MATEMATICA FINANCIERA Código: 413 ANUALIDADES Preparado por: Claudio Urrutia Rojas Para uso exclusivo de estudiantes de la UNED Este es un material de apoyo que ha sido elaborado para presentar en forma más gráfica el concepto, pero no sustituye el material sugerido para el curso

El monto se considera al final de cada año o periodo ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR PMT PMT PMT El monto se considera al final de cada año o periodo PMT/(1+i)1 PMT/(1+i)2 PMT/(1+i)3 Se puede calcular a cuanto equivale hoy PMT/(1+i)0 PMT/(1+i)1 PMT/(1+i)2 Se puede calcular cuanto se acumula en el futuro También se puede calcular el número de periodos o la tasa de interés, si se conocen las demás variables

VF = PMT ------------------ ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Cual es el monto acumulado de una anualidad de ¢200, durante 3 años, si la tasa de interés es de 15% anual? El Valor Futuro o Acumulado de una Anualidad es igual a la suma de los valores futuros de cada uno de los pagos o cuotas: VF = 200(1+0,15)0 + 200(1+0,15)1 + 200(1+0,15)2 VF = 200 + 230 + 264,50 VF = 694,50 La Fórmula Matemática se deduce de la sumatoria, derivando de la siguiente forma: VF = PMT (1 + i ) 0 + PMT (1 + i ) 1 + PMT (1 + i ) 2 + . . . . . + PMT (1 + i ) n-1 VF = PMT ∑ (1 + i ) n-1 Simplificando: (1 + i ) n - 1 VF = PMT ------------------ i

Al aplicar la Fórmula se obtiene el mismo resultado: 3 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Al aplicar la Fórmula se obtiene el mismo resultado: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,15) 3 – 1 VF = PMT ------------------ = 200 --------------------- = 694,50 i 0,15

VA = PMT ------------------ ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Cual es el valor actual de una anualidad de ¢200, durante 3 años, si la tasa de interés es de 15% anual? El Valor Actual o Presente de una Anualidad es igual a la suma de los valores presentes de cada uno de los pagos o cuotas: VA = 200 (1+0,15) -1 + 200 (1+0,15) -2 + 200 (1+0,15) -3 VA = 173,91 + 151,23 + 131,50 VA = 456,64 La Fórmula Matemática se deduce de la sumatoria, derivando de la siguiente forma: VA = PMT (1 + i ) -1 + PMT (1 + i ) -2 + PMT (1 + i ) -3 + . . . . . + PMT (1 + i ) -n VA = PMT ∑ (1 + i ) -n 1 - (1 + i ) -n VA = PMT ------------------ i

Al aplicar la Fórmula se obtiene el mismo resultado: 5 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Al aplicar la Fórmula se obtiene el mismo resultado: 1 - (1 + i ) -n 1 - (1 + 0,15) -3 VA = PMT ------------------ = 200 --------------------- = 456,64 i 0,15 Nota: Para el cálculo paso a paso se ha usado la fórmula de interés compuesto con exponente negativo, pero se puede usar de cualquiera de las 2 formas en que se expresa: VF VA = VF (1 + i) – n ó también VA = ------------- (1 + i) n

NUMERO DE PERIODOS PARTIENDO DE VF ANUALIDADES 6 NUMERO DE PERIODOS AÑO 0 1 2 3 4 n-1 n 200 200 200 200 200 1.750 Cuantos años deben transcurrir para acumular ¢1.750, si se ahorran ¢200 por año y la tasa de interés es de 15% anual? Al aplicar la Fórmula de Valor Futuro o Acumulado, se obtiene el siguiente resultado: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,15) n – 1 VF = PMT -------------------- 1.750 = 200 --------------------- i 0,15 1,15 n – 1 1.750 / 200 = -------------------- 0,15 1,15 n = (8,75 x 0,15) + 1 1,15 n = 2,3125 n log 1,15 = log 2,3125 0,0606978 n = 0,36408174 n = 0,36408174 / 0,0606978 n = 5,9982 = 6 años NUMERO DE PERIODOS PARTIENDO DE VF

ANUALIDADES NUMERO DE PERIODOS 7 NUMERO DE PERIODOS Que sucede si los periodos no resultan exactos? Cuantos años deben transcurrir para acumular ¢3.400, si se ahorran ¢400 por año y la tasa de interés es de 12% anual? (1 + i ) n – 1 (1 + 0,12) n – 1 VF = PMT -------------------- 3.400 = 400 --------------------- i 0,12 1,12 n – 1 3.400 / 400 = -------------------- 0,12 1,12 n = (8,50 x 0,12) + 1 1,12 n = 2,02 n log 1,12 = log 2,02 0,049218 n = 0,30535137 n = 6,2041 El resultado da 6 periodos y fracción, pero como deben ser periodos completos, se puede optar por 2 opciones (Solución Práctica): 1) En el periodo 6 se establece un monto adicional, o 2) En el periodo 7 se establece el monto faltante

ANUALIDADES NUMERO DE PERIODOS 8 NUMERO DE PERIODOS 1) En el periodo 6 se establece un monto adicional: Este monto adicional corresponde a la diferencia que falta para alcanzar el monto requerido: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,12) 6 – 1 VF = PMT -------------------- VF = 400 --------------------- i 0,12 VF = 3.246,08 Faltante: 3.400 – 3.246,08 = 153,92 En el año 6 el monto total será de: 553,92 (corresponde a 400 + 153,92) 2) En el periodo 7 se establece el monto faltante: Este monto adicional corresponde a la diferencia que falta para alcanzar el monto requerido, pero con los valores actualizados al año 7: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,12) 6 – 1 VF = PMT -------------------- VF = 400 --------------------- i 0,12 VF = 3.246,08 Si llevamos este valor al año 7, se tiene: VF = VA(1+i) n = 3.246,08 (1+0,12) = 3,635,61 Faltante: 3.400 – 3.635,61 = – 235,61 El faltante es negativo pues el monto acumulado al año 6, con solo los intereses que genera en el periodo siguiente, sobrepasa el monto requerido.

ANUALIDADES NUMERO DE PERIODOS MES 0 1 2 3 4 n-1 n 50 50 50 50 50 9 NUMERO DE PERIODOS MES 0 1 2 3 4 n-1 n 50 50 50 50 50 1.200 Una persona asume una deuda de ¢1.200 y se compromete a pagar cuotas de ¢50 por mes. Si la tasa de interés es de 12% capitalizable mensualmente, cuantas cuotas debe pagar? Al aplicar la Fórmula de Valor Actual o Prsente, se obtiene el siguiente resultado: 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + 0,01) -n VA = PMT -------------------- 1.200 = 50 -------------------- i 0,01 1 – 1,01 -n 1.200 / 50 = -------------------- 0,01 1,01 -n = 1 – (24 x 0,01) 1,01 -n = 0,76 – n log 1,01 = log 0,76 – 0,0043213 n = – 0,1191864 n = 0,1191864 / 0,0043213 n = 27,58 meses NUMERO DE PERIODOS PARTIENDO DE VA Tasa de Interés está mensual por lo que periodos son meses

ANUALIDADES NUMERO DE PERIODOS 10 NUMERO DE PERIODOS Como los periodos no son exactos, se puede optar por 2 opciones (Solución Práctica): 1) En el periodo 27 se establece un monto adicional: Corresponde a la diferencia en valor actual para alcanzar el monto de la deuda, expresado en valores futuros del mes 27: 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + 0,01) -27 VA = PMT -------------------- VA = 50 -------------------- i 0,01 VA = 1.177,98 Faltante: 1.200 – 1.177,98 = 22,02 (expresado en valores de hoy) Si llevamos este valor al mes 27, se tiene: VF = VA(1+i) n = 22,02 (1+0,01) 27 = 28,81 En el mes 27 la cuota será de 78,81 (corresponde a 50 + 28,81) 2) En el periodo 28 se establece el monto faltante: Corresponde a la diferencia en valor actual para alcanzar el monto de la deuda, expresado en valores futuros del mes 28: 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + 0,01) -27 VA = PMT -------------------- VA = 50 -------------------- i 0,01 VA = 1.177,98 Faltante: 1.200 – 1.177,98 = 22,02 (expresado en valores de hoy) Si llevamos este valor al mes 28, se tiene: VF = VA(1+i) n = 22,02 (1+0,01) 28 = 29,09 En el mes 28 la cuota incompleta será de 29,09

VF = PMT -------------------- 5.100 = 150 ------------------- i i ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR 150 150 150 150 150 5.100 Qué tasa de interés reconoce el banco, si depositando ¢150 por mes, al cabo de dos años se acumulan ¢5.100? Periodos en meses; tasa resultante es mensual Al aplicar la Fórmula de Valor Futuro o Acumulado, se obtiene el siguiente resultado: (1 + i ) n – 1 (1 + i ) 24 – 1 VF = PMT -------------------- 5.100 = 150 ------------------- i i (1 + i ) 24 – 1 5.100 / 150 = -------------------- i 34 = -------------------- i = 0,0290038 = 2,90% Esta tasa es mensual, por lo que la tasa anual será: 34,80% (2,90% x 12) Para resolver se usa interpolación, que es asignar una tasa en parte derecha de la ecuación, para obtener la parte izquierda (Por ejemplo, con 3% se obtiene 34,42, que supera monto de 34; con 2,5% se obtiene 32,35, que es inferior. La tasa estaría entre 3% y 2,5%, más cercano a 3%. Aplicando especie de regla de tres, se puede obtener la tasa aproximada en 2,9% mensual). También se puede resolver con calculadora. TASA DE INTERÉS PARTIENDO DE VF

VA = PMT -------------------- 1.100 = 85 -------------------- i i 12 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR 85 85 85 85 85 1.100 Qué tasa de interés cobra una tienda que vende un artículo cuyo precio de contado es ¢1.300, pagando una prima de ¢200, y 18 cuotas de ¢85 por mes? Periodos en meses; tasa resultante es mensual Al aplicar la Fórmula de Valor Actual o Presente, se obtiene el siguiente resultado: 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + i) -18 VA = PMT -------------------- 1.100 = 85 -------------------- i i 1 – (1 + i) -18 1.100 / 85 = -------------------- i 12,9412 = -------------------- i = 0,037305 = 3,73% Esta tasa es mensual, por lo que la tasa anual será: 44,76% (3,73% x 12) Para resolver se usa interpolación, que es asignar una tasa en parte derecha de la ecuación, para obtener la parte izquierda (Por ejemplo, con 3% se obtiene 13,75, que supera monto de 12,94; con 4% se obtiene 12,66, que es inferior. La tasa estaría entre 3% y 4%, más cercano a 4%. Aplicando especie de regla de tres, se puede obtener la tasa aproximada en 3,7% mensual). También se puede resolver con calculadora. Se rebaja prima: No forma parte de la anualidad TASA DE INTERÉS PARTIENDO DE VA

VF = PMT -------------------- 2.841,08 = PMT --------------------- ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Cuota Semestral 0 1 2 3 4 5 6 AÑO 0 1 2 3 4 5 1.000 FV = 1.000 x (1+0,08) 10 2.158,92 PMT PMT PMT PMT PMT PMT ??? ________ 5.000,00 Con los ¢1.000 acumula ¢2.158,92 y con la anualidad debe acumular la diferencia (1 + i ) n – 1 (1 + 0,08) 6 – 1 VF = PMT -------------------- 2.841,08 = PMT --------------------- i 0,08 PMT = 387,28 Cada depósito deberá ser de: 387,92

SOLUCION PRÁCTICA: DE CUANTO ES LA CUOTA 22 ó 23 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR TRIM 0 1 2 3 4 n-1 n 500 500 500 500 500 500 8.000 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + 0,03) -n VA = PMT -------------------- 8.000 = 500 -------------------- i 0,03 1 – (1 + 0,03) -n 8.000 / 500 = -------------------- 0,03 16 x 0,03 = 1 – (1,03) -n 0,48 – 1 = – (1,03) -n log (0,52) = – n log (1,03) – 0,283997 = – n 0,012837 n = 0,283997 / 0,012837 n = 22,12 trimestres SOLUCION PRÁCTICA: DE CUANTO ES LA CUOTA 22 ó 23

ANUALIDADES EJERCICIOS 15 EJERCICIOS Número de Periodos partiendo de Valor Actual: (Continuación) Solución Práctica: Se puede plantear 2 opciones 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + 0,03) -22 VA = PMT -------------------- VA = 500 -------------------- i 0,03 VA = 7.968,46 Faltante: 8.000 – 7.968,46 = 31,54 (expresado en valores de hoy) Si llevamos este valor al trimestre 22, se tiene: VF = VA(1+i) n = 31,54 (1+0,03) 22 = 60,44 En el trimestre 22 la cuota será de 560,44 (corresponde a 500 + 60,44) 1) En el trimestre 22 se establece un monto adicional: 2) En el trimestre 23 se establece el monto faltante: 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + 0,03) -22 VA = PMT -------------------- VA = 500 -------------------- i 0,03 VA = 7.968,46 Faltante: 8.000 – 7.968,46 = 31,54 (expresado en valores de hoy) Si llevamos este valor al trimestre 23, se tiene: VF = VA(1+i) n = 31,54 (1+0,01) 23 = 62,25 En el trimestre 23 la cuota incompleta será de 62,25

VF = PMT -------------------- 25.000 = PMT --------------------- ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR PMT PMT PMT PMT PMT PMT 25.000 MES 0 1 2 3 4 . . . . . . 47 48 49 50 . . . . . . . . . 71 72 (1 + i ) n – 1 (1 + 0,02) 72 – 1 VF = PMT -------------------- 25.000 = PMT --------------------- i 0,02 PMT = 158,17076 Cada depósito deberá ser de: 158.170,76 Se establece la cuota original: Se determina lo acumulado al año 4 (mes 48): (1 + i ) n – 1 (1 + 0,02) 48 – 1 VF = PMT -------------------- VF = 158,17 --------------------- i 0,02 VF = 12.551,41

ANUALIDADES EJERCICIOS 17 EJERCICIOS Cálculo de Cuota (PMT), con Valor Futuro o Monto Acumulado: (Continuación) Se determina cuanto acumulará en el mes 72 con lo que ha acumulado al mes 48: VF = VA(1+i) n = 12.551,41 (1+0,015) 24 = 17.942,27 Faltante: 25.000 – 17.942,27 = 7.057,73 (expresado en valores de mes 72) Deberá acumular con una nueva cuota o anualidad, esa suma faltante MES 0 1 2 3 4 . . . . . . 47 48 49 50 . . . . . . . . . 71 72 PMT PMT PMT PMT PMT 7.057,73 Se determina la nueva cuota o anualidad con nueva tasa de interés: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,015)24 – 1 VF = PMT -------------------- 7.057,73 = PMT --------------------- i 0,015 VF = 246,48488 Cada depósito partir de cuota 49 deberá ser de: 246.484,88 Cada depósito, deberá ser de ¢158.170,76 hasta la cuota 48 y de ¢246.484,88 las siguientes

ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR a) Valor de contado: 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + 0,025) -147 VA = PMT -------------------- VA = 225 ----------------------- i 0,025 VA = 8.761,31 El valor de contado es de: ¢9.261.310 (corresponde a 500.000 + 8.761.310) b) Pago del saldo adeudado (Calculando el VA de las Cuotas faltantes) 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + 0,025) -54 VA = PMT -------------------- VA = 225 ----------------------- i 0,025 VA = 6.627,78 Este es el saldo que adeuda en valores del mes 93, que llevado al mes 94, es: VF = VA(1+i) n = 6.627,78 (1+0,025) = 6.793,48 Lo que debe cancelar en el mes 94, es: ¢6.793.481

El monto de la deuda es de ¢1.225.219,85 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR El monto de la anualidad, representa un valor actual de: 1 - (1 + i ) -n 1 – (1 + 0,02) -15 VA = PMT -------------------- VA = 50 -------------------- i 0,02 VA = 642,4632 El valor actual de la anualidad es de: ¢642.463,20 El pago final representa un valor actual de: VA = VF / (1+i) n = 800 / (1+0,02) 16 = 582,75665 El valor actual del pago final es de: ¢582.756,65 El monto de la deuda es de ¢1.225.219,85

Monto adeudado al inicio de la anualidad ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Cuota Trimestral 0 1 2 3 4 5 . . . . . . 20 AÑO 0 1 2 . . . . . . 10.000 - 4.000 6.000 FV = 6.000 x (1+0,06) 7 = 9.021,78 Monto adeudado al inicio de la anualidad Por ser anualidad vencida, si primer pago es en año 2, comienza un trimestre antes VA = PMT 9.021,78 = PMT PMT = 786,56 miles 1 – (1 + i) –n 1 – (1 + 0,06) -20 i 0,06 Una vez determinado el valor adeudado al inicio del primer periodo de la anualidad, se utiliza la fórmula de Valor Actual o Presente: (Nota: Ejercicio desarrollado en miles de colones)

ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Mes 0 1 2 3 4 5 6 . . . . . . 180 215 276 AÑO 0 15 . . . . . 18 23 8.991 6.346 VA = PMT VA = 200.000 = 8.991.008 1 – (1 + i) –n 1 – (1 + 0,01) -60 i 0,01 VA de PMT de ¢200.000 en Mes 215 Anualidad recibida al cumplir 18 años, inicia en periodo anterior: 215 VA = VF / (1+i) n = 8.991.008 / (1+0,01) 35 = 6.346.880 VA de ¢8.991.008 en Mes 180 De Mes 215 a 180 = 35 meses VF = PMT 6.346.880 = PMT PMT = 12.704 (1 + i) n – 1 (1 + 0,01)180 – 1 i 0,01 PMT que da VF de ¢6.346.880 en Mes 180

ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR VA = PMT VA = 75.000 = 2.953.520 1 – (1 + i) –n 1 – (1 + 0,015) -60 i 0,015 VA de PMT de ¢750.000 durante 60 meses VF = PMT VF = 75.000 VF = 7.216.099 (1 + i) n – 1 (1 + 0,015)60 – 1 i 0,015 Monto Acumulado de PMT de ¢75.000 durante 60 meses

muchas gracias . . . ANUALIDADES Claudio Urrutia Rojas UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA HAGA LLEGAR SUS COMENTARIOS SOBRE ESTA PRESENTACIÓN A: currutia01@cpcecr.com