Análisis de Potencia en estado estable Unidad II Análisis de Potencia en estado estable Conferencia 1 C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 1

Objetivos Definir el significado de los valores promedios o eficaces, para las variables de corriente y voltaje. Contenido 2.1 Introducción. 2.2 Potencia Instantánea. 2.3 Potencia Promedio. 2.4 Valores Efectivos. C. R. Lindo Carrión

2.1 Introducción En las sesiones anteriores hemos estado tratando principalmente de determinar el voltaje o corriente en algún punto dado de una red. Tiene igual importancia determinar la potencia que suministra o que absorbe cierto elemento. Típicamente los dispositivos eléctricos y electrónicos tienen condiciones normales de funcionamiento de potencia instantánea máxima o de potencia pico que no pueden excederse sin dañar los dispositivos. En esta sección explicaremos las diferentes ramificaciones de la potencia en circuitos de corriente alterna. Vamos a examinar la potencia instantánea, la potencia promedio, la máxima transferencia de potencia y los valores efectivos o rms. C. R. Lindo Carrión

Veamos el circuito mostrado en la Figura 1, donde 2.2 Potencia Instantánea Veamos el circuito mostrado en la Figura 1, donde v(t) = VMcos(ωt+v) i(t) = IMcos(ωt+i) Entonces la potencia instantánea es: p(t) = v(t)*i(t)= VMIM*cos(ωt+v)*cos(ωt+i) Recordando que: cos1cos2 = (1/2)[cos(1-2)+ cos(1+2)] C. R. Lindo Carrión

p(t) = (VMIM/2)[cos(v-i)+ cos(2t+v+i)] entonces: p(t) = (VMIM/2)[cos(v-i)+ cos(2t+v+i)] Observe que esta expresión consta de dos términos, uno es una constante (es decir, independiente del tiempo) y el otro es una onda coseno de dos veces la frecuencia de excitación. Ejemplo: Para el circuito de la Figura 1 determine la potencia instantánea, si v(t) = 4cos(t+60º)V y Z = 2|30º Ω. Solución: C. R. Lindo Carrión

p(t) = 4[cos(30o)+ cos(2t+90o)]W entonces: i(t) = 2cos(t+30o)A Por lo tanto: p(t) = 4[cos(30o)+ cos(2t+90o)]W p(t) = 3.46 + 4cos(2t+90o)]W 2.3 Potencia Promedio El valor promedio de cualquier forma de onda (por ejemplo, una función senoidal) puede calcularse integrando la función en un periodo completo y dividiendo este resultado entre el periodo. C. R. Lindo Carrión

Donde to es arbitraria, y T = 2/ es el periodo del voltaje o la corriente. El segundo término es una onda coseno de frecuencia doble, se sabe de matemáticas que el valor promedio de una onda coseno en un periodo completo o un número entero de periodos es cero, por lo tanto la potencia promedio es:. C. R. Lindo Carrión

Para un circuito puramente resistivo Observe que como cos(-) = cos(), el argumento para una función coseno puede ser v- i o i - v. Además, note que v- i es el ángulo de la impedancia del circuito. Para un circuito puramente resistivo Además usando la ley de Ohm, para un circuito puramente resistivo, también podemos emplear las expresiones: Para un circuito puramente reactivo C. R. Lindo Carrión

Debido a que las impedancias puramente reactivas no absorben potencia promedio, con frecuencia reciben el nombre de elementos sin pérdidas. La red puramente reactiva opera en una forma en la que almacena energía en una parte del periodo y la entrega en otro. Ejemplo: Para el circuito mostrado en la Figura 2 determine la potencia promedio de cada elemento. Solución: C. R. Lindo Carrión

PL = 0, ya que la bobina no absorbe potencia promedio Ejemplo: Para el circuito mostrado en la Figura 3 determine la potencia promedio absorbida y entregada. C. R. Lindo Carrión

Solución: C. R. Lindo Carrión

Esto es: Si la corriente es de la forma: Como podemos observar la Potencia promedio total absorbida es por supuesto igual a la Potencia promedio total entregada. En general no podemos aplicar la superposición a la potencia. Debemos, no obstante, enumerar que hay un caso especial en el que la superposición se aplica a la potencia, esto es cuando las señales senoidales están armónicamente relacionas. Esto es: Si la corriente es de la forma: i(t) = I1cos(ω1t + 1 ) + I2cos(ω2t + 2) Y si nω1= mω2, donde son enteros diferentes, entonces: De modo que cosω1t tiene n periodos completos en el tiempo T y cosω2t tiene m periodos completos en el tiempo T. Esas senoidales se dice que están armónicamente relacionas. C. R. Lindo Carrión

Donde 1 y 2 son periódicas en T La potencia promedio absorbida por la Resistencia R es un intervalo de tiempo T esta dada por: Donde 1 y 2 son periódicas en T Como: La integral será cero. C. R. Lindo Carrión

La superposición se aplica si una y solo una de las fuentes es CD. Por lo tanto: La superposición se aplica si una y solo una de las fuentes es CD. Ejemplo: La corriente en una resistencia de 2Ω es de la forma i(t) = 4cos(377t + 30º) + 2cos(754t + 60º) A. Deseamos encontrar la potencia promedio absorbida por la resistencia. solución: 1 = 377 y 2 = 754, es decir, 2 = 21, entonces la potencia será: C. R. Lindo Carrión

Transferencia Máxima de Potencia Promedio Para ello no vamos a auxiliar del circuito mostrado en la Figura 4 La potencia promedio en la carga es: donde ZTH = RTH +jXTH y ZL = RL +jXL La magnitud de la corriente fosorial y el voltaje fasorial están dados por las siguientes expresiones: C. R. Lindo Carrión

Los ángulos de fase para la corriente fasorial y el voltaje fasorial están contenidos en la cantidad: Note también que: y además Entonces: C. R. Lindo Carrión

Nuestro problema se reduce entonces a maximizar: Desde el punto de vista de maximizar PL, VTH es una constante, la cantidad (XL + XTH) no absorbe potencia y, por lo tanto, cualquier valor diferente de cero de esta cantidad solo sirve para reducir PL. De aquí que podemos eliminar este término seleccionando XL=-XTH. Nuestro problema se reduce entonces a maximizar: Sin embargo esta es la misma cantidad que maximizamos en el caso puramente resistivo seleccionando RL=RTH. Por lo tanto, para una transferencia máxima de potencia promedio que se muestra en la Figura 4, ZL debe elegirse de forma que: ZL = RL + jXL = RTH – jXTH = ZL* Finalmente, si la impedancia de carga es puramente resistiva (es decir, XL = 0), la condición para máxima transferencia de potencia promedio puede derivarse mediante la expresión: C. R. Lindo Carrión

El valor de RL que maximiza PL bajo la condición XL = 0 es: Ejemplo: Para el circuito mostrado en la Figura 6 encuentre la potencia máxima transferida a al carga. Solución: Necesitamos encontrar la impedancia de Thévenin ya que para máxima transferencia de potencia promedio ZL = ZTH. Para ello nos auxiliamos de la Figura 7. C. R. Lindo Carrión

ZTH = (2 + j)||(4) = 1.4 + j0.43 Ω ZL = 1.4 - j0.43 Ω Entonces: Para encontrar la potencia máxima transferida a la carga, necesitamos el voltaje de Thévenin. C. R. Lindo Carrión

Valores efectivos o rms =0 Valores efectivos o rms Además de corriente directa y señales senoidales existen otro tipo de fuentes de señal, la técnica mediante la cual podemos comparar la efectividad de las diferentes fuentes de entregar potencia a una carga es que surge la definición de valor efectivo de una forma de onda periodica, que representa voltaje o corriente. El valor efectivo de una corriente o voltaje es la corriente o voltaje estable (CD) que transfiere la misma potencia promedio que la corriente variable. entonces: De aquí el nombre rms (root mean square) raíz cuadratica media Como la CD es constante, el valor rms de la CD es simplemente el valor constante. C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 20

Veamos el caso senoidal =0 Veamos el caso senoidal i(t) = IMcos(ωt - ) con periodo T = 2/, entonces: recordando que: entonces: C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 21

Al usar valores rms para el voltaje y la corriente se tiene: =0 Al usar valores rms para el voltaje y la corriente se tiene: La potencia absorbida por una resistencia R es: Ejemplo: Determine el valor efectivo de la forma de onda de corriente mostrado en la Figura 8. C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 22

para 0 < t < T, entonces: =0 Solución: para 0 < t < T, entonces: entonces: C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 23

=0 Ejemplo: Determine el valor efectivo de la forma de onda de voltaje mostrado en la Figura 9. C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 24

Solución: 4t V para 0 < t < 1s 0 V para 1 < t < 2s =0 Solución: 4t V para 0 < t < 1s 0 V para 1 < t < 2s -4t+8 V para 0 < t < 1s T=3s v(t) = C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 25

donde el valor rms de la corriente total es: =0 Si la corriente en una resistencia R esta compuesta por una suma de ondas senoidales de frecuencias diferentes, la potencia absorbida por la resistencia puede ser expresada como: donde el valor rms de la corriente total es: cada corriente representa una corriente de diferente frecuencia C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 26

=0 Ejemplo: Para la corriente i(t) = 12 sen377t + 6sen(754t + 30º) A. Determine el valor efectivo de dicha corriente. Solución: C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 27