ÁRBOLES

 Un árbol es un grafo en el cual existe un único camino simple entre cada par de vértices.  Un árbol con raíz es un árbol en el que uno de sus vértices ha sido designado como la raíz y todas las aristas están orientadas de modo que se alejan de la raíz PROPIEDADES. En (T, v0) *T es conexo *Es acíclico *v0 es única, no tiene grado positivo. * La cantidad de aristas es igual a la cantidad de vértices menos uno: |A| = |V| - 1 *Por ser un grafo cumple con * Relacionando ambas: Bosque: es un grafo acíclico no conexo en el cual cada una de sus componentes conexas es un árbol. Propiedad: En un bosque con k componentes :|V| = |A|+ K

CARACTERÍSTICAS RAÍZ: Es única. Todos los demás elementos descienden de él. La Raíz no tiene Padre PADRE: X es padre de Y sí y solo sí X es antecesor de Y. HIJO: X es hijo de Y, sí y solo sí el nodo X es apuntado por Y. También se dice que X es descendiente directo de Y. HERMANO: descendientes directos de un mismo nodo. HOJA: nodos que no tienen hijos. NODO: Son los Vértices o elementos del Árbol. NODO INTERIOR: Es un nodo que no es raíz ni Terminal. GRADO: Es el número de descendientes directos de un determinado nodo. GRADO DEL ÁRBOL: Es el máximo grado de todos los nodos del árbol. NIVEL: El nivel de un vértice es la longitud del único camino desde la raíz hasta él. El nivel de la raíz es 0. ALTURA O PROFUNDIDAD : máxima distancia de un vi a v0 ÁRBOL EQUILIBRADO O BALANCEADO : Un árbol de altura (H) está equilibrado o balanceado si todas sus hojas están en los niveles H o H – 1 ó en ambas.

 A es la raíz del árbol.  B es hijo de A.  A es padre de B.  B y C son hermanos.  I,E,J,K,G,L son hojas.  B, D, F, C, H son nodos interiores  El grado de nodo A es 2.  Nivel del nodo A es 0.  Nivel B es 1.  Altura del árbol 3.  Es BALANCEADO…pues las hojas están solo en nivel 3 y 2

REGULAR o COMPLETO : todos los vi tienen n descendientes PLENO o LLENO : es regular y todas las hojas en el mismo nivel. ÁRBOL M-ARIO: m es el mayor grado que tiene uno de los vértices. ÁRBOL M-ARIO COMPLETO: todos los vértices tienen grado m, menos las hojas TEOREMA Si (T,v0) es m-ario completo con |V|=n h hojas i=n-h Entonces: 1) n=m*i +1 2) h=(m-1)*i+1 3) i=(h-1)/(m-1) o i=(n-1)/m Si m=2, árbol binario: 1)n=2i+1 2)h=i+1 3)i=h-1 o i=n-1/2 Árbol ternario regular no balanceado. No es Pleno, pues hay hojas en todos los niveles, menos el 0 Es decir, es 3-ARIO COMPLETO Según Teorema: i=5 h=(3-1)*5+1=11 n=3*5+1=16 i=(11-1)/(3-1)=10/2=5

ISOMORFISMO EN ÁRBOLES. Se cumple lo mismo que para Grafos. Un isomorfismo entre árboles con raíz, preservan la ordenación de izquierda a derecha de los hijos de cada vértice. INVARIANTEST1T2T3 |V|444 |A|333 Sucesión grados T1: Su raíz, tiene HI T2: su raíz tiene HD T3: Su raíz tiene HI Por lo tanto: T1 y T3 son ISOMORFOS T2 No es ISOMORFO a T1 y T2

RECORRIDOS EN UN ÁRBOL BINARIO  Un recorrido en un árbol binario es visitar todos sus vértices una sola vez.  Se distinguen tres tipos : INORDEN, POSORDEN Y PREORDEN.(por la posición de la raíz)  Siempre se recorre de izquierda a derecha, recorriendo en ese sentido los subárboles.  Al evaluar una expresión algebraica, constantes o variables se colocan en las hojas y los operadores se sitúan como nodos intermedios. NOTACIONES: forma en la que se expresa una expresión matemática.  Las mismas son 3:infija, prefija(polaca) y posfija (polaca inversa)  Los prefijos, Pre - Pos - In se refieren a la posición relativa del operador con respecto a los dos operandos. NOMBREINORDEN.POSORDENPREORDEN RECORRIDO Hijo izquierdo Raíz Hijo derecho Hijo izquierdo Hijo derecho Raíz Hijo izquierdo Hijo derecho. NOTACIÓNUSUAL (SIMÉTRICA) a+ b POLACA INVERSA a b + POLACA + a b

RECORRIDOSNOTACIÓNT1T2T3 INORDENUSUAL ^5 + 6 * 7z m w i PREORDENPOLACA ^ 4 5 * 6 7i m z w POSORDENPOLACA INV ^6 7 * +z w m i Dada la expresión algebraica, recuperar el árbol: EXPRESIÓN ALGEBRAICAA + B * (- ( C+D)) POLACA+ A * B - + C D USUALA + B * - C + D POLACA INVERSAA B C D + - * + (A )+ (B * (- ( C+D))) + es la raíz, A sub izq (A )+ ((B )* ((- ( C+D)))) * es la raíz del sub izq, y B su sub izq y – sub der (A )+ ((B )* ((- ( (C)+(D))))) - raíz, C sub izq, D sub der.

Recuperar el árbol dada su notación polaca : * + / En POLACA: a +b es + a b (P HI HD) * + / * + ( / 9 3) 5 ( ) * (+ (/ 9 3 ) 5 ) ) (- 7 2 ) R H I HD Hallemos el valor del árbol * + / * + / * * Si fuera dado en POLACA INVERSA POLACA INVERSA: a+b es ab+ (HI HD P) 9 3 / * (9 3 /) 5 + (7 2 -) * ((9 3 /) 5 +) (7 2 -) * HI HD R