Tema 2 Orden de contacto Polinomios de Taylor Teorema de Taylor Desarrollo de McLaurin Aplicación al cálculo de límites Aplicación al cálculo aproximado

Aproximación de funciones por polinomios Introducción

Orden de contacto Si f y g son funciones derivables hasta el orden n en un entorno del punto a, entonces: Si f(a) = g(a) se dice que f y g tienen un contacto de orden 0 en el punto a. Si f(a) = g(a), f´(a) = g´(a) se dice que f y g tienen un contacto de orden 1 en el punto a. Si f(a) = g(a), f´(a) = g´(a), f´´(a) = g´´(a) se dice que f y g tienen un contacto de orden 2 en el punto a. 4) En general, se dice que f y g tienen un contacto de orden n si f(a) = g(a), f´(a) = g´(a), …fn)(a) = gn)(a).

Orden de contacto f(x) = ex y T0 (x) = 1,tienen un contacto de orden cero el punto P(0, 1). f(0) = T0 (0) =1

Orden de contacto f(x) = ex y T1(x) = 1+x,tienen un contacto de orden uno el punto P(0, 1). f(0) = T1(0) =1 f´(0) = T1´(0) = 1

Orden de contacto f(x) = ex y T2(x) = 1+x+x2/2,tienen un contacto de orden dos en el punto P(0, 1) f(0) = T2(0) = 1 f´(0) = T2´(0) = 1 f´´(0) = T2´´(0) =1

Orden de contacto f(x) = ex y T3(x) = 1+x+x2/2+x3/6, tienen un contacto de orden tres en el punto P(0, 1) f(0) = T3(0) = 1 f´(0) = T3´(0) = 1 f´´(0) = T3´´(0) = 1 f´´´(0) = T3´´´(0) =1

Orden de contacto y = ex y = 1+x+x2/2 y = 1 Representamos conjuntamente las funciones anteriores: y = 1+x y = 1+x+x2/2+x3/6

Polinomios de Taylor

Teorema de Taylor Teorema El resto es un infinitésimo de orden superior a , en x = a, es decir El resultado anterior se indica simbólicamente así: . Teorema de Taylor (Fórmula de Taylor) Si las funciones están definidas en [a, x], entonces existe tal que . A esta expresión se la conoce como fórmula o desarrollo limitado de Taylor en el punto a. Luego en este caso , que se conoce como resto en forma de Lagrange. Como el número t no está determinado, tampoco lo está, aún así, esta expresión del resto es útil en muchas ocasiones para acotar el error cometido al considerar en lugar de la función su polinomio de Taylor.

Desarrollo de McLaurin Fórmula de McLaurin

Desarrollo de McLaurin Algunos desarrollos de McLaurin

Desarrollo de McLaurin Algunos desarrollos de McLaurin

Desarrollo de McLaurin Algunos desarrollos de McLaurin

Desarrollo de McLaurin Algunos desarrollos de McLaurin

Aplicación al cálculo de límites

Aplicación al cálculo de límites

Aplicación al cálculo de límites

Aplicación al cálculo de límites

Aplicación al cálculo aproximado