Bloque II * Tema 056 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS CASOS DE RESOLUCIÓN Sea un triángulo rectángulo de lados a, b y c El lado a es la hipotenusa y los lados b y c los catetos. Los lados cumplirán siempre con el teorema de Pitágoras: a2=b2+c2 Sean A, B y C los ángulos de dicho triángulo, donde A=90º Los ángulos B y C serán siempre complementarios: B+C=90º Resolver un triángulo (rectángulo o no) es hallar sus tres lados y sus tres ángulos. De esos 6 datos, es suficiente conocer 3 de ellos. Si además, el triángulo es rectángulo, al conocer un ángulo (A=90º), será suficiente con darnos 2 de los restantes 5 datos, excepto si nos dan los ángulos B y C, en cuyo caso el triángulo queda indeterminado. Datos necesarios a, b b, B a, c b, C b, c c, B a, B c, C a, C B, C @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicio_1 Dado un cateto y el ángulo opuesto En un triángulo rectángulo el lado b mide 8 cm y el ángulo opuesto al mismo mide 60º. Hallar los restantes datos, el perímetro y la altura. Resolución Aplicando la definición de seno de un ángulo: sen B = b/a sen 60º = 8 / a  a = 8 / sen 60º = 8 / 0,866 = 9,24 cm El ángulo C será: C=90 – B = 90 – 60 = 30º El lado c se puede calcular por el T. de Pitágoras: c = √(a2 – b2) = √(9,242 – 82) = √21,33 = 4,62 cm El perímetro y el área serán: P=a+b+c = 9,24+8+4,62 = 21,86 cm A=b.c/2 = 8.4,62/2 =18,48 cm2 b=8 cm A B =60º @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicio_2 Dado un cateto y el ángulo adyacente En un triángulo rectángulo el lado b mide 8 cm y el ángulo opuesto al mismo mide 30º. Hallar los restantes datos, el perímetro y la altura. Resolución Aplicando la definición de coseno de un ángulo: cos C = b/a cos 30º = 8 / a  a = 8 / cos 30º = 8 / 0,866 = 9,24 cm El ángulo B será: B=90 – C = 90 – 30 = 60º El lado c se puede calcular por el T. de Pitágoras: c = √(a2 – b2) = √(9,242 – 82) = √21,33 = 4,62 cm El perímetro y el área serán: P=a+b+c = 9,24+8+4,62 = 21,86 cm A=b.c/2 = 8.4,62/2 =18,48 cm2 C =30º b=8 cm A @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicio_3 Dado un cateto y la hipotenusa En un triángulo rectángulo el lado b mide 8 cm y el ángulo opuesto al mismo mide 30º. Hallar los restantes datos, el perímetro y la altura. Resolución El lado c se puede calcular por el T. de Pitágoras: c = √(a2 – b2) = √(102 – 82) = √36 = 6 cm Aplicando la definición de seno de un ángulo: Sen B = b/a Sen B = 8 / 10 = 0,8  B = arc sen 0,8 = 53,13º El ángulo C será: C=90 – B = 90 – 53,13 = 36,87º El perímetro y el área serán: P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm A=b.c/2 = 8.6/2 =24 cm2 a =10 cm b=8 cm A @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicio_4 Dado los dos catetos En un triángulo rectángulo el lado b mide 8 cm y el lado c mide 6 cm. Hallar los restantes datos, el perímetro y la altura. Resolución El lado a se puede calcular por el T. de Pitágoras: a = √(b2 + c2) = √(82 + 62) = √100 = 10 cm Aplicando la definición de tangente de un ángulo: tg B = b/c tg B = 8 / 6 = 1,33  B = arc tg 1,33 = 53,13º  B = arc tg 1,33 = 233,13º, que no valdría al ser > 90º El ángulo C será: C=90 – B = 90 – 53,13 = 36,87º El perímetro y el área serán: P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm A=b.c/2 = 8.6/2 =24 cm2 b=8 cm A c =6 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Problema_1 Para medir la altura de un edificio vertical inaccesible, hemos medido la distancia a su pie (10 m) y el ángulo que forma la visual con el suelo plano (60º). Hallar dicha altura. Resolución Aplicando la definición de tangente de un ángulo: tg α = h/d tg 60 = h / 10  h = 10.tg 60º = 10.1,732 = 17,32 m h α=60º d=10 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Problema_2 Hallar la distancia, D, entre las cúspides de dos edificios para poder construir una pasarela entre ambos. D β H h d’=24 m α=30º d=60 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Resolución: La altura, h, del edificio más bajo la podemos calcular por trigonometría, aplicando la tangente del ángulo conocido al formarse un triángulo rectángulo: tg α = h/d tg 30 = h / 60 = 1,33  h = 60. 0,5773 = 34,64 m El ángulo β será igual al ángulo α, ya que las cúspides están alineadas con la visual trazada desde donde nos encontramos: β =30ºB En el triángulo rectángulo que forman las cúspides conocemos: Un ángulo, β= 30º, y un cateto, 24 m, que es la separación horizontal de las torres. Por trigonometría: Cos β = d’ / D Cos 30º = 24 / D D= 24/cos 30º D= 24/0,866 D= 27,7136 m D β d’=24 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Problema_3 Hallar la altura, h, de un edificio inaccesible, sabiendo que desde donde nos encontramos la visual a la cúspide forma un ángulo de 45º con el suelo plano, y que al alejarnos 60 m dicho ángulo mide 30º. h α=30º β=45º 60 m d @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Resolución: En el triángulo rectángulo pequeño, el de la posición inicial, tenemos: Catetos d y h y un ángulo conocido. Por trigonometría: tg 45 = h / d  1 = h / d  h = d En el triángulo rectángulo grande, el de la posición final, tenemos: Catetos (60 + d) y h y un ángulo conocido. Por trigonometría: tg 30 = h / (60+d) Como nos había dado: h = d Sustituimos el valor de d por h: tg 30 = h / (60+h) Operamos: 0,57735.(60+h) = h 34,64 + 0,57735.h = h 34,64 = h – 0,57735.h 34,64 = 0,42265.h h= 34,64 / 0,42265 h= 81,96 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Problema_4 Una plaza tiene forma de trapecio rectángulo, del cual conocemos la medida de la base menor, 40 m, la altura, 60 m, y el ángulo obtuso, 120º. Hallar los restantes lados. Resolución: Trazando una línea paralela a la altura, se forma un triángulo rectángulo del que conocemos: Un cateto, la altura h=60 m. Un ángulo, 120 – 90 = 30º Por trigonometría: Cos 30º = 60 / l  l = 60 / cos 30º l = 60 / 0,866 = 69,28 m el lado oblicuo. El otro cateto del triángulo rectángulo valdrá: c = √(69,282 – 602) = √(4799,72 – 3600) = = √1199,72 = 34,64 m La base mayor medirá pues: B = 40 + 34,64 = 74,64 m 40 m α=120º l 60 m B @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS