JUGANDO CON LOS NÚMEROS ENTEROS Prof. Ricci Valdivia 02.04.17

Buena temperatura: + 20 ºC Mucho frío: – 20 ºC De los números naturales a los enteros +20 +7 Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo – 250 – 20 +5000 – 776 – 7 – 5000 Buena temperatura: + 20 ºC El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar Mucho frío: – 20 ºC Soy rico: tengo +5000 euros Debo dinero: “tengo” -5000 euros Los números enteros están formados por: enteros positivos, enteros negativos y el cero Los números naturales se consideran enteros positivos. Por cada entero positivo hay un entero negativo. Van precedidos por un signo menos (–) 02.04.17

1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. Representación de los números enteros Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos: 1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. 2º. A la derecha del 0 se representa el +1. 3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos. Negativos Positivos –5 –4 –3 –2 –1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos. 4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos. 02.04.17

Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: Valor absoluto de un número entero Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: –2 +2 +1 +2 +3 +4 +5 +6 –1 –2 –3 –4 –5 Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso: El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2. Se indica así: Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras Otro ejemplo: 02.04.17

Se indica escribiéndolo entre barras. Así: Valor absoluto y ordenación de los números enteros Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo Se indica escribiéndolo entre barras. Así: Ordenación: Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando en la recta numérica está a la derecha. Más pequeños Más grandes +1 +3 +2 +4 +6 –5 +5 –4 –3 –2 –1 Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo. Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. 02.04.17

Para sumar dos números enteros del mismo signo: Suma de enteros del mismo signo Para sumar dos números enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. 2.º Al resultado se añade el signo que tienen. (+6) + (+12) = +18 (+4) + (+21) = +25 (+2) + (+3) = +5 +3 +2 +1 +3 +2 +4 +6 +5 –2 –1 (–2) + (–3) = –5 (–4) + (–11) = –15 (–17) + (–31) = –48 –3 –2 –4 –3 –1 –2 +2 +1 –6 –5 02.04.17

Para sumar dos números enteros de distinto signo: Suma de números enteros de distinto signo Nos han dado 12 soles Teresa y Miguel hacen cuentas ... (+12) + (–9) = +3 Y hemos gastado 9 soles Les quedan 3 soles Carola y Pablo también hacen sus cuentas ... Nos han dado 18 soles Y hemos gastado 19 soles ¿Les queda o deben dinero? (+18) + (–19) = –1 Deben 1 sol (Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto). Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor. 2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. 02.04.17

Para sumar varios números enteros: Suma de varios números enteros Veamos un ejemplo: (+100) + (–40) + (–70) + (+50) = (+100) + (+50) + (–40) + (–70) = = (+150) + (–110) = +40 Para sumar varios números enteros: 1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos. 2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido. Otros ejemplos: (+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5 (+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17 Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos. 02.04.17

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número Opuesto de un número entero 4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Se llaman opuestos. 4 = op.(–4) –4 = op. (+4) Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5 +1 +2 +3 +4 +5 +6 –1 –2 –3 –4 –5 –6 op.(5) = –5 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b) 8 –2 6 –8 2 –6 –6 –7 –5 –12 7 5 12 12 Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos. 02.04.17

El signo – tiene dos significados: Resta de números enteros Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. (+9) – (+5) = 9 – 5 = 4 (+9) – (–5) = 9 + 5 = 14 (–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) = –9 + 5 = –4 El signo – tiene dos significados: 1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5 2º. Como indicador de número negativo: –3 Algunos ejemplos: (+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0). (–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8 –7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43 02.04.17

Vamos a calcular: 9 – (12 + 3) Calculamos ahora: 12 – (10 – 6) El uso del paréntesis 9 – (12 + 3) Vamos a calcular: 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6 2º. También se puede hacer así: 9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6 Como ves, sale el mismo resultado. 12 – (10 – 6) Calculamos ahora: Son iguales 1º. Operando antes el paréntesis: 12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8 2º. También se puede hacer así: 12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8 Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras: 1º. Haciendo las operaciones del paréntesis. 2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene. 02.04.17

se puede calcular de dos maneras: Operar con paréntesis 8 + (4 – 14) La expresión: se puede calcular de dos maneras: 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2 2º. Quitando el paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 2 Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él. 15 – (12 – 2) Análogamente: se puede calcular de dos maneras: 1º. Operando antes el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5 Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro. Otros ejemplos: (a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis). (c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis). 02.04.17

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS: 1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO SE SUMAN y el resultado queda con el MISMO SIGNO que tienen los números que sumé. EJEMPLO: 1 + 3 + 5 + 8 = 17 -1 - 3 - 5 - 8 = - 17 POSITIVOS POSITIVO NEGATIVOS NEGATIVO 2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto) y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto). EJEMPLO: 5 + 3 = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO 5 - 3 = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO 02.04.17

OPERACIONES CON PARÉNTESIS Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA entonces hay un signo positivo que no se escribe. EJEMPLO: HAY UN SIGNO POSITIVO 4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay : un SIGNO NEGATIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro. - ( 4 - 3 ) = - 4 + 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOS EJEMPLO: un SIGNO POSITIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro. ( 4 - 3 ) = 4 - 3 NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS EJEMPLO: 02.04.17