DERIVADA

CONCEPTO DE DERIVADA La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. La definición de derivada es la siguiente: Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.

DERIVADA DE UN PUNTO La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

EJEMPLO

DERIVADA DE LA SUMA   La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones. Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

EJEMPLOS * f(x) = -2 𝑥 2 -5x +2 f´(x) = -4x -5 * f(x) = 3 𝑥 3 -2 𝑥 2 -5x +2 f´(x) = 9 𝑥 2 -4x -5

Derivadas de funciones La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

Ejemplo

Derivada de x La derivada de x es igual a 1. Es decir, la derivada de la función identidad es igual a la unidad DERIVADA DE UNA POTENCIA DE BASE DE X

DERIVADA DE UNA RAIZ RADICADO DE X

DERIVADA DE UNA POTENCIA La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base. Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno. f(x) = xk f'(x)= k · xk−1

EJEMPLOS

DERIVADA DE UNA RAIZ La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno. DERIVADA DE LA RAIZ CUADRADA

EJEMPLOS

DERIVADA DE SENO La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función. DERIVADA DEL COSENO La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función.

DERIVADA DE LA TANGENTE La derivada de la función tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función DERIVADA DE COTANGENTE La derivada de la función cotangente es igual a menos el cuadrado de la cosecante de la función por la derivada de la función.

DERIVADA DE SECANTE La derivada de la secante de una función es igual a la secante de la función por la tangente de la función, y por la derivada de la función. DERIVADA DE COSECANTE La derivada de la cosecante de una función es igual a menos la cosecante de la función por la cotangente de la función, y por la derivada de la función.

TEOREMA DE ROLLE Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c  (a, b) en el que f'(c) = 0. La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

EJEMPLO ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]? La función es continua en [0, 2]. No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

TEOREMA DE VALOR MEDIO El teorema del valor medio o de Lagrange dice que: Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto C €(a, b) tal que: La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante. El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).

EJEMPLO Determinar a y b para que la función cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2, 6]. En primer lugar se debe cumplir que la función sea continua en [2, 6]. En segundo lugar se debe cumplir que la función sea derivable en (2, 6).

TEOREMA DE CAUCHY El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c  (a, b) tal que:

REGLA DE L´HOPITAL Si en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe este límite coincide con  a regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones: 0 0 ∞ ∞

REGLAS BASICAS: Derivada de una constante: 𝑦=𝑘⇒𝑦´=0 Derivada de y = x : 𝑦=𝑥⇒𝑦´1 Derivada de la suma (resta): 𝑦=𝑓 𝑥 ±𝑔 𝑥 ⇒ 𝑦´=𝑓´ 𝑥 ±𝑔´(𝑥) Derivada del producto: 𝑦=𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 ⇒𝑦´= 𝑓´.𝑔+𝑓.𝑔´

JHON JAIRO DAVID TRUJILLO CALCULO DIFERENCIAL INGENIERIA DE SISTEMAS CORPORACION UNIVERSITARIA REMINTOGN

MUCHAS GRACIAS