + 3k + 4k = 180º 9k = 180º K = 20º Revisando el ejemplo anterior

Constante de proporcionalidad Entonces, los ángulos buscados son: α = β = γ =

Proporcionalidad compuesta Si 18 obreros realizan un trabajo en 30 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos días tardan en hacer el mismo trabajo 15 obreros trabajando 9 horas diarias? En primer lugar supondremos constante el número de horas H (jornada de 8 horas) y calcularemos cuántos días tardarían 15 obreros en realizar el trabajo. N D H 18 30 8 15 X 9 N D H 18 30 8 15 X

Proporcionalidad compuesta Como N y D son inversamente proporcionales: Luego usamos este valor para, suponiendo constante el valor de N (15), determinar cuántos días se tardarían este número de obreros en realizar el trabajo si trabajan en jornadas de 9 horas diarias. N D H 15 36 8 X 9

Proporcionalidad compuesta Como D y H son inversamente proporcionales: Es decir, tardan 32 días en realizar el mismo trabajo.

Porcentajes Un porcentaje es una fracción con denominador constante igual a 100. El a% de b es:

Porcentajes Ej.: ¿cuánto es el 5% de 30?

Álgebra El álgebra es la parte de la matemática que trata del cálculo con símbolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales. Productos notables: Cuadrado del binomio: Suma por su diferencia:

Álgebra Producto de binomios con un término repetido: Cubo del binomio: Cuadrado de un trinomio: Productos que desembocan en suma de cubos perfectos:

Funciones La tarifa del agua potable depende del número de metros cúbicos consumidos en un período de 30 días, en esta situación aparece una “relación de dependencia” a la cual llamamos función. Una función F es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. el primer conjunto A se conoce como el DOMINIO (Dom) de la función y B es el CODOMINIO o CONJUNTO DE LLEGADA. El RANGO o RECORRIDO (Rec) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Funciones Ej.: considerando el conjunto A = {1, 2, 3}, el conjunto B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y la relación de dependencia entre A y B que “asigna a cada elemento su cuádruple”. Decida si esta relación es una función de A en B y determine su dominio y recorrido. Los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A, les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B, la relación de dependencia es una función de A en B.

Funciones Dominio = {1, 2, 3} = A, y Recorrido = {4, 8, 12} En general, el recorrido es un subconjunto del codominio (o conjunto de llegada).