Sistemas de ecuaciones lineales Prof. Adrian Sedano De La Cruz

Método gráfico La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el método gráfico: Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan. Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe: x 2 x – 1 y – 1 3 y 1

Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe: y 3 (2, 3) 1 – 1 2 x – 1 El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:

El sistema tiene solución única. Observe: Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema. Ejemplo 8 El sistema tiene solución única. Observe: y 2 (4, 1) 1 1 2 4 x

El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe: Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta. Ejemplo 10 El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe: y x 1 - 2

El sistema no tiene solución. Observe: Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí. Ejemplo 11 El sistema no tiene solución. Observe: y 1 x - 2 - 3

Interpretación geométrica Cada ecuación representa una recta: - y x + 2y = 7 2x + y = 8 2x + y = 8 El punto de corte es la única solución. Sistema compatible - determinado . (3,2) x + 2y = 7 C.S. = {(3;2)} x

Interpretación geométrica y - x + 2y = 7 2x + 4y = 14 - 2x + 4y = 14 Rectas coincidentes: infinitas soluciones Sistema compatible - indeterminado x + 2y = 7 x C.S. = {(x;y) Є R2 / x + 2y = 7}

Interpretación geométrica y x + 2y = 7 2x + 4y = 8 - - Rectas paralelas: no admite solución. Sistema Incompatible x + 2y = 7 C.S. = Ø x 2x + 4y = 8

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES COMPATIBLE Indeterminado : infinitas soluciones. Determinado: solución única. INCOMPATIBLE CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO

Ejemplos: Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico Sistemas de Ecuaciones Ejemplos: Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico

Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones Las dos líneas son paralelas, no tienen puntos de intersección. El conjunto de soluciones es vacío.

Sistemas de Ecuaciones El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas.

x AÑOS y AÑOS x+ y= 150 x– y= 6 2 + = 10 3 + 2 = 18 2 a+ 2b= 10 ESTAMOS HECHOS UNOS JOVENCITOS . ENTRE LOS DOS , 150 AÑOS. SÍ, RAIMUNDO, PERO YO SIGO SIENDO 6 AÑOS MÁS JOVEN QUE TÚ . x AÑOS y AÑOS x+ y= 150 x– y= 6 2 + = 10 3 + 2 = 18 2 a+ 2b= 10 3 a+ 2b= 18

Sistemas de Ecuaciones Aplicaciones: 1. El precio de un boleto para cierto evento es de $2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden 450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

Sistemas de Ecuaciones 2. Una lancha de vapor operada a toda máquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10 minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora.

Sistemas de Ecuaciones Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,

Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . Sistemas de Ecuaciones Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

Sistemas de Ecuaciones 5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?

Sistemas de Ecuaciones Respuestas 1) x = 1, y = -4 2) x = 3, y = 8 3) x = 1, y = -3 4) x = -1, y = 1 5) x = 5, y = -2 6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%

Fin