MATEMATICA FINANCIERA

Presentación del tema: "MATEMATICA FINANCIERA"— Transcripción de la presentación:

1 MATEMATICA FINANCIERA
Código: 413 INTERÉS COMPUESTO Preparado por: Claudio Urrutia Rojas Para uso exclusivo de estudiantes de la UNED Este es un material de apoyo que ha sido elaborado para presentar en forma más gráfica el concepto, pero no sustituye el material sugerido para el curso

2 MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO
Monto que resulta, en una fecha futura, de adicionar los intereses generados (a una tasa de interés) al capital invertido, en un plazo determinado, donde los intereses que se van generando también ganan intereses ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR AÑO Si invierto hoy, cuanto tendré más adelante? ? VALOR ACTUAL O VALOR PRESENTE VALOR FUTURO Supongamos que invierto ¢ a una tasa del 20% anual, durante 3 años

3 AÑO 10.000 ( x 0,20) ( x 0,20) ( x 0,20) = (2.000 x 0,20) 400 = (2.000 x 0,20) (2.000 x 0,20) = (400 x 0,20) 80 = 17.280 Interes Capital ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR

4 INTERÉS COMPUESTO MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO AÑO 0 1 2 3 10.000
( x 0,20) ( x 0,20) ( x 0,20) = (2.000 x 0,20) 400 = (2.000 x 0,20) (2.000 x 0,20) = (400 x 0,20) 80 = 17.280 Interes Capital El Valor que se acumula en el futuro, corresponde al capital (Valor Actual), más los intereses de cada periodo, más los intereses de los intereses, que se pueden expresar en la siguiente fórmula: VF = VA (1 + i) n Donde VF = Valor Futuro o Monto total acumulado con intereses VA = Capital o Valor Actual del monto invertido i = Tasa de Interés n = Número de periodos

5 INTERÉS COMPUESTO MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO AÑO 0 1 2 3 10.000
( x 0,20) ( x 0,20) ( x 0,20) = (2.000 x 0,20) 400 = (2.000 x 0,20) (2.000 x 0,20) = (400 x 0,20) 80 = 17.280 Interes Capital En este Ejemplo, un Capital de ¢10.000, depositado durante 3 años al 20% anual capitalizable cada año, aplicando la Fórmula tendría el siguiente resultado: VF = VA (1 + i) n = (1 + 0,20) 3 = En este caso como el interés es anual y capitalizable anualmente, se aplica normalmente en la formula. Pero si la capitalización es con otra periodicidad, debe trabajarse con el número de periodos totales de capitalización y con la tasa equivalente para ese periodo.

6 Ejemplo 1: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢15
Ejemplo 1: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢15.000, durante 3 años al 22% anual, capitalizable trimestralmente: VF = VA (1 + i) n = (1 + 0,055) 12 = ,11 Nota: - La tasa de interés anual de 22%, dividida entre 4 trimestres, es una tasa trimestral de 5,5% - El número de periodos de 3 años, expresado en trimestres corresponde a 12 trimestres ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Ejemplo 2: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢24.000, durante 2,5 años al 18% anual, capitalizable mensualmente: VF = VA (1 + i) n = (1 + 0,015) 30 = ,93 Nota: - La tasa de interés anual de 18%, dividida entre 12 meses, es una tasa mensual de 1,5% - El número de periodos de 2,5 años, expresado en meses corresponde a 30 meses

7 INTERÉS COMPUESTO MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO + 81 81 81 7,29
Ejemplo 3: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢10.000, durante 2 años al 18% anual, capitalizable semestralmente: VF = VA (1 + i) n = (1 + 0,09) 4 = ,82 Nota: - La tasa de interés anual de 18%, dividida entre 2 semestres, es una tasa semestral de 9% - El número de periodos de 2 años, expresado en semestres corresponde a 8 semestres También se puede expresar así: VF = (1 + 0,18/2)(2 x 2) = ,82 AÑO Semestre 10.000 81 7,29 7, ,29 0,66 Intereses 4.115,82 + Capital 10.000 14.115,82

8 INTERÉS COMPUESTO VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL
El valor presente o actual de un monto que vence o se dispondrá en una fecha futura, es aquel capital que a una tasa de interés o rendimiento compuesto, en un plazo determinado, alcanzará el valor especificado en la fecha futura. AÑO 20.000 ( / 1,,20) 16.667 ( / 1,,20) 13.889 ( / 1,,20) 11.574 VA = VF / (1 + i) n = / (1 + 0,20) 3 = El Valor Presente, corresponde al Valor Futuro, descontado a una tasa de interés, por los periodos correspondientes. Su formula se deduce de la fórmula de Valor acumulado o futuro y se expresa así: : VF VA = ó también VA = VF (1 + i) - n (1 + i) n

9 Es decir, aprox. 6 años, o más exacto serían 6 años y 9 días
ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Ejemplo 1: Cuantos años deben transcurrir, para que ¢ depositados hoy, se tripliquen, si la tasa de interés es de 20% anual? VF = VA (1 + i) n = (1 + 0,20) n (1,20) n = / n log 1,20 = log 3 0,07918 n = 0, n = , / 0, = 6,0256 años Es decir, aprox. 6 años, o más exacto serían 6 años y 9 días (Este calculo se realiza, tomando en cuenta que son 6 años completos, más 0,0256 años que multiplicado por 360 días, equivale a 9 días). Para despejar un exponente se aplica logaritmo y el expo-nente pasa a multilplicar al logaritmo Como tasa de interés es anual, el tiempo resultante está expresado en años.

10 INTERÉS COMPUESTO PERIODOS Y TASAS DE INTERÉS
Ejemplo 2: Cuantos años deben transcurrir, para que ¢ depositados hoy, se transformen en ¢32.000, si la tasa de interés anual es de j(4) = 16%? VF = VA (1 + i) n = (1 + 0,04) n (1,04) n = / n log 1,04 = log 2,6667 0, n = 0,425969 n = , / 0, = 25,0079 trimestres Es decir, aprox. 6 años y 3 meses (Este calculo se realiza, dividiendo 25,0079 entre 4 trimestres por año, lo que dá ,25 años, siendo los 0,25 años equivalentes a 3 meses) La tasa de interés se capitaliza trimestralmente por lo que debe usarse tasa trimestral y el tiempo resultante está expresado en trimestres.

11 INTERÉS COMPUESTO PERIODOS Y TASAS DE INTERÉS
Ejemplo 3: Si ¢ depositados hoy, se transformen en ¢ en 3 años, qué tasa de interés anual está reconociendo el banco? VF = VA (1 + i) n = (1 + i) 3 (1 + i) 3 = / (1 + i) = ,5 = ( 1,5 ) 1/3 i = , = 0,1447 = 14,47% anual Demostrando este caso: = (1 + 0,1447) 3 = ,32 (La diferencia con los ¢ es producto del redondeo en la tasa de interés) La tasa de interés es anual porque los periodos estan expresados en años

12 A. CAPITALIZACIÓN ANUAL
INTERÉS COMPUESTO TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA Tasa Nominal (J): Tasa de interés que no considera periodos de capitalización dentro del periodo al cual se refiere la tasa. Ejemplo: 12% anual. Tasa Efectiva (i): Rendimiento porcentual real en un periodo de tiempo determinado. PARA UNA TASA NOMINAL DEL 20%: Si la capitalización es anual, gana el 20% anual y la tasa efectiva es del 20% (Gana ¢20 por cada ¢100 de inversión) Si la capitalización en semestral, gana el 10% semestral y la tasa efectiva es del 21% (Gana ¢21 por cada ¢100 de inversión) A. CAPITALIZACIÓN ANUAL AÑO Capital Intereses 100 20 120 B. CAPITALIZACIÓN SEMESTRAL AÑO Sem Capital Intereses 1 100 21 121

13 FÓRMULA PARA CONVERTIR TASA NOMINAL EN TASA EFECTIVA
INTERÉS COMPUESTO TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA C. CAPITALIZACIÓN TRIMESTRAL AÑO Trim Capital Intereses 0,25 0, ,25 0,0125 0, , ,25 0, ,0125 0,000625 100 21,55 121,55 Si la capitalización en trimestral, gana el 5% trimestral y la tasa efectiva es del 21,55% (Gana ¢21,55 por cada ¢100 de inversión) FÓRMULA PARA CONVERTIR TASA NOMINAL EN TASA EFECTIVA i(a) = (1 + j /m ) m –1 Donde: i(a): Interés efectivo anual j : Tasa nominal anual m : Número periodos capitalización en el año LOS CASOS ANTERIORES FORMA DE EXPRESAR LAS TASAS Según el periodo de capitalización, se expresan así: J(2) : Corresponde a capitalización semestral J(4) : Corresponde a capitalización trimestral J(12): Corresponde a capitalización mensual Ejemplos: J(4)=12%, es 12% anual, capitalizable 4 veces al año, es decir trimestralmente J(2)=17%, es 17% anual, capitalizable 2 veces al año, es decir semestralmente A: Anual i(a) = (1 + 0,20/1 ) 1 –1 = 0, = 20,00% B: Semestral i(a) = (1 + 0,20/2 ) 2 –1 = 0, = 21,00% C. Trimestral i(a) = (1 + 0,20/4 ) 4 –1 = 0,2155 = 21,55% D. Mensual i(a) = (1 + 0,20/12 )12 –1= 0,2194 = 21,94%

14 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Veamos un Ejemplo: Jeremías debe cancelar las siguientes sumas: ¢ dentro de 1 año, ¢ dentro de 3 años y ¢ dentro de 4 años. Desea cambiar la forma de pago, para realizar 2 pagos iguales: el primero de ellos dentro de 2 años y el segundo dentro de 3 años. De cuanto será cada pago, si la tasa de interés es del 12% anual? AÑO Debe Pagar Quiere Pagar X X Lo que debe pagar debe ser igual (equivalente) a lo que quiere pagar. Como los montos que debe y los que desea pagar están en diferentes fechas, debe expresarse todas las cifras a una misma fecha (fecha focal) para hacer la comparación (Se puede escoger año 3 como fecha focal).

15 INTERÉS COMPUESTO ECUACIONES EQUIVALENTES AÑO 0 1 2 3 4 X X
1.200 2.000 1.750 X X Todos los montos que debe pagar, llevados al año 3 (Fecha Focal), los hacemos iguales a los montos que desea pagar, también llevados al año 3: x (1 + 0,12) = X x (1 + 0,12) X = ,12 X X = ,26 Es decir, cada uno de los pagos que deberá hacer es de ¢ ,26, que resultan equivalentes a los montos adeudados. (1 + 0,12) Comprobación: Si traemos todos los montos al Año “0“, lo adeudado y lo que se desa pagar, son iguales: (1 + 0,12) (1 + 0,12) (1 + 0,12) 4 , ,26 (1 + 0,12) (1 + 0,12) 3 VA (Adeudado) = = ,71 VA (A Pagar) = = ,71

16 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR En este caso, debe establecerse cuales son los montos que debe pagar en cada una de estas obligaciones y luego proceder a llevar todos los montos a una misma fecha para realizar la equivalencia. AÑO X X 3.000(1+0,04)8 2.000(1+0,06)10 1.500(1+0,035)24 Pagos que debe realizar: - En Año 2: VF = (1+0,04)8 = ,71 - En Año 5: VF = (1+0,06)10 = ,70 - En Año 6: VF = (1+0,035)24 = ,99

17 INTERÉS COMPUESTO ECUACIONES EQUIVALENTES AÑO 0 1 2 3 4 5 6
X X Debe Pagar , , ,99 Desea Pagar X X Luego hacemos la igualdad entre lo que debe pagar y lo que quiere pagar, pero todos los montos expresados en valores del año 5 (Fecha Focal). Llevar todo al año 5 4.105,71 (1+0,04) , = X (1+0,04) X 3.424,99 4.105,71 (1+0,04) , = X (1+0,04) X 6.573, , , = 1,87298 X X 13.082,77 = 3,87298 X X = ,96 Los pagos que desea realizar serían de ¢3.377,96 a los 12 meses y de ¢6.755,92 a los 5 años. 3.424,99 (1+0,04) 4

18 Tasa de interés y plazo expresados en términos trimestrales
ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Valor Futuro o Monto Acumulado: Juan realizará un depósito de ¢ en un banco que le pagará un interés del 16% anual, capitalizable trimestralmente. Que monto tendrá acumulado dentro de 2 años? Mediante Fórmula: VF = VA x (1 + i) n = x (1 + 0,04) 8 = Tasa de interés y plazo expresados en términos trimestrales

19 Tasa Interes expresada en términos trimestrales
ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Periodos a transcurrir: Cuantos años deben transcurrir para que un depósito de ¢ acumule una cantidad de ¢ , si el interés que paga el banco es 15% anual, capitalizable trimestralmente? VF = VA x (1 + i) n = x (1 + 0,0375) n (1,0375) n = / n log 1,0375 = log 1,5 n = 0,1761 / 0,015988 n = 11,01 Periodos son trimestres. En años son 11/4 = 2,75 Años Tasa Interes expresada en términos trimestrales

20 INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Periodos a transcurrir:
Si el banco paga una tasa de interés de 18%, capitalizable semestralmente. Cuanto tiempo deberá transcurrir para que un depósito de ¢ hecho hoy y otro de ¢ que se hará dentro de tres años y medio, se transformen en ¢ ? El depósito de ¢ acumulará al momento de realizar el otro depósito Tasa Interes y periodos en términos semestrales VF = VA x (1 + i) n = x (1 + 0,09) 7 = Al realizar el nuevo depósito de ¢ se suma a los ¢ ya acumulados, con lo que la nueva suma ¢ , con la cual se debe acumular ¢ , que para determinar los periodos a transcurrir se realiza el siguiente cálculo: Tasa Interes expresa en términos semestrales VF = VA x (1 + i) n = x (1 + 0,09) n (1,09) n = / n log 1,09 = log 5,14101 n = 0,71105 / 0,03743 n = 18, = 19 Periodos son semestres. En años son 19/2 = 9,5 Años El tiempo a transcurrir es 13 años (3,5 en que se mantiene solo el primer depósito, más 9,5 años que al realizar el segundo depósito, requiere para acumular la suma requerida

21 INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Monto Acumulado y Tasa de rendimiento:
Una persona deposita ¢ en un banco que paga un interés de 36%, con capitalización mensual. Retira ¢ al final del segundo año y ¢ al final del tercer año. a) Cuánto tendrá acumulado al final del cuarto año? b) Qué cantidad adicional hubiera acumulado si no hubiera hecho ningun retiro? El depósito de ¢ acumulará al final del segundo año: Tasa Interes y periodos en términos mensuales VF = VA x (1 + i) n = x (1 + 0,03) 24 = ,94 Al retirar ¢ le quedarán ¢ ,94, que acumularán al final del tercer año: VF = ,94 x (1 + 0,03) 12 = ,20 Al retirar ¢ le quedarán ¢ ,20, que acumularán al final del cuarto año: a) MONTO ACUMULADO AL CUARTO AÑO ¢ ,50 VF = ,20 x (1 + 0,03) 12 = ,50 Si no hubiese efectuado ningun retiro, hubiera acumulado al final del cuarto año: VF = x (1 + 0,03) 48 = ,16 b) La suma adicional sería ¢ ,16 que hubiera acumulado, menos ¢ ,50 que acumuló CANTIDAD ADICIONAL ¢ ,66

22 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR VF = VA x (1 + i) n = x (1 + 0,13) 12 = ,10 Comparación Interés Simple y Compuesto: Cual de las dos opciones es mejor para invertir ¢ durante 6 años: al 26% capitalizable semestralmente o al 52% pero a interés simple? VF = VA x (1 + i x t) = x (1 + 0,52 x 6) = ,00 Es mejor la opción a interés compuesto pues el monto acumulado es mayor A interés compuesto, 26% capitalizable semestralmente: A interés simple, 52% anual:

23 INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Valor Futuro y Tasa de Interés:
Si se realiza una inversión de ¢ , por la cual el banco paga el 12% capitalizable semestralmente, durante los 2 primeros años. En los 2 años siguientes sube la tasa de interés al 15% pero la capitalización es anual y luego durante otros 2 años, la tasa nuevamente es del 12%, pero con capitalización mensual. a) Cuanto acumuló al cabo de los 6 años? b) Cual fue la tasa efectiva de interés anual que ganó en este periodo? VF = VA x (1 + i) n Los primeros 2 años: VF = x (1 + 0,06) 4 = ,60 Los segundos 2 años VF = ,60 x (1 + 0,15) 2 = ,80 Los ultimos 2 años: VF = ,80 x (1 + 0,01)24 = ,03 Tasa Interes y periodos según periodos de capitalización El monto acumulado es de ¢ ,03 VF = VA x (1 + i) n ,03 = x (1 + i) 6 (1 + i) 6 = ,03 / 1 + i = , i = , i = , = 13,34% La Tasa de Interés efectiva anual fue de 13,34%

24 Lo que tendría en el Banco si hubiese usado el crédito:
INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Valor Presente o Valor Actual: Un terreno en la costa puede ser adquirido ¢ en efectivo o mediante un pago de ¢ el día de la compra y 2 pagos de ¢ cada uno, a los 12 y 24 meses, respectivamente. Rosa retira el dinero de una cuenta en el banco, que le pagaba el 24% de interés, capitalizable trimestralmente y adquiere el terreno de contado. Demuestre si fue o nó la mejor elección la compra de contado. VA = VF / (1 + i) n Si se suma todos los valores actuales para la compra a crédito, se tiene: VA = / (1 + 0,06) / (1 + 0,06) 8 VA = No fue la mejor elección: Usar el crédito representaba menor VA que el pago de contado (En VA hubiese pagado ¢ menos) PRIMA PAGO MES PAGO MES (Todos en VA) x (1 + 0,06) 4 = x (1 + 0,06) 4 = Luego del segundo pago tendría en el Banco: Lo que tendría en el Banco si hubiese usado el crédito: Retira (Pago Prima) Saldo gana interés 4 trimestres Retira (Pago Mes 12) Retira (Pago Mes 24) Saldo luego de pagar todo NOTA: Diferencia de ¢ en “Año 0” es equivalente a los ¢ en “Año 2”. Compruébelo

25 INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS
Ecuaciones Equivalentes (Pagos sin Intereses): Luis tiene con Randall las siguientes deudas: ¢ a 6 meses, ¢ a 18 meses y ¢ a 2 años. Desea pagar sus deudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 1 y 1 y medio años, respectivamehte. De cuanto debe ser cada pago, si el rendimiento de mercado es 24%, capitalizable semestralmente? AÑO Semestre Debe Pagar Desea Pagar X X Se hace una igualdad de lo que debe pagar con lo que desea pagar, pero todos los valores expresados a una misma fecha (Fecha Focal: en este caso sirve Sem 3, ya que coinciden 2 pagos) x (1 + 0,12) / (1 + 0,12) = X x (1 + 0,12) + X = ,12 X X = ,12 X X = x (1 + 0,12) / (1 + 0,12) = X x (1 + 0,12) + X = ,12 X X = ,12 X X = Llevar de Sem 1 al 3, osea 2 Semestres 2 al 3, osea 1 Semestre Está en Sem 3. Se mantiene igual Traer de Sem 4 al 3, osea Los 2 pagos que desea realizar serían de ¢4.047,278 cada uno (en el Sem 2 y en el Sem 3

26 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Primer Pago: x (1 + 0,03) 2 = Segundo Pago: x (1 + 0,08) 2 = Tercer Pago: x (1 + 0,07) 4 = Debe Pagar Desea Pagar X X Trim

27 INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Ecuaciones Equivalentes: (Continuación)
b. Se hace la igualdad de lo que debe pagar con lo que desea pagar, pero todos los valores expresados a una misma fecha (Fecha Focal: en este caso se puede usar Trim,6) Debe Pagar Desea Pagar X X Trim x (1 + 0,03) x (1 + 0,03) / (1 + 0,03) 2 = X x (1 + 0,03) + X = ,03 X X = ,03 X X = x (1 + 0,03) x (1 + 0,03) / (1 + 0,03) 2 = X x (1 + 0,03) + X = ,03 X X = ,03 X X = Llevar de Trim 2 al 6, osea 4 Trimestres 5 al 6, osea 1 Trimestre 4 al 6, osea 2 Trimestres Traer de Trim 8 al 6, osea 2 Trimestrea Está en Trim 6. Se mantiene igual Los 2 pagos que desea realizar serían de ¢ cada uno (en el Sem 2 y en el Sem 3

28 i(a) = (1 + j /m ) m –1 = (1 + 0,18 /4 ) 4 –1 = 0,192519 = 19,25%
No se divide entre periodos de capita-lización, porque la información dada ya se refiere a dicho periodo ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Tasa Efectiva: Determine cuál es la tasa efectiva anual, si la tasa nominal es de 18%, capitalizable trimestralmente. i(a) = (1 + j /m ) m –1 = (1 + 0,18 /4 ) 4 –1 = 0, = 19,25%

29 muchas gracias . . . INTERÉS COMPUESTO Claudio Urrutia Rojas
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