FUNCIÓN CUADRÁTICA Y ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Por Profesora Norma Benavides G. Profesora Nora Fernández

Objetivo:  Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática.  Graficar la función, determinando vértice, eje de simetría y concavidad.  Indicar las características gráficas de una parábola a través del análisis del discriminante.  Conocer y aplicar cálculos a los distintos tipos de ecuación cuadrática.

Función Cuadrática a = 2b = 3c = 1 a = 4 b = -5 c = -2

Intersección con eje Y  En la función cuadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. (0,C) X Y C

Concavidad  En la función cuadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo

 Ejemplo: En la función: f(x) = x 2 - 3x - 4, a = 1 y c = - 4. Luego la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,-4) y es cóncava hacia arriba. (0,-4)

Pon en practica lo aprendido hace un momento  En las siguientes funciones identificar la concavidad e indicar el punto de intersección que hay con el eje Y.

Imágenes de preguntas juego blooket Pregunta 1. Pregunta 4.

¿Cuál es la importancia del valor de «b»? El valor de “b” en la ecuación permite saber el movimiento horizontal de la parábola. Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c Entonces: Si a> 0 y b<0 la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la derecha. Si a>0 y b>0 la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la izquierda. Si a 0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la derecha. Si a<0 y b<0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la izquierda.

Eje de Simetría y Vértice El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. Eje de simetría Vértice

 Si f(x) = ax 2 + bx + c, entonces: a) Su eje de simetría es: a) Su vértice es: Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.

Eje de simetría: x=-1 Vértice: V= (-1,-9 ) Gráfica del ejemplo:

Pon en practica lo aprendido

Discriminante:

1.7 DOMINIO Y RECORRIDO:  Dominio:El dominio de cualquier función cuadrática siempre será IR. Dom f = IR  Recorrido: Dependerá de la concavidad de la parábola: Sí es cóncava hacia arriba, (a>0) es: ó Sí es cóncava hacia abajo, (a<0) es: ó

La intercepción con eje X y la Ecuación Cuadrática  Cuando se quiere hacer interceptar la función cuadrática con el eje X, debemos hacer f(x)=0. Por lo tanto la función se transforma en una ecuación cuadrática o de segundo grado que es de la forma:  Y como toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces, significa que la función posee dos “ceros”. Si éstas son reales, corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax 2 + bx + c con el eje X. ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0

Tipos de Ecuaciones de 2° Grado y sus raíces: - Incompleta Pura: ax 2 + c = 0,con b=0 Sus soluciones son: Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 4x = 0 4x 2 = 36 /:4 x 2 = 36/4 /√/√ x 2 = 9 x = ± 3 x 1 = 3 x 2 = -3

-Incompleta Binomia: ax 2 + bx = 0,con c=0 Sus soluciones son: x 1 = 0 x 2 = 5/2 x 1 =0 x 2 = -b/a Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 6x x = 0 De acuerdo a la ecuación tenemos que a=6 y b=-15 x = -(-15)/6 Simplificamos por /:3 x =5/2

Fórmula para determinar sus soluciones (raíces) es: - b ± b 2 – 4ac 2a x = Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x 2 - 3x - 4 = 0 -(-3) ± (-3) 2 – 4·1(- 4) 2 x = 3 ± x = -Completa general: ax 2 + bx +c = 0

3 ± 25 2 x = 2 3 ± 5 2 x = x 1 = 4x 2 = -1 También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomios: x 2 - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0 (x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0 x 1 = 4 x 2 = -1 

Pon en practica lo aprendido

Resuelve las siguientes ecuaciones con el método que prefieran.