MATEMÁTICA FINANCIERA TEMA 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I PORCENTAJES TEMA 2.2 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I PORCENTAJE La proporcionalidad se expresa con un cociente, una fracción a --- = r , siendo r la razón de proporcionalidad o simplemente razón. a’ PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO Un porcentaje es una proporcionalidad cuyo denominador es 100. Su símbolo es %. Para comparar dos razones se utilizan los porcentajes. EJEMPLO En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 40 --- = ------ = 40 % , que es el porcentaje de aprobados. 5 100 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I OTRO EJEMPLO En Matemáticas han aprobado 2 de cada 5 alumnos, en Latín 3 de cada 8, y en Economía 4 de cada 9. ¿Dónde han aprobado más, porcentualmente?. 2 40 --- = ------ = 40 % , que son los aprobados en Matemáticas. 5 100 3 37,5 --- = -------- = 37,5 % , que son los aprobados en Latín. 8 100 4 44,44 --- = ---------- = 44,44 % , que son los aprobados en Economía. 9 100 El mayor porcentaje de aprobados es en Economía. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I TANTO POR UNO En una proporción, se llama tanto por uno a la expresión decimal que resulta de efectuar la división. EJEMPLO En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 / 5 = 0,4 , que es el tanto por uno. TANTO POR UNO ENCADENADOS La aplicación sucesiva de porcentajes, o tantos por uno, de una cantidad se llama tantos por uno encadenados y es equivalente al producto de estos. Si nos hacen un 20% de descuento: 100 – 20 = 80  Se paga el 80% del precio. Si nos imponen un 16% de IVA: 100 + 16 = 116  Se paga el 116 % del precio. En total: El 116% del 80% será 1,16 . 0,8 = 0,928 , que es el 92,8 % del precio. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Índice de variación En un aumento o disminución porcentual, el número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación. C  1,12 C ; 1,12 es el índice de variación. Ejemplo: El valor de una vivienda de tipo medio subió un 7,5 % en el último año. ¿Cuál es el índice de variación?.¿Cuánto costará ahora una vivienda que hace un año su precio era de 120.000 €?. Cien euros de hace un año serán ahora 100 + 7,5 = 107,5 Cada euro de hace un año valdrá ahora 1 + 0,075 = 1,075 Que es el índice porcentual: 1,075 Valor actual de la vivienda: 120.000 x 1,075 = 129.000 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Aumentos y disminuciones porcentuales En un aumento porcentual del r %, el índice de variación es 1 + r/100 En una disminución porcentual del r %, el índice de variación es 1 – r/100. Ejemplo: Un ordenador costaba hace un año 750 €. Ahora sabemos que vale un 20 % menos. Hallar el índice de variación y lo que cuesta ahora. Cien euros de hace un año serán ahora 100 - 20 = 80 Cada euro de hace un año valdrá ahora 1 – 0,20 = 0,80 Que es el índice porcentual: 0,80 Valor actual del ordenador: 750 x 0,80 = 600 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Valor final Para calcular el valor final, en un aumento o en una disminución porcentual, se halla el índice de variación (que conviene expresarlo en forma decimal) y se multiplica por la cantidad inicial. Más ejemplos: Un pendriver, un apartamento y una lavadora valían hace un año 50 €, 100.000 € y 300 € respectivamente. Ahora valen un 30% menos, un 10% más y un 15% menos respectivamente. Hallar los índices de variación y el precio actual. Pentdriver: Índice de variación =1 - r/100 = 1 – 0,30 = 0,70 Apartamento: Índice de variación =1 + r/100 = 1 + 0,10 = 1,10 Lavadora: Índice de variación =1 - r/100 = 1 – 0,15 = 0,85 PVP Pentdriver: 50.0,70 = 35 € PVP Apartamento: 100.000 x 1,10 = 110.000 € PVP Lavadora: 300. 0,85 = 255 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Índice de variación global Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se calculan los índices de variación correspondientes a los distintos pasos y se multiplican. Se obtiene, así, el índice de variación global. Ejemplo A finales de 2003 un piso costaba 180.000 €. En el año 2004 su precio aumentó un 12%, en el año 2005 aumentó un 10% y en el año 2006 aumentó un 8,5 %. Hallar el valor del piso a principios de 2007. 2004  Índice de variación: 1 + 0,12 = 1,12 2005  Índice de variación: 1 + 0,10 = 1,10 2006  Índice de variación: 1 + 0,085 = 1,085 Índice global: 1,12 . 1,10 . 1,085 = 1,33672 Precio actual del piso: 180.000 . 1,33672 = 240.609 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Cálculo de la cantidad inicial Sabemos que: Cantidad inicial +/- r% = Cantidad final Cf = Co ( 1 +/- r/100) Cf = Co . Índice de variación Luego: Co = Cf / Índice de variación Ejemplo 1 Un coche nos ha costado 18.000 €. Nos dicen que en este último año ha subido un 5%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año?. Índice de variación = 1 + r/100 = 1 + 5/100 = 1,05 PVP (2006) = PVP (2007) / Índice de variación = 18.000 / 1,05 = 17.123 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 2 Un piso nos ha costado 180.000 €. Nos dicen que en este último año ha subido un 8%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año?. Índice de variación = 1 + r/100 = 1 + 8/100 = 1,08 PVP (2006) = PVP (2007) / Índice de variación = 180.000 / 1,08 = 166.667 € Ejemplo 3 Un ordenador nos ha costado 1.000 €. Nos dicen que en este último año han bajado un 15%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año?. Índice de variación = 1 - r/100 = 1 - 15/100 = 0,85 PVP (2006) = PVP (2007) / Índice de variación = 1.000 / 0,85 = 1.176 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 4 He obtenido 12.000 € al vender una plaza de garaje que compré hace un año. Su precio ha aumentado en un 10%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 10% de su valor de venta. ¿Por cuánto dinero compré la plaza de garaje?. Índice global = (1 + r/100). (1 – r’/100) = = (1 + 10/100).(1 – 10/100) = = 1,1 x 0,9 = 0,99 Po = Pf / Índice de variación encadenado Po = 12.000 / 0,99 = 12.120 € Como se ve he perdido dinero, pues aunque los porcentajes son iguales (10%), el de Hacienda es sobre una cantidad mayor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 5 He obtenido 2.000 € al vender un coche de segunda mano que compré hace un año. Su precio ha aumentado en un 8%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 4% de su valor de venta. ¿Por cuánto dinero compré el coche?. Índice global = (1 + r/100). (1 – r’/100) = = (1 + 8/100).(1 – 4/100) = = 1,08 x 0,96 = 1,0368 Po = Pf / Índice de variación encadenado Po = 2.000 / 1,0368 = 1.929 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 6 Un vestido de novia, a lo largo del año sufre las siguientes variaciones en su precio: En Marzo sube un 10%, en Mayo sube un 15%, en Agosto baja un 8% y en Noviembre baja un 12%. ¿Qué me costó en Enero si ahora (Diciembre) vale 2.000 €?. Índice global = (1 + r/100). (1 + r/100). (1 – r’/100). (1 – r’/100) = = (1 + 10/100). (1 + 15/100). (1 – 8/100). (1 – 12/100) = = 1,10 x 1,15 x 0,92 x 0,88 = 1,21 Po = Pf / Índice de variación encadenado Po = 2.000 / 1,21 = 1.653 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I