Tensiones y deformaciones Elasticidad Tensiones y deformaciones FN FC N = FN / A tensión normal  = FC / A tensión de corte Ashby Jones I

Tensión o compresión uniaxial Tensión de corte Presión hidrostática

Tensión uniaxial: Deformación normal L = u/l Deformación transversal t = v/l Módulo de Poisson:  = - t / L Tensión de corte: Deformación de corte  = w/l = tg θ  θ (ángulos pequeños)

dilatación  = V/V  3l/l Presión hidrostática dilatación  = V/V  3l/l Ley de Hooke: deformaciones pequeñas  las tensiones son proporcionales a las deformaciones N = E N ; E: módulo de Young = G  ; G ( = µ): Módulo de corte p = -K  ; K = módulo de compresión

dilatación  = V/V  3l/l Presión hidrostática dilatación  = V/V  3l/l Ley de Hooke: deformaciones pequeñas  las tensiones son proporcionales a las deformaciones N = E N ; E: módulo de Young = G  ; G ( = µ): Módulo de corte p = -K  ; K = módulo de compresión

Ashby-Jones

Ashby-Jones

Módulo de Young (E) Ashby-Jones

E, G y K tienen unidades de tensión (Mpa) En un material isótropo G = E / 2(1 + ); E = 9GK / (3K + G) ; E = 3K ( 1 -2)   Para metales,   1/3; G  (3/8) E; K  E K  curvatura

Tensor de tensiones La tensión aplicada sobre un plano de normal n es: La fuerza aplicada sobre un área definida por dos vectores r1 y r2 es: r1 x r2 r1 r2

Tensor de deformaciones Una tensión aplicada produce desplazamientos: (x1, x2, x3)  (x1 + u1, x2 + u2 , x3 + u3) Se definen las deformaciones como:

Ley de Hooke generalizada Cijkl es la matriz de constantes elásticas En un material isótropo: Los componentes de Cijkl se escriben como combinación de los módulos E, G y  Muchos componentes Cijkl son nulos.

Ley de Hooke generalizada:

Tensión uniaxial:

Tensión de corte:   = 2G 12 = G  ( = 212 )

Energía elástica:   Tensión uniaxial: Análogamente, para tensión de corte puro Para tensión multiaxial:

Deformación elástica  = 0   

Comportamientos elásticos Comportamiento lineal Comportamiento no-lineal Comportamiento anelástico

Deformación plástica Ej: metal Pasado el límite elástico,  deformación permanente: deformación plástica tensión deformación Deformación Permanente

Líneas de deslizamiento Bordes de grano líneas de deslizamiento C. J. McMahon Jr. – C. D. Graham Jr. Introduction to Engineering Materials: The bicycle and the Walkman

Deformación plástica Deformación plástica Deformación elástica tensión  = 0  Deformación plástica  tensión deformación  = 0 C. J. McMahon Jr. – C. D. Graham Jr. Introduction to Engineering Materials: The bicycle and the Walkman

Micro pilares de Mg; Ensayo de compresión 1,6 um J.R. Greer, J.Th.M. De Hosson / Progress in Materials Science 56 (2011) 654–724

Plano de deslizamiento Dirección de deslizamiento Sistemas de deslizamiento estructura material Plano de deslizamiento Dirección de deslizamiento FCC Cu, Ag, Au, Al {1 1 1} <-1 1 0> BCC -Fe, W, Mb -Fe, W -Fe, K {1 1 0} {2 1 1} {3 2 1} < -1 1 1> HCP Cd, Zn, Mg, Ti, Be (0001) <1 1 -2 0> basal Ti, Mg, Zr {1 0 -1 0} prismáticos {1 0 -1 1} piramidales basal prismático piramidal

Tensión resuelta Es la tensión de corte efectiva sobre un sistema de deslizamiento específico    = F/A  Factor de Schmid 0 < | | < /2

Tensión de corte teórica para la deformación plástica   G / 6  E / 16

Material Structure System CRSS (Mpa) Tensión crítica resuelta para deslizamiento (Critical resolved Shear Stress) (CRSS) Material Structure System CRSS (Mpa) Cu FCC {111}<110> 0,6 Al 1,0 Zn HCP {0001}<2 1 1 0> 0,18 Cd 0,57 Zr {1010}<2 1 1 0> 6,2 Ti 49 110 Fe BCC ({110},{112},{123})<111> 28 Reed-Hill / Abbaschian

1934: Orowan, Polanyi y Taylor proponen que el mecanismo de la deformación plástica es el deslizamiento de dislocaciones de borde. 1938: Burgers propone que también el movimiento de dislocaciones de hélice son un mecanismo para la deforamción plástica. 1954: observación directa de dislocaciones por microscopía electrónica de transmisión.

Deformación por deslizamiento de una dislocación de borde Mecanismos microscópicos de la deformación plástica Deformación por deslizamiento de una dislocación de borde Engineering Materials – M. F. Ashby, D.R.H. Jones

Deformación por deslizamiento de una dislocación de hélice.

Sistemas de deslizamiento Movimiento de dislocaciones Mecanismo microscópico de deformación plástica:  deslizamiento de dislocaciones Sistemas de deslizamiento plano dirección Movimiento de dislocaciones plano de deslizamiento vector de Burgers

Estudio del comportamiento mecánico de materiales Probetas y máquinas de ensayos mecánicos. Callister

Laboratorio de ensayos mecánicos, edificio de Materiales Instron 1123 Electromecánica

Instron 5563 Electromecánica Laboratorio de ensayos mecánicos, edificio de Materiales Instron 5563 Electromecánica

Laboratorio de ensayos mecánicos, edificio de Materiales MTS 810 hidraulica

Comportamiento mecánico de metales Tensión de fluencia por el método de la deformación de 0.002 Comportamiento de algunos aceros tensión tensión deformación deformación Callister

resistencia a la tracción Ensayo de tracción hasta rotura en un material dúctil Carga de rotura o resistencia a la tracción Tensión Deformación Callister

Curva de tensión deformación en material dúctil y frágil Callister 38

Comportamiento mecánico del hierro como función de la temperatura Transición dúctil-frágil Callister 39

Ensayos de tracción en polímeros

Ensayos de tracción en polímeros

Ensayos mecánicos de cerámicos Callister

Cerámicos

Ashby-Jones I

Ashby-Jones I

Tensión de fluencia de diferentes materiales Ashby-Jones I

Ensayo de tracción hasta rotura en un material dúctil Tensión Deformación Callister 47

Comportamiento típico de un metal dúctil Módulo de Young Tensión n stress Resistencia mecánica (Y) Tensile Strength Tensión de prueba 0,1% 0.1% Proof stress Tensión de fluencia (Y) Yield strength 0,1% Deformación n strain Deformación a la rotura Strain after fracture (F) Ashby Jones I

Tensión y deformación nominales (ingenieriles) y reales A0: área inicial; A: área l0: longitud inicial l: longitud A0 . l0 = A . l Tensiones nominales o ingenieriles: n = F / A0: tensión nominal n =  l / l0: deformación nominal Tensiones reales  = ln (1 + ); deformación real  = F / A: tensión real  = F / A = F.l / A0 . L0 = (1 + )

Inestabilidad  angostamiento localizado Condición: dF = 0; d(.A) = 0  Ad + dA = 0  d / = - dA/A = dl/l = d  d / = d ó d/d =  Deformación  Tensión  (n vs. n)

Propiedades de dislocaciones Campo de distorsión elástica alrededor de dislocaciones hélice borde Energía (por unidad de línea) de una dislocación (= tensión de línea) Fuerza sobre una dislocación Fuente de dislocaciones

Dislocación de hélice: cálculo de los tensores de tensiones y deformaciones ℓ|| z Campo de desplazamiento: Elementos del tensor de deformaciones: Elementos del tensor de tensiones: 52

Dislocación de hélice: campo de tensiones ℓ|| z 53

Dislocación de borde: tensor de tensiones ℓ|| z 54

Dislocación de borde: campo de tensiones ℓ|| z y x 55

Energía por unidad de línea de una dislocación de hélice: Energía del núcleo de la dislocación  0,2 Gb2 R: radio máximo ro: radio mínimo hasta donde vale la teoría elástica del continuo R ~ 1 m; ro ~ 0,2 nm  ln (R/ro) ~ 8,5 T = Gb2 (Ashby-Jones: T = Gb2 / 2) Densidad de energía por unidad de volumen: Energía por unidad de línea: 56

Energía por unidad de línea de una dislocación de borde: 57

Fuerza sobre una dislocación  l2 r  ; tensión de corte r: distancia que se desplaza la dislocación trabajo En general: dislocación de vector de Burgers b y línea l, en presencia de un campo de tensiones , se desplaza r. El área barrida por la dislocación es : l x r Fuerza de Peach-Koehler 58

Interacciones entre dislocaciones: Para el caso de dos dislocaciones: se utiliza la expresión de Peach y Koehler, usando para  el tensor de tensiones generado por una dislocación (b, l) Fuerza entre dislocaciones (por unidad de línea): 59

Curvatura de una dislocación anclada en dos puntos  R  M z T x M Z: X: 60

Multiplicación de dislocaciones: fuente de Frank-Read Rc = L/2 L R > Rc 61

Multiplicación de dislocaciones Fuente de dislocaciones tipo Frank-Read Si “soldado” Si K.B. Kostin, universidad de Kiel (Alemania) 62

Fuente de Frank Read con un solo punto de anclaje Silicio Fuente: Ceramic Materials Science and Engineering; C. Barry Carter and M. Grant Norton; Springer 2007 63

Mecanismos de endurecimiento Endurecimiento por solución sólida Endurecimiento por trabajado Endurecimiento por precipitados Endurecimiento por reducción del tamaño de grano 64

Resistencia intrínseca al deslizamiento de una dislocación: Fuerza de Peierls-Nabarro p = fp / b 65

Material Structure System CRSS (Mpa) Tensión crítica resuelta para deslizamiento (Critical resolved Shear Stress) (CRSS) Material Structure System CRSS (Mpa) Cu FCC {111}<110> 0,6 Al 1,0 Zn HCP {0001}<2 1 1 0> 0,18 Cd 0,57 Zr {1010}<2 1 1 0> 6,2 Ti 49 110 Fe BCC ({110},{112},{123})<111> 28 Reed-Hill / Abbaschian 66

Endurecimiento por solución sólida (latón -Cu-Zn, Al-Mg, etc.)) Interacción de impurezas sustitucionales con dislocaciones Callister 67

 ss = fss / b Cu-Ni Endurecimiento por solución sólida: ∆ ~ √c Pérdida de ductilidad  ss = fss / b Callister 68

t = ft / b Endurecimiento por trabajado (deformación plástica) Fe-0.3-0.4%C α-Cu-Zn t = ft / b Callister 69

Endurecimiento por trabajado (deformación plástica) Callister 70

Endurecimiento por precipitación: obstáculos impenetrables bL = 2T (T tensión de línea) Si  > 2T/bL La dislocación supera los obstáculos. lazos de Orowan obs = fobs / b ; fobs = 2T/L (d) 71

Lazos de Orowan Cu-30%Zn () con partículas de Al2O3 J. P. Hirth en Physical Metallurgy (Cahn-Haasen Eds) Vol3. Cap 25 1996 72

Resumen de mecanismos de endurecimiento Endurecimiento por solución sólida Endurecimiento por precipitación Endurecimiento por trabajado Ashby-Shercliff-Cebon Materilas Engineering, Science, Processing and Design 73

Y ≈ 3 Y Las diferentes contribuciones al endurecimiento se suman: Cada mecanismo (j) aporta una tensión fj / b; entonces Y será: Y = fP /b + fss /b + ft /b + fobs /b. En un policristal, la tensión aplicada para lograr una tensión de corte Y será de al menos 2 Y (por el factor de Schmid). Para esa tensión comienzan a deformar los granos mejor orientados. La deformación masiva comienza a una tensión más alta, en factor (factor de Taylor, ≈ 1,5). que promedia la tensión sobre todos los posibles planos de deslizamiento. Por lo tanto, la tensión de fluencia será: Y ≈ 3 Y

Endurecimiento por reducción del tamaño de grano “pile-up”: acumulación de dislocaciones frente a un borde de grano: Callister 75

Endurecimiento por reducción del tamaño de grano Relación de Hall-Petch Y = Yo + A.d(-1/2) Cu-30%Zn () Callister 76 76