UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE COMPUTACION ASIGNATURA: SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL PROFESOR: ING. GERARDO ALBERTO LEAL

El tipo de Función de Transferencia [ G (s) ]que lo describe. DINÁMICA DE PROCESOS: Se refiere al comportamiento y la respuesta de un Proceso, al ser estimulado. La dinámica de un procesos se puede clasificar según: El tipo de Función de Transferencia [ G (s) ]que lo describe. El tipo de señal de excitación [ U (s) ]. LOS MODELOS DE PROCESOS MAS COMUNES SON: Proceso constante Proceso de primer orden Proceso de segundo orden Proceso de orden superior Proceso con polos y ceros

Y(s) = U(s).G(s) Y(s) = 1/S . K Y(s) = K/S L-1[ Y(s) ] = L-1{K/S} PROCESO CONSTANTE: Su G(s) esta definida por una constante “K” que representa la ganancia del proceso. G(s) = K U(s) Y(s) = K U(s) RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO U(s)= 1/S: K to t y(t) y(t) = K u(t) = 1 Y(s) = U(s).G(s) Y(s) = 1/S . K Y(s) = K/S L-1[ Y(s) ] = L-1{K/S} L-1[ Y(s) ] = K L-1{1/S} y(t) = K

PROCESO DE PRIMER ORDEN: Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de 1er grado, ya que se origina de una Ecuación Diferencial de 1er orden. G(s) = K TS + 1 U(s) Y(s) = K . U(s) RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO U(s) = 1/S: T t K y(t) 0,63K Régimen Estable Transitorio Y(s) = K . U(s) TS + 1 = K . (1- e-t/T) K = Constante de Ganancia o Amplitud de U(s). Muesta el valor final de la respuesta. T = Constante de tiempo (Seg, Min, Hrs). Tiempo en el que la respuesta adquiere el 63,2% del valor final

PROCESO DE SEGUNDO ORDEN: Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de 2do grado, ya que se origina de una Ecuación Diferencial de 2do orden. Caso a: Ecuación Característica G(s) = K T2S2 + 2ζTS + 1 U(s) Y(s) ζ = Factor de Amortiguamiento T = Constante de Tiempo (Seg, Min, Hrs) K = Constante de Ganancia o Amplitud de U(s) Caso b: Forma Canónica G(s) = K S2 + 2ζ wnS + wn2 U(s) Y(s) ζ = Factor de Amortiguamiento T = Constante de Tiempo (Seg, Min, Hrs) K = Constante de Ganancia o Amplitud de U(s) wn = Frecuencia Natural. (Frecuencia de oscilación de la respuesta del proceso.) wn = 1/T

PROCESO DE SEGUNDO ORDEN: Caso c: Procesos de Primer Orden en Serie G(s) = K1 T1S + 1 U(s) Y(s) G(s) = K2 T2S + 1 G(s) = K T1T2S2 + (T1+T2)S + 1 U(s) Y(s) T1T2 = T2 T1 +T2 = 2 ζ T K1 K2 = K

0< ζ < 1 (Subamortiguada) RESPUESTAS DEL PROCESO DE SEGUNDO ORDEN AL ESCALÓN UNITARIO U(s) = 1/S: ζ = 0 (Oscilatoria) 0< ζ < 1 (Subamortiguada) G(s) = K T2S2 + 1 ζ = 1 (Amortiguada) K G(s) = K T2S2 + 2TS + 1 ζ > 1 (Sobreamortiguada) G(s) = K T2S2 + 2ζTS + 1

CARACTERISTICAS DE LAS RESPUESTAS DE LOS SISTEMAS DE 2DO ORDEN: Subamortiguado: Repuesta rápida con oscilaciones antes de estabilizar. Amortiguado: Repuesta menos rápida libre de oscilaciones antes de estabilizar. Sobreamortiguado: Repuesta lenta libre de oscilaciones antes de estabilizar. Oscilatorio: Oscilaciones a una frecuencia natural wn

PROCESOS DE ORDEN SUPERIOR: PROCESOS CON POLOS Y ZEROS: Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de grado mayor a 2, ya que se origina de una Ecuación Diferencial de orden superior a 2. Para evaluar la dinámica de estos proceso se recurre al software de análisis de procesos tal como el Simulink-Matlab. Amortiguado: Repuesta mas rápida libre de oscilaciones antes de estabilizar. Subamortiguado: Repuesta rápida con oscilaciones antes de estabilizar. Denominador Grado 3 PROCESOS CON POLOS Y ZEROS: Su G(s) presenta polinomios de cualquier orden en el numerador y en el denominador. Se presentan en formas de raíces en le numerador llamadas Zeros y Raíces en el denominador llamadas Polos. Oscilatorio: Oscilaciones a una frecuencia natural wn Sobreamortiguado: Repuesta lenta libre de oscilaciones antes de estabilizar. Zeros: 1 Polos: 3

CARACTERÍSTICAS DE ANÁLISIS EN UN SISTEMA DE CONTROL: Se refiere a las propiedades que deben ser mejoradas, modificadas o mantenidas en un proceso en control CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES: Estabilidad: es la propiedad en la que un proceso mantiene su Y(s) dentro de ciertos limites al producirse un cambio en U(s). Lo determina el valor final de la señal de salida. Exactitud: es el margen de error que existe entre Y(s) y U(s) una vez el sistema esta en estado estable. Lo determina la diferencia entre el valor final y el valor deseado. Velocidad: es el tiempo que tarda la señal Y(s) en seguir a la señal U(s) para eliminar el error. Lo determina la constante de tiempo.